- Ця стаття — частина огляду Історія математики.
Поняття давньогрецька математика охоплює досягнення грекомовних математиків, що жили в період між VI століттям до н. е. і V століттям н. е. Математика як наука народилася в Древній Греції. В країнах-сучасниках Еллади математика використовувалася або для звичайних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали мету з'ясувати волю богів (астрологія, нумерологія тощо). Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули тезу «Числа правлять світом». Або, як сформулював цю ж думку Галілео Галілей два тисячоліття тому: «книга природи написана мовою математики». Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де змогли: астрономія, оптика, музика, геометрія, пізніше — механіка. Усюди були відзначені вражаючи успіхи: математична модель володіла беззаперечною провидчою силою. Одночасно греки створили методологію математики і завершили перетворення її зі збірки півеврістічесних алгоритмів в цілісну систему знань. Основою цієї системи вперше став дедуктивний метод, що показує, як з відомих істин виводити нові, причому логіка виведення гарантує істинність нових результатів. Дедуктивний метод також дозволяє виявити не очевидні зв'язки між поняттями, науковими фактами і областями математики.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5rTDBkbGIyMWxkSEo1WDBkbGJtOWhYMHh2ZFhaeVpWOU5VbE5WVURZM0xtcHdaeTh5TWpCd2VDMUhaVzl0WlhSeWVWOUhaVzV2WVY5TWIzVjJjbVZmVFZKVFZWQTJOeTVxY0djPS5qcGc=.jpg)
Джерела
Велика частина античних творів з математики не дійшла до наших днів і відома лише завдяки спогадам пізніших авторів і коментаторів, в першу чергу Паппа Олександрійського (III століття), Прокла (V століття), Сімплікія (VI століття) та ін. Серед збережених праць в першу чергу слід назвати «Начала» Евкліда й окремі книги Аристотеля, Архімеда, Аполлонія і Діофанта.
Початковий період
До VI століття до н. е. грецька математика нічим не вирізнялась. Були освоєні рахунок і вимір. Грецька нумерація (запис чисел), а пізніше і римська, була адитивною, тобто числові значення цифр додавались. Перший її варіант (аттична, або геродіанова) містили позначки у вигляді літер для 1, 5, 10, 50, 100 і 1000. Відповідно була влаштована і дошка для рахування (абак) з камінчиками. До речі, термін калькуляція (обчислення) походить від calculus — камінчик. Особливий дірявий камінчик позначав нуль.
Пізніше (починаючи з V століття до н. е.) замість аттичної нумерації була прийнята алфавітна — перші 9 літер грецького алфавіту позначали цифри від 1 до 9, наступні 9 літер — десятки, інші — сотні. Щоб не плутати числа і літери, над числами малювали риску. Числа, більші ніж 1000, записували позиційно, позначаючи додаткові розряди спеціальним штрихом (внизу зліва). Спеціальні позначки дозволяли зображати і числа, що були значно більші від 10000.
У VI столітті до н. е. починається так зване «грецьке диво»: з'являються відразу дві наукові школи — іонійці (Фалес, Анаксимен, Анаксимандр) і піфагорійці.
Фалес, заможний купець, добре вивчив вавилонську математику і астрономію — ймовірно, під час торговельних поїздок. Іонійці, за повідомленням Евдема Родоського, вперше довели декілька простих геометричних теорем — наприклад, про те, що вертикальні кути рівні . Однак головна роль у створенні античної математики належить піфагорійцям.
Піфагорійська школа
Піфагор, засновник школи — особистість легендарна, достовірність відомостей про нього перевірити неможливо. Мабуть, він, як і Фалес, багато подорожував і теж навчався у єгипетських і вавилонських мудреців. Повернувшись близько 530 р. до н. е. у Велику Грецію (район Південної Італії), він у місті Кротоні заснував щось на зразок таємного духовного ордена. Саме він висунув тезу «Числа правлять світом», і з винятковою енергією займався його обґрунтуванням. На початку V ст. до н. е., після невдалого політичного виступу, піфагорійці були вигнані з Південної Італії, і союз припинив своє існування, проте популярність вчення тільки зросла. Піфагорійські школи з'явилися в Афінах, на островах і в грецьких колоніях, а їх математичні знання, що раніше суворо оберігались від сторонніх, стали загальним надбанням.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5tTDFOaGJucHBiMTh3TVY5UWVYUm9ZV2R2Y21GekxtcHdaeTh6TWpCd2VDMVRZVzU2YVc5Zk1ERmZVSGwwYUdGbmIzSmhjeTVxY0djPS5qcGc=.jpg)
Багато досягнень, які приписували Піфагору, ймовірно, насправді є заслугою його учнів. Піфагорійці займалися астрономією, геометрією, арифметикою (теорією чисел), створили теорію музики. Піфагор першим з європейців зрозумів значення аксіоматичного методу, чітко виділяючи базові припущення (аксіоми, постулати) і дедуктивно виведені з них теореми.
