Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Евдокс Кнідський (дав.-гр. Εύδοξος, лат. Eudoxus; бл.408 до н. е. — бл. 355 до н. е.) — давньогрецький математик і астроном, народився в Кніді, на південному заході Малої Азії.
Біографія
Евдокс вивчав медицину, математику (у піфагорійця Архіта в Італії), приєднався до школи Платона в Афінах. Близько року перебував у Єгипті, вивчав астрономію в Геліополі. Потім Евдокс переселився в місто на Мармуровому морі, заснував там свою математико-астрономічну школу, читав лекції з філософії, астрономії і метеорології.
Близько 368 р. до н. е. Евдокс разом з частиною учнів повернувся до Афін. Помер в рідному Кінді, оточений славою і повагою сучасників.
Евдокс також займався лікуванням, музикою; мав ораторські здібності.
Математика
Вводячи поняття змінної величини, Евдокс розглядав прямолінійні відрізки як безупинно змінювані, які з будь-яким ступенем точності можуть бути виражені за допомогою інших відрізків. Побудована Евдоксом теорія величин вважається сьогодні одним з найбільших витворів математики за всю її історію, яка стала основою для побудови теорії ірраціональних чисел Ю. Дедекінда.
Теорія пропорцій Евдокса у математиці і теоретичному природознавстві встановила діалектичний взаємозв'язок дискретного і неперервного, арифметичного атомізму і геометричної континуальності величини. Теорія пропорцій була першою фундаментальною теорією, передвісницею функціональної залежності і теорії функцій змінного.
Надалі ці теорії і методи Евдокса були розвинені Архімедом.
Евдокс отримав фундаментальні результати в різноманітних галузях математики. Наприклад, при розробці своєї астрономічної моделі він значно просунув сферичну геометрію. Однак особливо велике значення мали створені ним дві класичні теорії.
Загальна теорія відношень
Числові системи стародавніх греків обмежувалися натуральними числами і їх відношеннями (дробами, раціональними числами). Однак ще піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, тобто відношення їх довжин не може бути представлено раціональним числом. Стало зрозуміло, що піфагорійська арифметика повинна бути якимось чином розширена з тим, щоб включати всі результати вимірювань. Це і зробив Евдокс. Його теорія дійшла до нас у викладі Евкліда (Начала, книга V).
На додаток до чисел Евдокс ввів ширше поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі або об'єму. З сучасної точки зору, число при такому підході є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталона. Цей підхід знімає проблему несумірності. По суті, теорія відношень Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. Слід, однак, підкреслити, що Евдокс залишився вірним колишній традиції — він не розглядав таке відношення як число; через це в «Засадах» багато теорем про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Визнання іррациональностей як особливого виду чисел відбулося багато пізніше, під впливом та ісламських математичних шкіл.
На початку своєї побудови Евдокс дав аксіоматику для порівняння величин. Всі однорідні величини можна порівнювати між собою, і для них визначені дві операції: відділення частини і з'єднання (взяття кратного). Однорідність величин сформульована у вигляді аксіоми, відомої також як аксіома Архімеда: «Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть перевищити один одного».
Далі Евдокс розглядає відношення між величинами і визначає для них рівність:
Кажуть, що величини знаходяться в том самому відношенні: перша до другої і третя до четвертої, якщо рівнократні першої і третьої одночасно біьші, або одночасно рівні, або одночасно менші рівнократних другої і четвертої, кожна кожній при якій би то не було кратності, якщо взяти їх у відповідному порядку.
У перекладі на сучасну математичну мову це означає, що відношення a: b і c: d рівні, якщо для будь-яких натуральних m, n виконується одне з трьох співвідношень:
- або ma < nb і mc < nd;
- або ma = nb і mc = nd;
- або ma > nb і mc > nd.
Фактично описана властивість означає, що між a: b и c: d не можна вставити раціональне число.
Далі Евдокс акуратно виводить властивості відношень: транзитивність, і т. д.
Класична теорія Дедекінда для побудови дійсних чисел вражаюче схожа на виклад Евдокса. Відповідність між ними встановлюється так: нехай задані дві величини Евдокса a, b; дріб m/n віднесемо до класу A, якщо ma > nb, інакше — до класу B. Тоді класи A і B визначають дедекіндів переріз поля раціональних чисел Q. Залишилось ототожнити відношення за Евдоксом b: a з цим дедекіндовим числом.
Зазначимо, однак, що у Евдокса відсутній аналог , і нізвідки не випливає, що всякий переріз Q визначає дійсне число.
