Описане коло многокутника — коло, що містить всі вершини многокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemMyTDBOcGNtTjFiWE5qY21saVpXUmZVRzlzZVdkdmJpNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RRMmx5WTNWdGMyTnlhV0psWkY5UWIyeDVaMjl1TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).
Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло.
Трикутник
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlV3TDBOcGNtTjFiV05sYm5SeVpTNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RRMmx5WTNWdFkyVnVkSEpsTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
- Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одне. Його центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.
- У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного — поза трикутником, у прямокутного — на середині гіпотенузи.
- Гострокутний
- Тупокутний
- Прямокутний
Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.
- 3 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
- Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника — це точка перетину висот трикутника або їх продовжень.
- Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центра описаного кола до протилежної сторони.
- Радіус описаного кола можна знайти за формулами:
- Де:
— сторони трикутника,
— кут, що лежить навпроти сторони
,
— півпериметр трикутника.
— площа трикутника.
- Положення центра описаного кола.
Нехай радіус-вектори вершин трикутника,
— радіус-вектор центра описаного кола. Тоді
де
- Рівняння описаного кола.
Нехай координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині,
— координати центра описаного кола. Тоді
а рівняння описаного кола має вигляд
Для точок , що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею — позитивний.
- Теорема про тризубець: Якщо
— точка перетину бісектриси кута
з описаним колом, а
— центр вписаного кола то
.
- Формула Ейлера: Якщо
— відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють
і
відповідно, то
.
Чотирикутник
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMll4TDBONVkyeHBZMTl4ZFdGa2NtbHNZWFJsY21Gc0xuTjJaeTh5TWpCd2VDMURlV05zYVdOZmNYVmhaSEpwYkdGMFpYSmhiQzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelV5TDFCMGIyeGxiWGxmVkdobGIzSmxiUzV6ZG1jdk1qQXdjSGd0VUhSdmJHVnRlVjlVYUdWdmNtVnRMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .
Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).
Радіус описаного кола правильного -кутника з довжиною сторін
дорівнює:
Можна описати коло навколо:
- будь-якого прямокутника (окремий випадок: квадрат)
- будь-якої рівнобедреної трапеції
- Теорема Птолемея: у чотирикутника, вписаного в коло, добуток довжин діагоналей дорівнює сумі добутків довжин пар протилежних сторін:
- |AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
Многокутник
Якщо з відрізків скласти многокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.
Див. також
Примітки
- Теорема Птолемея
Література
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. —
- Л. Е. Гендельштейн, А. П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 — .
Посилання
- Анімація: описане коло трикутника
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Opisane kolo mnogokutnika kolo sho mistit vsi vershini mnogokutnika Centrom ye tochka prijnyato poznachati O peretinu seredinnih perpendikulyariv do storin mnogokutnika Centr opisanogo kola opuklogo n kutnika lezhit na tochci peretinu seredinnih perpendikulyariv jogo storin Zvidsi viplivaye sho koli navkolo n kutnika pobudovane opisane kolo to vsi seredinni perpendikulyari do jogo storin peretinayutsya v odnij tochci centri kola Navkolo bud yakogo pravilnogo mnogokutnika mozhna opisati kolo TrikutnikKolo opisane dovkola trikutnika Navkolo bud yakogo trikutnika mozhna opisati kolo do togo zh tilki odne Jogo centrom bude tochka peretinu seredinnih perpendikulyariv U gostrokutnogo trikutnika centr opisanogo kola lezhit vseredini u tupokutnogo poza trikutnikom u pryamokutnogo na seredini gipotenuzi Gostrokutnij Tupokutnij Pryamokutnij Poznachayemo literoyu O tochku peretinu seredinnih perpendikulyariv do jogo storin ta provedemo vidrizki OA OV i OS Oskilki tochka O rivnoviddalena vid vershin trikutnika AVS to OA OB OS Tomu kolo z centrom O radiusu OA prohodit cherez vsi tri vershini trikutnika i otzhe ye