Геометрія піфагорійців здебільшого обмежувалася планіметрією (достатньо повно викладеною, судячи з пізніших робіт, які дійшли до наших днів) і завершувалася доказом «теореми Піфагора». Хоча вивчалися і правильні багатогранники.
Була побудована математична теорія музики. Залежність музичної гармонії від відносин цілих чисел (довжин струн) була вагомим аргументом піфагорійців на користь споконвічної математичної гармонії світу, через 2000 років оспіваної Кеплером. Вони були впевнені, що «елементи чисел є елементами всіх речей … і що весь світ в цілому є гармонією і числом». В основі всіх законів природи, вважали піфагорійці, лежить арифметика, і з її допомогою можна проникнути в усі таємниці світу. На відміну від геометрії, арифметика у них будувалася не на аксіоматичній базі, властивості натуральних чисел вважалися самоочевидними, однак докази теорем і тут проводили неухильно. Поняття нуля і від'ємних чисел ще не виникли.
Піфагорійці далеко просунулися в теорії подільності, але надмірно захопилися «трикутними», «квадратними», «досконалими» тощо числами, яким, судячи з усього, надавали містичне значення. Мабуть, правила побудови «піфагорових трійок» були відкриті вже тоді; вичерпні формули для них навів Діофант. Теорія найбільших спільних дільників і найменших спільних кратних теж, мабуть, має піфагорійське походження. Вони побудували загальну теорію дробів (що розуміються як відносини (пропорції), так як одиниця вважалася неподільною), навчилися виконувати з дробами порівняння (приведенням до спільного знаменника) і всі 4 арифметичні операції. Піфагорійці знали, задовго до «Начал Евкліда», ділення цілих чисел із залишком і «алгоритм Евкліда» для практичного знаходження найбільшого загального дільника. Ланцюгові дроби як самостійний об'єкт виділили тільки в Новий час, хоча їх неповні частки природним шляхом виходять в алгоритмі Евкліда.
Першою тріщиною в піфагорійській моделі світу став ними ж отриманий доказ ірраціональності , сформульований як відношення діагоналі квадрата до його сторони (V століття до н. е.). Неспроможність виразити довжину відрізка числом ставила під сумнів головний принцип піфагорійства. Навіть Аристотель, який не поділяв їхні погляди, висловлював своє здивування з приводу того, що є речі, які «не можна виміряти найменшою мірою».
Положення спробував врятувати талановитий піфагорієць [ru]. Він (і пізніше Евдокс) запропонували нове розуміння числа, яке тепер формулювалося геометричною мовою, і проблем сумірності не виникало. Теетет розробив також повну теорію подільності і класифікацію ірраціональностей. Мабуть, йому також були відомі поняття простого числа і основна теорема арифметики .
Згодом, вже в Новий час, з'ясувалося, що побудова числової алгебри на основі геометрії була стратегічною помилкою піфагорійців. Наприклад, з точки зору геометрії вираз і навіть
не мали геометричного тлумачення, і тому не мали сенсу; те ж стосується від'ємних чисел. Пізніше Декарт вчинив навпаки, побудувавши геометрію на основі алгебри, і досяг величезного прогресу.
Нумерологічна містика піфагорійців також нерідко призводила до довільних і спекулятивних висновків. Наприклад, вони були впевнені в існуванні невидимої Антиземлі, так як без неї число небесних сфер (нижнє небо, Сонце, Місяць і 6 планет) не становить досконалого числа 10. В цілому, незважаючи на велику кількість містики і ексцентричних забобонів, досягнення піфагорійців у розвитку та систематизації античних математичних знань неоціненні.
V століття до н. е. — Зенон, Демокріт
В V столітті до н. е. з'явились нові положення, протиставлені оптимізму піфагорійців.
Перший з них — три класичні задачі давнини: подвоєння куба, трисекція кута і квадратура круга. Греки строго дотримувалися вимоги: всі геометричні побудови повинні виконуватися за допомогою циркуля і лінійки, тобто за допомогою досконалих ліній — прямих і кіл. Однак для перерахованих завдань знайти рішення канонічними методами не вдавалося. Алгебраїчно це означало, що не всяке число можна отримати за допомогою 4 арифметичних операцій і квадратного кореня.
Квадратурою кола безуспішно займався видатний геометр-піфагорієць, автор доевклідових «Начал», першої збірки геометричних знань, Гіппократ Хіоський.
Перші дві задачі зводяться до кубічних рівнянь. Архімед пізніше сформував загальне рішення таких рівнянь за допомогою конічних перетинів, однак багато коментаторів продовжували вважати подібні методи неприйнятними. Гіппій Елідський (V століття до н. е.) показав, що для трисекції кута корисна квадратриса (перша трансцендентна крива в історії математики); вона ж, до речі, вирішує і завдання квадратури кола (Дінострат, IV століття до н. е.).