Метод вичерпування
Це свого роду античний аналіз криволінійних фігур. Обґрунтування цього методу не спирається на актуальні нескінченно малі, але неявно включає поняття границі. Назву «метод вичерпування» запропонував в 1647 році у Грегуар де Сен-Венсан, в античні часи у методу не було спеціальної назви.
Метод полягав в наступному: для знаходження площі (або об'єму) деякої фігури в цю фігуру вписувалася монотонна послідовність інших фігур і доводилося, що їх площі (об'єми) необмежено наближаються до площі (об'єму) шуканої фігури. Потім обчислювалася границя послідовності площ (об'ємів), для чого висувалася гіпотеза, що вона дорівнює деякому A і доводилося, що зворотне призводить до суперечності. Оскільки загальної теорії границь не було (греки уникали поняття нескінченності), всі ці кроки, включаючи обґрунтування єдиності границі, повторювалися для кожного завдання.
У такій формі метод вичерпування добре вписувався в строго дедуктивну побудову античної математики, проте мав кілька суттєвих недоліків. По-перше, він був надзвичайно громіздким. По-друге, не було ніякого загального методу для обчислення граничного значення A; Архімед, наприклад, нерідко виводив його з механічних міркувань або просто інтуїтивно вгадував. Нарешті, цей метод не придатний для знаходження площ нескінченних фігур.
За допомогою методу вичерпання Евдокс строго довів ряд вже відомих в ті роки відкриттів (площа кола, об'єм піраміди та конуса).
Найпліднішим цей метод став у руках видатного послідовника Евдокса, Архімеда, який зміг його значно удосконалити і віртуозно застосовував для багатьох нових відкриттів. В середні століття європейські математики також застосовували метод вичерпування, поки він не був витіснений спочатку більш потужним і технологічним методом неподільних, а потім — математичним аналізом.
Астрономія
Першим зробив спробу створити теорію руху планет. Склав найдавнішу карту зоряного неба, на якій сузір'я були представлені фігурами різних тварин і героїв старогрецьких міфів, одним з перших привів на ній назви зодіакальних сузір'їв і сузір'їв, розташованих поза поясом зодіаку. Йому приписується введення в Греції календаря, що містить в році 365 ¼ доби.
Для кожної планети він ввів чотири сфери, які рівномірно обертаються. За обертанням цих сфер, він пояснював добовий рух планет, рух планет відносно екліптики, а також його відмінність у кожної з планет. Евдокс не обмежувався лише теорією. При своїй школі в Кізіку він організував обсерваторію, де його учні вели систематичне спостереження за небесними світилами. Відомо два твори, присвячені астрономії: «Явища» та «Дзеркало».
Філософія
Див. також
Примітки
- Саме так визначали загальне поняття числа Ньютон та інші математики Нового часу.
- Башмакова И. Г., 1958, с. 309-323.
- Euclid, 1948, Том V..
Література
- Узбек Костянтин Минович.. Антична математика і становлення системних підвалин філософського раціоналізму: дис… д-ра філос. наук: 09.00.09 / Інститут філософії ім. Г. С. Сковороди НАН України. — К., 2005. — 39с.
- К. М. Узбек. "Фрагменти побудови античної науки, філософії і культури. Донецьк: Східний видавничий дім, 2010. — 234 с.
- Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической древности. М,-Л.: ОНТИ, 1936.
- Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии. М.: Изд-во МГУ, 1989.
- Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. М.: Янус-К, 2001.
- Житомирский С. В. Планетарная гипотеза Евдокса и древняя мифология //Астрономия древних обществ. М., 2002. C.311-314.
- Зайцев А. И. Роль Евдокса Книдского в становлении астрономической науки в Древней Греции. // Зайцев А. И. Избранные статьи. т. 2. СПб., 2003. С.406-410.
- Паннекук А. История астрономии, М.: Наука, 1966.
- Fowler D. H. Eudoxus: Parapegmata and Proportionality. In: Ancient and Medieval trends in the exact sciences. Stanford: CSLI Publications, 2000, p. 33-48.
- Goldstein B. R., Bowen A. C. A new view of early Greek astronomy, Isis, 74(273), 1983, p. 330—340.
- Knorr W. R. Plato and Eudoxus on the planetary motions. Journal for the History of Astronomy, 21, 1990, p. 313—329.
- Mendell H. Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes, Centaurus, 40, 1998, p. 177—275.
- Riddel R. C. Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres, Archive for History of Exact Sciences, 20, 1979, p. 1-19.
- Wright L. The astronomy of Eudoxus: geometry or physics? Stud. Hist. and Phil. Sci., 4, 1973, p. 165—172.
