Аксіоматика Колмогорова (геометрія)

Аксіоматика Колмогорова — аксіоматика евклідової геометрії (планіметрії), запропонована академіком Андрієм Колмогоровим.

Неозначувані поняття

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Колмогорова є: точка, пряма та відстань між двома точками. Множина всіх розглядуваних точок називається площиною. Крім основних понять планіметрії, використовуються поняття числа, множини і величини.

Зауважимо також, що при побудові планіметрії вважаються відомими правила логіки і загальні властивості чисел, множин і величин.

Аксіоми

Аксіоми планіметрії розбиваються на п'ять груп:

Перша група — аксіоми належності.

• І₁. Кожна пряма є множиною точок.
• І₂. Для будь-яких двох різних точок існує одна і тільки одна пряма, що їх містить.
• І₃. Існує принаймні одна пряма і кожній прямій належить хоча б одна точка.

Друга група — аксіоми відстані.

• ІІ₁. Для будь-яких двох точок ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ існує невід'ємна величина, яка називається відстанню від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$. Відстань дорівнює нулю тоді і тільки тоді, якщо точки ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ збігаються. Відстань від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$ позначається ${\displaystyle |AB|}$.
• ІІ₂. Для будь-яких точок ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ відстань від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$ дорівнює відстані від ${\displaystyle B}$ до ${\displaystyle A}$.
• ІІ₃. Для довільних трьох точок ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ відстань від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle C}$ не більша за суму відстаней від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$ і від ${\displaystyle B}$ до ${\displaystyle C}$: ${\displaystyle |AC|\leq |AB|+|BC|}$.

Третя група ― аксіоми порядку.

• ІІІ₁. Будь-яка точка ${\displaystyle O}$ прямої ${\displaystyle l}$ розбиває множину всіх відмінних від ${\displaystyle O}$ точок прямої ${\displaystyle l}$ на дві непорожні множини так, що:
  • а) для будь-яких двох точок ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, що належать різним множинам, точка ${\displaystyle O}$ лежить між ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$;
  • б) коли точки ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ належать одній і тій самій множині, то одна з них лежить між другою точкою і точкою ${\displaystyle O}$.

• ІІІ₂. Для будь-якої відстані ${\displaystyle \alpha }$ на заданому промені з початком ${\displaystyle O}$ існує одна і тільки одна точка ${\displaystyle A}$, відстань якої від точки ${\displaystyle O}$ дорівнює ${\displaystyle \alpha }$.
• ІІІ₃. Якщо точка ${\displaystyle C}$ лежить між точками ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, то точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ належать одній прямій.
• ІІІ₄. Будь-яка пряма ${\displaystyle l}$ розбиває множину точок площини, які не належать їй, на дві непорожні множини так, що:
  • а) будь-які дві точки, що належать різним множинам, розділені прямою ${\displaystyle l}$;
  • б) будь-які дві точки, що належать одній і тій самій множині, не розділені прямою ${\displaystyle l}$.

Четверта група ― аксіома руху.

• IV₁. Якщо відстань ${\displaystyle |AB|}$ додатна і дорівнює відстані ${\displaystyle |A_{1}B_{1}|}$, то існує два і тільки два рухи, кожен з яких відображає точку ${\displaystyle A}$ на точку ${\displaystyle A_{1}}$, а точку ${\displaystyle B}$ — на точку ${\displaystyle B_{1}}$. Якщо ${\displaystyle \rho }$ — півплощина з межею ${\displaystyle AB}$, то вона цими переміщеннями відображається на дві різні півплощини ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ з межею ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$.

П'ята група — аксіома паралельності.

• V₁. Через точку ${\displaystyle A}$ проходить не більш як одна пряма, паралельна даній прямій.

Див. також

• Аксіоматика Гільберта
• Аксіоматика Александрова
• Планіметрія
• Аксіома
• Евклідова геометрія

Посилання

• Ілляшенко В. Я. Основи геометрії [ 13 серпня 2016 у Wayback Machine.]: Навч. посіб. для вищ. навч. закл. — Луцьк : РВВ «Вежа» Волин. нац. ун-ту ім. Лесі Українки, 2012. — 256 с.