Крім вище зазначених задач, греки активно досліджували «завдання розподілу кола»: які правильні багатокутники можна побудувати циркулем і лінійкою. Найлегше вдавалося розділити коло на 3, 4, 5, 15 частин, а також подвоїти перераховані значення. Але побудувати циркулем і лінійкою семикутник нікому не вдалося. Як виявилося, в цьому випадку також виходить кубічне рівняння. Повну теорію опублікував тільки Гаус в XIX столітті.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlE1TDBScGIyZGxibWx6WDB4aFpYSjBhV2xmUkdWZlZtbDBhWE5mSlRJNE1UWXlOeVV5T1Y4dFgxcGxibTl1WDI5bVgwVnNaV0ZmYjNKZldtVnViMjVmYjJaZlEybDBhWFZ0TG1wd1p5OHlNakJ3ZUMxRWFXOW5aVzVwYzE5TVlXVnlkR2xwWDBSbFgxWnBkR2x6WHlVeU9ERTJNamNsTWpsZkxWOWFaVzV2Ymw5dlpsOUZiR1ZoWDI5eVgxcGxibTl1WDI5bVgwTnBkR2wxYlM1cWNHYz0uanBn.jpg)
Наступний удар по піфагореїзму завдав Зенон Елейський, запропонувавши ще одну тему для багатовікових роздумів математиків. Він висловив більше 40 парадоксів (апорій), з яких найбільш знамениті три апорії про рух. Всупереч багаторазовим спробам їх спростувати і навіть висміяти, вони, тим не менш, до цих пір служать предметом серйозного аналізу. В них порушені найделікатніші питання основ математики — скінченність і нескінченність, неперервність і дискретність. Математика тоді вважалася засобом пізнання реальності, і суть суперечок можна було виразити як неадекватність безперервної, нескінченно ділимої математичної моделі фізично дискретної матерії.
Наприкінці V століття до н. е. жив ще один видатний мислитель — Демокріт. Він знаменитий не тільки створенням концепції атомів. Архімед писав, що Демокріт знайшов об'єм піраміди і конуса, але доказів своїх формул не дав. Імовірно, Архімед мав на увазі доказ методом вичерпування, якого тоді ще не існувало.
IV століття до н. е. — Платон, Евдокс
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek14TDB4aFgzTmpkVzlzWVY5a2FWOUJkR1Z1WlM1cWNHY3ZOREF3Y0hndFRHRmZjMk4xYjJ4aFgyUnBYMEYwWlc1bExtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Вже до початку IV століття до н. е. грецька математика далеко випередила всіх своїх вчителів, і її бурхливий розвиток тривав. В 389 році до н. е Платон засновує в Афінах свою школу — знамениту Академію. Математиків, що приєдналися до Академії, можна розділити на дві групи: на тих, хто отримав свою математичну освіту поза Академією, і на учнів Академії. До числа перших належали [ru], Архіт Тарентський і пізніше Евдокс Кнідський; до числа інших — брати Менехм і Дінострат.
Сам Платон конкретних математичних досліджень не вів, але опублікував глибокі міркування по філософії та методології математики. А учень Платона, Аристотель, залишив безцінні для нас записки з історії математики.
Евдокс Кнідський перший створив геоцентричну модель руху світил з 27 сферами. Пізніше ця конструкція була розвинена Аполлонієм, Гіппархом і Птолемеєм, які збільшили число сфер до 34 і ввели епіцикли. Йому ж належать два видатних відкриття: (загальна теорія відносин) (геометрична модель дійсних чисел) і античний аналіз — метод вичерпування.
III століття до н. е. — Евклід, Архімед, Аполлоній
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk0wTDBWMVkyeHBaRk4wWVhSMVpVOTRabTl5WkM1cWNHY3ZNakF3Y0hndFJYVmpiR2xrVTNSaGRIVmxUM2htYjNKa0xtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Після завоювань Олександра Македонського науковим центром стародавнього світу стає Олександрія Єгипетська. Птолемей I заснував в ній Мусейон (Будинок Муз) і запросив туди найвизначніших вчених. Це була перша в грекомовному світі державна академія, з багатою бібліотекою (основою якої послужила бібліотека Аристотеля), яка до I століття до н. е. налічувала 70 тисяч томів.
Вчені Олександрії об'єднали обчислювальну потужність і давні знання вавилонських і єгипетських математиків з науковими моделями еллінів. Значно розвинулися плоска і сферична тригонометрія, статика і гідростатика, оптика, музика та ін. Ератосфен уточнив довжину меридіана і винайшов своє славнозвісне «решето». В історії математики відомі три великих геометра давнини, і насамперед — Евклід з його «Началами». Тринадцять книг Начал — основа античної математики, результат її 300-річного розвитку та база для подальших досліджень. Вплив і авторитет цієї книги були величезні протягом двох тисяч років.
Фундамент математики, описаний Евклідом, розширив інший великий учений — Архімед, один з небагатьох математиків античності, які однаково охоче займалися і теоретичною, і прикладною наукою. Він, зокрема, розвинувши метод вичерпування, зумів обчислити площі та об'єми багатьох фігур і тіл, що раніше не піддавалися зусиллям математиків.
Останнім з трійки великих був Аполлоній Перзький, автор глибокого дослідження конічних перетинів.
