Квадратриса

Квадратриса — плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично. Винайдена софістом Гіппієм (V століття до н. е.), використовувалась в античні часи для розв'язання задач квадратури круга та трисекції кута.

Рис. 1. Кінематичне визначення квадратриси

Кінематичне визначення

Розглянемо квадрат ${\displaystyle ABCD}$ (рис. 1), в який вписано сектор чверті круга. Нехай точка ${\displaystyle E}$ рівномірно рухається по дузі від точки ${\displaystyle D}$ до точки ${\displaystyle B}$; одночасно відрізок ${\displaystyle A'B'}$ рівномірно рухається з позиції ${\displaystyle DC}$ в позицію ${\displaystyle AB}$. Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи завершилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса ${\displaystyle AE}$ та відрізка ${\displaystyle A'B'}$ опише квадратрису (позначена червоним).

Рівняння кривої

Рис. 2. Квадратриса

• В полярних координатах:

${\displaystyle \rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}.}$

Виведення

Виведемо рівняння квадратриси у полярних координатах. Нехай ${\displaystyle R}$ — радіус кола, ${\displaystyle \varphi }$ — поточний кут ${\displaystyle FAG}$, ${\displaystyle \rho =AF}$ — полярний радіус. Для зручності введемо час ${\displaystyle t}$, який за період руху зміняватиметься з 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки ${\displaystyle E}$ по дузі довжиною ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ можна виразити рівнянням: ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).}$ Рівномірний рух відрізка ${\displaystyle A'B'}$ виразиться рівнянням: ${\displaystyle A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R}$ Виключаючи з рівнянь ${\displaystyle 1-t}$, отримаємо остаточно: ${\displaystyle \rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.}$

• в прямокутних координатах можна записати рівняння квадратриси в наступному вигляді:

${\displaystyle x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}}$

Виведення

Приводимо рівняння в полярних координатах до наступного стану: ${\displaystyle \rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi }$ Врахувавши ${\displaystyle \rho \sin \varphi =y}$, отримаємо ${\displaystyle y={\frac {2R}{\pi }}\varphi }$ Із геометричних міркувань: ${\displaystyle \textstyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$. Тоді рівняння постане у вигляді: ${\displaystyle {\frac {\pi y}{2R}}=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$ Беремо тангенс обох частин: ${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}}$ тобто ${\displaystyle x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}}$

Трисекція кута

Трисекція кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратриси здійснюється елементарно. Нехай ${\displaystyle EAB}$ (рис. 1) — деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм поділу наступний:

1. Знаходимо точку ${\displaystyle F}$ на квадратрисі і її ординату ${\displaystyle A'}$.
2. Відкладаємо на відрізку ${\displaystyle AA'}$ його третю частину; отримаємо точку ${\displaystyle H}$.
3. Знаходимо на квадратрисі точку ${\displaystyle K}$ з ординатою ${\displaystyle H}$.
4. Проводимо промінь ${\displaystyle AK}$. Кут ${\displaystyle KAB}$ — шуканий.

Доведення даного алгоритму витікає з рівномірності обох рухів, що утворюють квадратрису.

Очевидно також, що аналогічними діями можна поділити кут на будь-яке число рівних частин.

Квадратура круга

Рис. 3. Квадратура круга

Тут завдання ставиться таким чином: побудувати квадрат з такою самою площею, як у заданого круга радіуса ${\displaystyle R}$. Алгебраїчно це означає рішення рівняння : ${\displaystyle x^{2}=\pi R^{2}}$.

Побудуємо для початкового круга квадратрису, як на рис. 1. Можна показати, що абсциса ${\displaystyle AG}$ її нижньої точки дорівнює ${\displaystyle {\frac {2R}{\pi }}}$. Відобразимо це у вигляді пропорції: ${\displaystyle C:2R=2R:AG}$, де ${\displaystyle C=2\pi R}$ — довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини ${\displaystyle C}$. Прямокутник із сторонами ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle C/2}$ буде мати потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат — справа неважка.

Див. також

• Дінострат
• Квадратура круга
• Трисекція кута

Посилання

• Quadratrix of Hippias [ 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] на MacTutor archive.
• на .