opisanim navkolo trikutnika ABC 3 4 kil opisanih vidnosno seredinnih trikutnikiv utvorenih serednimi liniyami trikutnika peretinayutsya v odnij tochci vseredini trikutnika Cya tochka i ye centrom opisanogo kola osnovnogo trikutnika Centr opisanogo navkolo trikutnika kola sluzhit ortocentrom trikutnika z vershinami na seredinah storin danogo trikutnika Ortocentr trikutnika ce tochka peretinu visot trikutnika abo yih prodovzhen Vidstan vid vershini trikutnika do ortocentra vdvichi bilshe nizh vidstan vid centra opisanogo kola do protilezhnoyi storoni Radius opisanogo kola mozhna znajti za formulami R a b c 4 S displaystyle R frac abc 4S dd R a 2 sin a displaystyle R frac a 2 sin alpha dd R a b c a b c a b c a b c a b c a b c 4 p p a p b p c displaystyle R frac abc sqrt a b c a b c a b c a b c frac abc 4 sqrt p p a p b p c dd De a b c displaystyle a b c storoni trikutnika a displaystyle alpha kut sho lezhit navproti storoni a displaystyle a p displaystyle p pivperimetr trikutnika S displaystyle S plosha trikutnika dd Polozhennya centra opisanogo kola Nehaj r A r B r C displaystyle mathbf r A mathbf r B mathbf r C radius vektori vershin trikutnika r O displaystyle mathbf r O radius vektor centra opisanogo kola Todi r O a A r A a B r B a C r C displaystyle mathbf r O alpha A mathbf r A alpha B mathbf r B alpha C mathbf r C de a A a 2 8 S 2 r A r B r A r C a B b 2 8 S 2 r B r A r B r C a C c 2 8 S 2 r C r A r C r B displaystyle alpha A frac a 2 8S 2 mathbf r A mathbf r B mathbf r A mathbf r C qquad alpha B frac b 2 8S 2 mathbf r B mathbf r A mathbf r B mathbf r C qquad alpha C frac c 2 8S 2 mathbf r C mathbf r A mathbf r C mathbf r B Rivnyannya opisanogo kola Nehaj r A x A y A r B x B y B r C x C y C displaystyle mathbf r A x A y A mathbf r B x B y B mathbf r C x C y C koordinati vershin trikutnika v pevnij dekartovij sistemi koordinat na ploshini r O x O y O displaystyle mathbf r O x O y O koordinati centra opisanogo kola Todi x O 1 4 S x A 2 y A 2 y A 1 x B 2 y B 2 y B 1 x C 2 y C 2 y C 1 y O 1 4 S x A 2 y A 2 x A 1 x B 2 y B 2 x B 1 x C 2 y C 2 x C 1 displaystyle x O frac 1 4S begin vmatrix x A 2 y A 2 amp y A amp 1 x B 2 y B 2 amp y B amp 1 x C 2 y C 2 amp y C amp 1 end vmatrix qquad y O frac 1 4S begin vmatrix x A 2 y A 2 amp x A amp 1 x B 2 y B 2 amp x B amp 1 x C 2 y C 2 amp x C amp 1 end vmatrix a rivnyannya opisanogo kola maye viglyad x 2 y 2 x y 1 x A 2 y A 2 x A y A 1 x B 2 y B 2 x B y B 1 x C 2 y C 2 x C y C 1 0 displaystyle begin vmatrix x 2 y 2 amp x amp y amp 1 x A 2 y A 2 amp x A amp y A amp 1 x B 2 y B 2 amp x B amp y B amp 1 x C 2 y C 2 amp x C amp y C amp 1 end vmatrix 0 Dlya tochok x y displaystyle x y sho lezhat vseredini kola viznachnik negativnij a dlya tochok poza neyu pozitivnij Teorema pro trizubec Yaksho W displaystyle W tochka peretinu bisektrisi kuta A displaystyle A z opisanim kolom a I displaystyle I centr vpisanogo kola to W I W B W C displaystyle WI WB WC Formula Ejlera Yaksho d displaystyle d vidstan mizh centrami vpisanogo i opisanogo kil a yihni radiusi dorivnyuyut r displaystyle r i R displaystyle R vidpovidno to d 2 R 2 2 R r displaystyle d 2 R 2 2Rr ChotirikutnikMalyunok do teoremi Ptolemeya Vpisanij prostij bez samoperetiniv chotirikutnik obov yazkovo ye opuklim Navkolo opuklogo chotirikutnika mozhna opisati kolo todi j tilki todi koli suma jogo vnutrishnih protilezhnih kutiv dorivnyuye 180 p radian Radius opisanogo kola pravilnogo n displaystyle n kutnika z dovzhinoyu storin a displaystyle a dorivnyuye R a 2 sin 180 n displaystyle R frac a 2 sin frac 180 circ n Mozhna opisati kolo navkolo bud yakogo pryamokutnika okremij vipadok kvadrat bud yakoyi rivnobedrenoyi trapeciyi Teorema Ptolemeya u chotirikutnika vpisanogo v kolo dobutok dovzhin diagonalej dorivnyuye sumi dobutkiv dovzhin par protilezhnih storin AC BD AB CD BC AD MnogokutnikYaksho z vidrizkiv sklasti mnogokutnik to jogo plosha bude maksimalnoyu koli vin vpisanij Div takozhVpisane kolo Kolo Trikutnik Konciklichni tochkiPrimitkiTeorema PtolemeyaLiteraturaPonarin Ya P Elementarnaya geometriya V 2 tt M MCNMO 2004 S 53 54 ISBN 5 94057 170 0 L E Gendelshtejn A P Yershova Naochnij dovidnik z geometriyi Gimnaziya 1997 ISBN 966 562 080 0 PosilannyaPortal Matematika Animaciya opisane kolo trikutnika