Занепад античної науки
Після Аполлонія (з II століття до н. е.) в античній науці почався спад. Нових глибоких ідей не з'являється. В 146 році до н. е. Рим захоплює Грецію, а в 31 році до н. е. — Олександрію.
Серед нечисленних досягнень:
- Відкриття конхоїди (Нікомед (математик));
- Відома формула Герона для площі трикутника (I століття н. е.);
- Змістовне дослідження сферичної геометрії Менелаєм Александрійським;
- Завершення геоцентричної моделі світу Птолемея (II століття н. е.), для чого і була потрібна глибока розробка плоскої і сферичної тригонометрії.
Необхідно відзначити діяльність Паппа Александрійського (III століття). Тільки завдяки йому до нас дійшли відомості про античних вчених і їхніх працях.
На тлі загального застою і занепаду різко виділяється гігантська фігура Діофанту — останнього з великих античних математиків, «батька алгебри».
Після III століття н. е. александрійська школа проіснувала близько 100 років — прихід християнства і негаразди в імперії різко знизили інтерес до науки. Окремі наукові праці ще з'являються в Афінах, але в 529 році Юстиніан I закрив Афінську академію як розсадник язичництва.
Частина вчених переїхала до Персії або Сирію і продовжувала праці там. Від них вцілілі скарби античного знання отримали науковці країн ісламу (див. Математика ісламського Середньовіччя).
Висновок
Грецька математика вражає насамперед красою і багатством змісту. Багато вчених Нового часу відзначали, що мотиви своїх відкриттів перейняли у давніх. Зачатки аналізу помітні у Архімеда, коріння алгебри — у Діофанта, аналітична геометрія — у Аполлонія і т. д. Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців .
Перше — греки побудували математику як цілісну науку з власною методологією, заснованою на чітко сформульованих законах логіки.
Друге — вони наголосили, що закони природи збагненні для людського розуму, і математичні моделі — ключ до їх пізнання.
В цих двох відносинах антична математика цілком сучасна.
Література
- Башмакова І. Г. Лекції з історії математики в Давній Греції. // . — М. : Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 225-440.
- Ван дер Варден. Наука, що пробуджується. Математика давнього Єгипта, Вавилона і Греції. [ 7 червня 2015 у Wayback Machine.] М.: Физматгиз, 1959, 456 с.
- Вигодський М. Я. Арифметика і алгебра в давньому світі. М., 1967.
- Глейзер Г. І. Історія математики в школі. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
- Депман И. Я. Історія арифметики. [ 14 травня 2017 у Wayback Machine.] Пособник для вчителів. Вид.друге. М.: Просвещение, 1965.
- Історія математики / Під редакцією А. П. Юшкевича, в трьох томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
- Клайн М. М., Мир, 1984.
- Нейгебауэр О. Точні науки давнини. М., 1968.
- Розенфельд Б. А. Аполлоній Пергський. (2004) [ 8 липня 2018 у Wayback Machine.]
- Рибников К. А. Історія математики. М., 1994.
- Хрестоматія з історії математики. Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія. Під ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
Посилання
- Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
Примітки
- Петров Ю. П. Історія та філософія науки. Математика, обчислювальна техніка, інформатика. Спб.: БХВ-Петербург, 2005. , 448 с., Стор. 9.
- Башмакова І. Г., 1958, с. 232..
- Шмутцер Е., Шютц В. Галілео Галілей. — М., 1987. — С. 116.
- Башмакова І. Г., 1958, с. 240..
- Аристотель. Метафізика. Переклад і примітки А. В. Кубіцького. М.-Л., 1934, стор. 26-27.
- Аристотель. Метафізика. Переклад і примітки А. В. Кубицького. М.—Л., 1934, стр. 22.
- Башмакова І. Г., 1958, с. 260..
- Див. докладніше (Апорії Зенона#Сучасне трактування).
- Башмакова І. Г., 1958, с. 436-437..