- Yavetz I. On the homocentric spheres of Eudoxus, Archive for History of Exact Sciences, 52, 1998, p. 221—278.
- Yavetz I. A new role for the hippopede of Eudoxus, Archive for History of Exact Sciences, 56, 2001, p. 69-93.
Посилання
- Eudoxus of Cnidus (The MacTutor History of Mathematics archive) [ 13 грудня 2012 у Wayback Machine.]
- C. S. McConnell
- История математики [Архівовано 28 листопада 2012 у WebCite] с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том I, М., Наука, 1972.
- (Java applet)
- Eudoxus of Cnidus [ 23 липня 1997 у Wayback Machine.]
- Herodotus Project: Extensive B+W photo essay of Cnidus [ 21 серпня 2008 у Wayback Machine.]
- Dennis Duke, «Statistical dating of the Phaenomena of Eudoxus», DIO, volume 15, pages 7 to 23. [ 19 липня 2011 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Evdoks Knidskij dav gr Eydo3os lat Eudoxus bl 408 do n e bl 355 do n e davnogreckij matematik i astronom narodivsya v Knidi na pivdennomu zahodi Maloyi Aziyi BiografiyaEvdoks vivchav medicinu matematiku u pifagorijcya Arhita v Italiyi priyednavsya do shkoli Platona v Afinah Blizko roku perebuvav u Yegipti vivchav astronomiyu v Geliopoli Potim Evdoks pereselivsya v misto na Marmurovomu mori zasnuvav tam svoyu matematiko astronomichnu shkolu chitav lekciyi z filosofiyi astronomiyi i meteorologiyi Blizko 368 r do n e Evdoks razom z chastinoyu uchniv povernuvsya do Afin Pomer v ridnomu Kindi otochenij slavoyu i povagoyu suchasnikiv Evdoks takozh zajmavsya likuvannyam muzikoyu mav oratorski zdibnosti Na chest Evdoksa nazvano krateri na Misyaci i na Marsi MatematikaVvodyachi ponyattya zminnoyi velichini Evdoks rozglyadav pryamolinijni vidrizki yak bezupinno zminyuvani yaki z bud yakim stupenem tochnosti mozhut buti virazheni za dopomogoyu inshih vidrizkiv Pobudovana Evdoksom teoriya velichin vvazhayetsya sogodni odnim z najbilshih vitvoriv matematiki za vsyu yiyi istoriyu yaka stala osnovoyu dlya pobudovi teoriyi irracionalnih chisel Yu Dedekinda Teoriya proporcij Evdoksa u matematici i teoretichnomu prirodoznavstvi vstanovila dialektichnij vzayemozv yazok diskretnogo i neperervnogo arifmetichnogo atomizmu i geometrichnoyi kontinualnosti velichini Teoriya proporcij bula pershoyu fundamentalnoyu teoriyeyu peredvisniceyu funkcionalnoyi zalezhnosti i teoriyi funkcij zminnogo Nadali ci teoriyi i metodi Evdoksa buli rozvineni Arhimedom Evdoks otrimav fundamentalni rezultati v riznomanitnih galuzyah matematiki Napriklad pri rozrobci svoyeyi astronomichnoyi modeli vin znachno prosunuv sferichnu geometriyu Odnak osoblivo velike znachennya mali stvoreni nim dvi klasichni teoriyi Zagalna teoriya vidnoshen Chislovi sistemi starodavnih grekiv obmezhuvalisya naturalnimi chislami i yih vidnoshennyami drobami racionalnimi chislami Odnak she pifagorijci viyavili sho diagonal kvadrata neporivnyanna z jogo storonoyu tobto vidnoshennya yih dovzhin ne mozhe buti predstavleno racionalnim chislom Stalo zrozumilo sho pifagorijska arifmetika povinna buti yakimos chinom rozshirena z tim shob vklyuchati vsi rezultati vimiryuvan Ce i zrobiv Evdoks Jogo teoriya dijshla do nas u vikladi Evklida Nachala kniga V Na dodatok do chisel Evdoks vviv shirshe ponyattya geometrichnoyi velichini tobto dovzhini vidrizka ploshi abo ob yemu Z suchasnoyi tochki zoru chislo pri takomu pidhodi ye vidnoshennya dvoh odnoridnih velichin napriklad doslidzhuvanoyi i odinichnogo etalona Cej pidhid znimaye problemu nesumirnosti Po suti teoriya vidnoshen Evdoksa ce geometrichna model dijsnih chisel Slid odnak pidkresliti sho Evdoks zalishivsya virnim