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya chastina oglyadu Istoriya matematiki dd Ponyattya davnogrecka matematika ohoplyuye dosyagnennya grekomovnih matematikiv sho zhili v period mizh VI stolittyam do n e i V stolittyam n e Matematika yak nauka narodilasya v Drevnij Greciyi V krayinah suchasnikah Elladi matematika vikoristovuvalasya abo dlya zvichajnih potreb pidrahunki vimiryuvannya abo navpaki dlya magichnih ritualiv sho mali metu z yasuvati volyu bogiv astrologiya numerologiya tosho Greki pidijshli do spravi z inshogo boku voni visunuli tezu Chisla pravlyat svitom Abo yak sformulyuvav cyu zh dumku Galileo Galilej dva tisyacholittya tomu kniga prirodi napisana movoyu matematiki Greki perevirili spravedlivist ciyeyi tezi v tih oblastyah de zmogli astronomiya optika muzika geometriya piznishe mehanika Usyudi buli vidznacheni vrazhayuchi uspihi matematichna model volodila bezzaperechnoyu providchoyu siloyu Odnochasno greki stvorili metodologiyu matematiki i zavershili peretvorennya yiyi zi zbirki pivevristichesnih algoritmiv v cilisnu sistemu znan Osnovoyu ciyeyi sistemi vpershe stav deduktivnij metod sho pokazuye yak z vidomih istin vivoditi novi prichomu logika vivedennya garantuye istinnist novih rezultativ Deduktivnij metod takozh dozvolyaye viyaviti ne ochevidni zv yazki mizh ponyattyami naukovimi faktami i oblastyami matematiki Muza geometriyi Luvr DzherelaVelika chastina antichnih tvoriv z matematiki ne dijshla do nashih dniv i vidoma lishe zavdyaki spogadam piznishih avtoriv i komentatoriv v pershu chergu Pappa Oleksandrijskogo III stolittya Prokla V stolittya Simplikiya VI stolittya ta in Sered zberezhenih prac v pershu chergu slid nazvati Nachala Evklida j okremi knigi Aristotelya Arhimeda Apolloniya i Diofanta Pochatkovij periodDo VI stolittya do n e grecka matematika nichim ne viriznyalas Buli osvoyeni rahunok i vimir Grecka numeraciya zapis chisel a piznishe i rimska bula aditivnoyu tobto chislovi znachennya cifr dodavalis Pershij yiyi variant attichna abo gerodianova mistili poznachki u viglyadi liter dlya 1 5 10 50 100 i 1000 Vidpovidno bula vlashtovana i doshka dlya rahuvannya abak z kaminchikami Do rechi termin kalkulyaciya obchislennya pohodit vid calculus kaminchik Osoblivij diryavij kaminchik poznachav nul Piznishe pochinayuchi z V stolittya do n e zamist attichnoyi numeraciyi bula prijnyata alfavitna pershi 9 liter greckogo alfavitu poznachali cifri vid 1 do 9 nastupni 9 liter desyatki inshi sotni Shob ne plutati chisla i literi nad chislami malyuvali risku Chisla bilshi nizh 1000 zapisuvali pozicijno poznachayuchi dodatkovi rozryadi specialnim shtrihom vnizu zliva Specialni poznachki dozvolyali zobrazhati i chisla sho buli znachno bilshi vid 10000 U VI stolitti do n e pochinayetsya tak zvane grecke divo z yavlyayutsya vidrazu dvi naukovi shkoli ionijci Fales Anaksimen Anaksimandr i pifagorijci Fales zamozhnij kupec dobre vivchiv vavilonsku matematiku i astronomiyu jmovirno pid chas torgovelnih poyizdok Ionijci za povidomlennyam Evdema Rodoskogo vpershe doveli dekilka prostih geometrichnih teorem napriklad pro te sho vertikalni kuti rivni Odnak golovna rol u stvorenni antichnoyi matematiki nalezhit pifagorijcyam Pifagorijska shkolaPifagor zasnovnik shkoli osobistist legendarna dostovirnist vidomostej pro nogo pereviriti nemozhlivo Mabut vin yak i Fales bagato podorozhuvav i tezh navchavsya u yegipetskih i vavilonskih mudreciv Povernuvshis blizko 530 r do n e u Veliku Greciyu rajon Pivdennoyi Italiyi vin u misti Krotoni zasnuvav shos na zrazok tayemnogo duhovnogo ordena Same vin visunuv tezu Chisla pravlyat svitom i z vinyatkovoyu energiyeyu zajmavsya jogo obgruntuvannyam Na pochatku V st do n e pislya nevdalogo politichnogo vistupu pifagorijci buli vignani z Pivdennoyi Italiyi i soyuz pripiniv svoye isnuvannya prote populyarnist vchennya tilki zrosla Pifagorijski shkoli z yavilisya v Afinah na ostrovah i v greckih koloniyah a yih matematichni znannya sho ranishe suvoro oberigalis vid storonnih stali zagalnim nadbannyam Rafael Santi Pifagor detal Afinskoyi shkoli Bagato dosyagnen yaki pripisuvali Pifagoru jmovirno naspravdi ye zaslugoyu jogo uchniv Pifagorijci zajmalisya astronomiyeyu geometriyeyu arifmetikoyu teoriyeyu chisel stvorili teoriyu muziki Pifagor pershim z yevropejciv zrozumiv znachennya aksiomatichnogo metodu chitko vidilyayuchi bazovi pripushennya aksiomi postulati i deduktivno vivedeni z nih teoremi Geometriya pifagorijciv zdebilshogo obmezhuvalasya planimetriyeyu dostatno povno vikladenoyu sudyachi z piznishih robit yaki dijshli do nashih dniv i zavershuvalasya dokazom teoremi Pifagora Hocha vivchalisya i pravilni bagatogranniki Bula pobudovana matematichna teoriya muziki Zalezhnist muzichnoyi garmoniyi vid vidnosin cilih chisel dovzhin strun bula vagomim argumentom pifagorijciv na korist spokonvichnoyi matematichnoyi garmoniyi svitu cherez 2000 rokiv ospivanoyi Keplerom Voni buli vpevneni sho elementi chisel ye elementami vsih rechej i sho ves svit v cilomu ye garmoniyeyu i chislom V osnovi vsih zakoniv prirodi vvazhali pifagorijci lezhit arifmetika i z yiyi dopomogoyu mozhna proniknuti v usi tayemnici svitu Na vidminu vid geometriyi arifmetika u nih buduvalasya ne na aksiomatichnij bazi vlastivosti naturalnih chisel vvazhalisya samoochevidnimi odnak dokazi teorem i tut provodili neuhilno Ponyattya nulya i vid yemnih chisel she ne vinikli Pifagorijci daleko prosunulisya v teoriyi podilnosti ale nadmirno zahopilisya trikutnimi kvadratnimi doskonalimi tosho chislami yakim sudyachi z usogo nadavali mistichne znachennya Mabut pravila pobudovi pifagorovih trijok buli vidkriti vzhe todi vicherpni formuli dlya nih naviv Diofant Teoriya najbilshih spilnih dilnikiv i najmenshih spilnih kratnih tezh mabut maye pifagorijske pohodzhennya Voni pobuduvali zagalnu teoriyu drobiv sho rozumiyutsya yak vidnosini proporciyi tak yak odinicya vvazhalasya nepodilnoyu navchilisya vikonuvati z drobami porivnyannya privedennyam do spilnogo znamennika i vsi 4 arifmetichni operaciyi Pifagorijci znali zadovgo do Nachal Evklida dilennya cilih chisel iz zalishkom i algoritm Evklida dlya praktichnogo znahodzhennya najbilshogo zagalnogo dilnika Lancyugovi drobi yak samostijnij ob yekt vidilili tilki v Novij chas hocha yih nepovni chastki prirodnim shlyahom vihodyat v algoritmi Evklida Pershoyu trishinoyu v pifagorijskij modeli svitu stav nimi zh otrimanij dokaz irracionalnosti 2 displaystyle sqrt 2 sformulovanij yak vidnoshennya diagonali kvadrata do jogo storoni V stolittya do n e Nespromozhnist viraziti dovzhinu vidrizka chislom stavila pid sumniv golovnij princip pifagorijstva Navit Aristotel yakij ne podilyav yihni poglyadi vislovlyuvav svoye zdivuvannya z privodu togo sho ye rechi yaki ne mozhna vimiryati najmenshoyu miroyu Polozhennya sprobuvav vryatuvati talanovitij pifagoriyec ru Vin i piznishe Evdoks zaproponuvali nove rozuminnya chisla yake teper formulyuvalosya geometrichnoyu movoyu i problem sumirnosti ne vinikalo Teetet rozrobiv takozh povnu teoriyu podilnosti i klasifikaciyu irracionalnostej Mabut jomu takozh buli vidomi ponyattya prostogo chisla i osnovna teorema arifmetiki Zgodom vzhe v Novij chas z yasuvalosya sho pobudova chislovoyi algebri na osnovi geometriyi bula strategichnoyu pomilkoyu pifagorijciv Napriklad z tochki zoru geometriyi viraz x2 x displaystyle x 2 x i navit x4 displaystyle x 4 ne mali geometrichnogo tlumachennya i tomu ne mali sensu te zh stosuyetsya vid yemnih chisel Piznishe Dekart vchiniv navpaki pobuduvavshi geometriyu na osnovi algebri i dosyag velicheznogo progresu Numerologichna mistika pifagorijciv takozh neridko prizvodila do dovilnih i spekulyativnih visnovkiv Napriklad voni buli vpevneni v isnuvanni nevidimoyi Antizemli tak yak bez neyi chislo nebesnih sfer nizhnye nebo Sonce Misyac i 6 planet ne stanovit doskonalogo chisla 10 V cilomu nezvazhayuchi na veliku kilkist mistiki i ekscentrichnih zaboboniv dosyagnennya pifagorijciv u rozvitku ta sistematizaciyi antichnih matematichnih znan neocinenni V stolittya do n e Zenon DemokritV V stolitti do n e z yavilis novi polozhennya protistavleni optimizmu pifagorijciv Pershij z nih tri klasichni zadachi davnini podvoyennya kuba trisekciya kuta i kvadratura kruga Greki strogo dotrimuvalisya vimogi vsi geometrichni pobudovi povinni vikonuvatisya za dopomogoyu cirkulya i linijki tobto za