kolishnij tradiciyi vin ne rozglyadav take vidnoshennya yak chislo cherez ce v Zasadah bagato teorem pro vlastivosti chisel potim zanovo dovodyatsya dlya velichin Viznannya irracionalnostej yak osoblivogo vidu chisel vidbulosya bagato piznishe pid vplivom ta islamskih matematichnih shkil Na pochatku svoyeyi pobudovi Evdoks dav aksiomatiku dlya porivnyannya velichin Vsi odnoridni velichini mozhna porivnyuvati mizh soboyu i dlya nih viznacheni dvi operaciyi viddilennya chastini i z yednannya vzyattya kratnogo Odnoridnist velichin sformulovana u viglyadi aksiomi vidomoyi takozh yak aksioma Arhimeda Kazhut sho velichini mayut vidnoshennya mizh soboyu yaksho voni vzyati kratno mozhut perevishiti odin odnogo Dali Evdoks rozglyadaye vidnoshennya mizh velichinami i viznachaye dlya nih rivnist Kazhut sho velichini znahodyatsya v tom samomu vidnoshenni persha do drugoyi i tretya do chetvertoyi yaksho rivnokratni pershoyi i tretoyi odnochasno bishi abo odnochasno rivni abo odnochasno menshi rivnokratnih drugoyi i chetvertoyi kozhna kozhnij pri yakij bi to ne bulo kratnosti yaksho vzyati yih u vidpovidnomu poryadku U perekladi na suchasnu matematichnu movu ce oznachaye sho vidnoshennya a b i c d rivni yaksho dlya bud yakih naturalnih m n vikonuyetsya odne z troh spivvidnoshen abo ma lt nb i mc lt nd abo ma nb i mc nd abo ma gt nb i mc gt nd Faktichno opisana vlastivist oznachaye sho mizh a b i c d ne mozhna vstaviti racionalne chislo Dali Evdoks akuratno vivodit vlastivosti vidnoshen tranzitivnist i t d Klasichna teoriya Dedekinda dlya pobudovi dijsnih chisel vrazhayuche shozha na viklad Evdoksa Vidpovidnist mizh nimi vstanovlyuyetsya tak nehaj zadani dvi velichini Evdoksa a b drib m n vidnesemo do klasu A yaksho ma gt nb inakshe do klasu B Todi klasi A i B viznachayut dedekindiv pereriz polya racionalnih chisel Q Zalishilos ototozhniti vidnoshennya za Evdoksom b a z cim dedekindovim chislom Zaznachimo odnak sho u Evdoksa vidsutnij analog i nizvidki ne viplivaye sho vsyakij pereriz Q viznachaye dijsne chislo Metod vicherpuvannya Dokladnishe Ce svogo rodu antichnij analiz krivolinijnih figur Obgruntuvannya cogo metodu ne spirayetsya na aktualni neskinchenno mali ale neyavno vklyuchaye ponyattya granici Nazvu metod vicherpuvannya zaproponuvav v 1647 roci u Greguar de Sen Vensan v antichni chasi u metodu ne bulo specialnoyi nazvi Metod polyagav v nastupnomu dlya znahodzhennya ploshi abo ob yemu deyakoyi figuri v cyu figuru vpisuvalasya monotonna poslidovnist inshih figur i dovodilosya sho yih ploshi ob yemi neobmezheno nablizhayutsya do ploshi ob yemu shukanoyi figuri Potim obchislyuvalasya granicya poslidovnosti plosh ob yemiv dlya chogo visuvalasya gipoteza sho vona dorivnyuye deyakomu A i dovodilosya sho zvorotne prizvodit do superechnosti Oskilki zagalnoyi teoriyi granic ne bulo greki unikali ponyattya neskinchennosti vsi ci kroki vklyuchayuchi obgruntuvannya yedinosti granici povtoryuvalisya dlya kozhnogo zavdannya U takij formi metod vicherpuvannya dobre vpisuvavsya v strogo deduktivnu pobudovu antichnoyi matematiki prote mav kilka suttyevih nedolikiv Po pershe vin buv nadzvichajno gromizdkim Po druge ne bulo niyakogo zagalnogo metodu dlya obchislennya granichnogo znachennya A Arhimed napriklad neridko vivodiv jogo z mehanichnih mirkuvan abo prosto intuyitivno vgaduvav Nareshti cej metod ne pridatnij dlya znahodzhennya plosh neskinchennih figur Za dopomogoyu metodu vicherpannya Evdoks strogo doviv ryad vzhe vidomih v ti roki vidkrittiv plosha kola ob yem piramidi ta konusa Najplidnishim cej metod stav u rukah