dopomogoyu doskonalih linij pryamih i kil Odnak dlya pererahovanih zavdan znajti rishennya kanonichnimi metodami ne vdavalosya Algebrayichno ce oznachalo sho ne vsyake chislo mozhna otrimati za dopomogoyu 4 arifmetichnih operacij i kvadratnogo korenya Kvadraturoyu kola bezuspishno zajmavsya vidatnij geometr pifagoriyec avtor doevklidovih Nachal pershoyi zbirki geometrichnih znan Gippokrat Hioskij Pershi dvi zadachi zvodyatsya do kubichnih rivnyan Arhimed piznishe sformuvav zagalne rishennya takih rivnyan za dopomogoyu konichnih peretiniv odnak bagato komentatoriv prodovzhuvali vvazhati podibni metodi neprijnyatnimi Gippij Elidskij V stolittya do n e pokazav sho dlya trisekciyi kuta korisna kvadratrisa persha transcendentna kriva v istoriyi matematiki vona zh do rechi virishuye i zavdannya kvadraturi kola Dinostrat IV stolittya do n e Krim vishe zaznachenih zadach greki aktivno doslidzhuvali zavdannya rozpodilu kola yaki pravilni bagatokutniki mozhna pobuduvati cirkulem i linijkoyu Najlegshe vdavalosya rozdiliti kolo na 3 4 5 15 chastin a takozh podvoyiti pererahovani znachennya Ale pobuduvati cirkulem i linijkoyu semikutnik nikomu ne vdalosya Yak viyavilosya v comu vipadku takozh vihodit kubichne rivnyannya Povnu teoriyu opublikuvav tilki Gaus v XIX stolitti Zenon Elejskij Nastupnij udar po pifagoreyizmu zavdav Zenon Elejskij zaproponuvavshi she odnu temu dlya bagatovikovih rozdumiv matematikiv Vin visloviv bilshe 40 paradoksiv aporij z yakih najbilsh znameniti tri aporiyi pro ruh Vsuperech bagatorazovim sprobam yih sprostuvati i navit vismiyati voni tim ne mensh do cih pir sluzhat predmetom serjoznogo analizu V nih porusheni najdelikatnishi pitannya osnov matematiki skinchennist i neskinchennist neperervnist i diskretnist Matematika todi vvazhalasya zasobom piznannya realnosti i sut superechok mozhna bulo viraziti yak neadekvatnist bezperervnoyi neskinchenno dilimoyi matematichnoyi modeli fizichno diskretnoyi materiyi Naprikinci V stolittya do n e zhiv she odin vidatnij mislitel Demokrit Vin znamenitij ne tilki stvorennyam koncepciyi atomiv Arhimed pisav sho Demokrit znajshov ob yem piramidi i konusa ale dokaziv svoyih formul ne dav Imovirno Arhimed mav na uvazi dokaz metodom vicherpuvannya yakogo todi she ne isnuvalo IV stolittya do n e Platon EvdoksRafael Santi Afinska shkola Vzhe do pochatku IV stolittya do n e grecka matematika daleko viperedila vsih svoyih vchiteliv i yiyi burhlivij rozvitok trivav V 389 roci do n e Platon zasnovuye v Afinah svoyu shkolu znamenitu Akademiyu Matematikiv sho priyednalisya do Akademiyi mozhna rozdiliti na dvi grupi na tih hto otrimav svoyu matematichnu osvitu poza Akademiyeyu i na uchniv Akademiyi Do chisla pershih nalezhali ru Arhit Tarentskij i piznishe Evdoks Knidskij do chisla inshih brati Menehm i Dinostrat Sam Platon konkretnih matematichnih doslidzhen ne viv ale opublikuvav gliboki mirkuvannya po filosofiyi ta metodologiyi matematiki A uchen Platona Aristotel zalishiv bezcinni dlya nas zapiski z istoriyi matematiki Evdoks Knidskij pershij stvoriv geocentrichnu model ruhu svitil z 27 sferami Piznishe cya konstrukciya bula rozvinena Apolloniyem Gipparhom i Ptolemeyem yaki zbilshili chislo sfer do 34 i vveli epicikli Jomu zh nalezhat dva vidatnih vidkrittya zagalna teoriya vidnosin geometrichna model dijsnih chisel i antichnij analiz metod vicherpuvannya III stolittya do n e Evklid Arhimed ApollonijEvklid Oksfordskij universitetskij muzej prirodnoyi istoriyi Pislya zavoyuvan Oleksandra Makedonskogo naukovim centrom starodavnogo svitu staye Oleksandriya Yegipetska Ptolemej I zasnuvav v nij Musejon Budinok Muz i zaprosiv tudi najviznachnishih vchenih Ce bula persha v grekomovnomu sviti derzhavna akademiya z bagatoyu bibliotekoyu osnovoyu yakoyi posluzhila biblioteka Aristotelya yaka do I stolittya do n e nalichuvala 70 tisyach tomiv Vcheni Oleksandriyi ob yednali obchislyuvalnu potuzhnist i davni znannya vavilonskih i yegipetskih matematikiv z naukovimi modelyami elliniv Znachno rozvinulisya ploska i sferichna trigonometriya statika i gidrostatika optika muzika ta in Eratosfen utochniv dovzhinu meridiana i vinajshov svoye slavnozvisne resheto V istoriyi matematiki vidomi tri velikih geometra davnini i nasampered Evklid z jogo Nachalami Trinadcyat knig Nachal osnova antichnoyi matematiki rezultat yiyi 300 richnogo rozvitku ta baza dlya podalshih doslidzhen Vpliv i avtoritet ciyeyi knigi buli velichezni protyagom dvoh tisyach rokiv Fundament matematiki opisanij Evklidom rozshiriv inshij velikij uchenij Arhimed odin z nebagatoh matematikiv antichnosti yaki odnakovo ohoche zajmalisya i teoretichnoyu i prikladnoyu naukoyu Vin zokrema rozvinuvshi metod vicherpuvannya zumiv obchisliti ploshi ta ob yemi bagatoh figur i til sho ranishe ne piddavalisya zusillyam matematikiv Ostannim z trijki velikih buv Apollonij Perzkij avtor glibokogo doslidzhennya konichnih peretiniv Zanepad antichnoyi naukiPislya Apolloniya z II stolittya do n e v antichnij nauci pochavsya spad Novih glibokih idej ne z yavlyayetsya V 146 roci do n e Rim zahoplyuye Greciyu a v 31 roci do n e Oleksandriyu Sered nechislennih dosyagnen Vidkrittya konhoyidi Nikomed matematik Vidoma formula Gerona dlya ploshi trikutnika I stolittya n e Zmistovne doslidzhennya sferichnoyi geometriyi Menelayem Aleksandrijskim Zavershennya geocentrichnoyi modeli svitu Ptolemeya II stolittya n e dlya chogo i bula potribna gliboka rozrobka ploskoyi i sferichnoyi trigonometriyi Neobhidno vidznachiti diyalnist Pappa Aleksandrijskogo III stolittya Tilki zavdyaki jomu do nas dijshli vidomosti pro antichnih vchenih i yihnih pracyah Na tli zagalnogo zastoyu i zanepadu rizko vidilyayetsya gigantska figura Diofantu ostannogo z velikih antichnih matematikiv batka algebri Pislya III stolittya n e aleksandrijska shkola proisnuvala blizko 100 rokiv prihid hristiyanstva i negarazdi v imperiyi rizko znizili interes do nauki Okremi naukovi praci she z yavlyayutsya v Afinah ale v 529 roci Yustinian I zakriv Afinsku akademiyu yak rozsadnik yazichnictva Chastina vchenih pereyihala do Persiyi abo Siriyu i prodovzhuvala praci tam Vid nih vcilili skarbi antichnogo znannya otrimali naukovci krayin islamu div Matematika islamskogo Serednovichchya VisnovokGrecka matematika vrazhaye nasampered krasoyu i bagatstvom zmistu Bagato vchenih Novogo chasu vidznachali sho motivi svoyih vidkrittiv perejnyali u davnih Zachatki analizu pomitni u Arhimeda korinnya algebri u Diofanta analitichna geometriya u Apolloniya i t d Ale golovne navit ne v comu Dva dosyagnennya greckoyi matematiki daleko perezhili svoyih tvorciv Pershe greki pobuduvali matematiku yak cilisnu nauku z vlasnoyu metodologiyeyu zasnovanoyu na chitko sformulovanih zakonah logiki Druge voni nagolosili sho zakoni prirodi zbagnenni dlya lyudskogo rozumu i matematichni modeli klyuch do yih piznannya V cih dvoh vidnosinah antichna matematika cilkom suchasna LiteraturaBashmakova I G Lekciyi z istoriyi matematiki v Davnij Greciyi M Fizmatgiz 1958 11 S 225 440 Van der Varden Nauka sho probudzhuyetsya Matematika davnogo Yegipta Vavilona i Greciyi 7 chervnya 2015 u Wayback Machine M Fizmatgiz 1959 456 s Vigodskij M Ya Arifmetika i algebra v davnomu sviti M 1967 Glejzer G I Istoriya matematiki v shkoli M Prosveshenie 1964 376 s Depman I Ya Istoriya arifmetiki 14 travnya 2017 u Wayback Machine Posobnik dlya vchiteliv Vid druge M Prosveshenie 1965 Istoriya matematiki Pid redakciyeyu A P Yushkevicha v troh tomah M Nauka 1970 T I Klajn M M Mir 1984 Nejgebauer O Tochni nauki davnini M 1968 Rozenfeld B A Apollonij Pergskij 2004 8 lipnya 2018 u Wayback Machine Ribnikov K A Istoriya matematiki M 1994 Hrestomatiya z istoriyi matematiki Arifmetika i algebra Teoriya chisel Geometriya Pid red A P Yushkevicha M 1976 PosilannyaMatematika Enciklopedicheskij slovar Brokgauza i Efrona v 86 t 82 t i 4 dop t SPb 1890 1907 ros doref PrimitkiPetrov Yu P Istoriya ta filosofiya nauki Matematika obchislyuvalna tehnika informatika Spb BHV Peterburg 2005 ISBN 5 94157 689 7 448 s Stor 9 Bashmakova I G 1958 s 232 Shmutcer E Shyutc V Galileo Galilej M 1987 S 116 Bashmakova I G 1958 s 240 Aristotel Metafizika Pereklad i primitki A V Kubickogo M L 1934 stor 26 27 Aristotel Metafizika Pereklad i primitki A V Kubickogo M L 1934 str 22 Bashmakova I G 1958 s 260 Div dokladnishe Aporiyi Zenona Suchasne traktuvannya Bashmakova I G 1958 s 436 437