vidatnogo poslidovnika Evdoksa Arhimeda yakij zmig jogo znachno udoskonaliti i virtuozno zastosovuvav dlya bagatoh novih vidkrittiv V seredni stolittya yevropejski matematiki takozh zastosovuvali metod vicherpuvannya poki vin ne buv vitisnenij spochatku bilsh potuzhnim i tehnologichnim metodom nepodilnih a potim matematichnim analizom AstronomiyaPershim zrobiv sprobu stvoriti teoriyu ruhu planet Sklav najdavnishu kartu zoryanogo neba na yakij suzir ya buli predstavleni figurami riznih tvarin i geroyiv starogreckih mifiv odnim z pershih priviv na nij nazvi zodiakalnih suzir yiv i suzir yiv roztashovanih poza poyasom zodiaku Jomu pripisuyetsya vvedennya v Greciyi kalendarya sho mistit v roci 365 dobi Dlya kozhnoyi planeti vin vviv chotiri sferi yaki rivnomirno obertayutsya Za obertannyam cih sfer vin poyasnyuvav dobovij ruh planet ruh planet vidnosno ekliptiki a takozh jogo vidminnist u kozhnoyi z planet Evdoks ne obmezhuvavsya lishe teoriyeyu Pri svoyij shkoli v Kiziku vin organizuvav observatoriyu de jogo uchni veli sistematichne sposterezhennya za nebesnimi svitilami Vidomo dva tvori prisvyacheni astronomiyi Yavisha ta Dzerkalo FilosofiyaDiv takozhTeoriya gomocentrichnih sferPrimitkiSame tak viznachali zagalne ponyattya chisla Nyuton ta inshi matematiki Novogo chasu Bashmakova I G 1958 s 309 323 Euclid 1948 Tom V LiteraturaUzbek Kostyantin Minovich Antichna matematika i stanovlennya sistemnih pidvalin filosofskogo racionalizmu dis d ra filos nauk 09 00 09 Institut filosofiyi im G S Skovorodi NAN Ukrayini K 2005 39s K M Uzbek Fragmenti pobudovi antichnoyi nauki filosofiyi i kulturi Doneck Shidnij vidavnichij dim 2010 234 s Gejberg I L Estestvoznanie i matematika v klassicheskoj drevnosti M L ONTI 1936 Eremeeva A I Cicin F A Istoriya astronomii M Izd vo MGU 1989 Zhitomirskij S V Antichnaya astronomiya i orfizm M Yanus K 2001 Zhitomirskij S V Planetarnaya gipoteza Evdoksa i drevnyaya mifologiya Astronomiya drevnih obshestv M 2002 C 311 314 Zajcev A I Rol Evdoksa Knidskogo v stanovlenii astronomicheskoj nauki v Drevnej Grecii Zajcev A I Izbrannye stati t 2 SPb 2003 S 406 410 Pannekuk A Istoriya astronomii M Nauka 1966 Fowler D H Eudoxus Parapegmata and Proportionality In Ancient and Medieval trends in the exact sciences Stanford CSLI Publications 2000 p 33 48 Goldstein B R Bowen A C A new view of early Greek astronomy Isis 74 273 1983 p 330 340 Knorr W R Plato and Eudoxus on the planetary motions Journal for the History of Astronomy 21 1990 p 313 329 Mendell H Reflections on Eudoxus Callippus and their Curves Hippopedes and Callippopedes Centaurus 40 1998 p 177 275 Riddel R C Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres Archive for History of Exact Sciences 20 1979 p 1 19 Wright L The astronomy of Eudoxus geometry or physics Stud Hist and Phil Sci 4 1973 p 165 172 Yavetz I On the homocentric spheres of Eudoxus Archive for History of Exact Sciences 52 1998 p 221 278 Yavetz I A new role for the hippopede of Eudoxus Archive for History of Exact Sciences 56 2001 p 69 93 PosilannyaEudoxus of Cnidus The MacTutor History of Mathematics archive 13 grudnya 2012 u Wayback Machine C S McConnell Istoriya matematiki Arhivovano 28 listopada 2012 u WebCite s drevnejshih vremyon do nachala XIX stoletiya pod red A P Yushkevicha tom I M Nauka 1972 Java applet Eudoxus of Cnidus 23 lipnya 1997 u Wayback Machine Herodotus Project Extensive B W photo essay of Cnidus 21 serpnya 2008 u Wayback Machine Dennis Duke Statistical dating of the Phaenomena of Eudoxus DIO volume 15 pages 7 to 23 19 lipnya 2011 u Wayback Machine