В геометрії, півпериметр многокутника становить половину його периметра. Попри те, що він досить просто виводиться з формули периметру, півпериметр часто зустрічається у формулах для трикутників та інших фігур, так що він має свою окрему назву. Коли півпериметр виступає як частина формули, його, зазвичай, позначають буквою p або s (від англ. semiperimeter).
Трикутники
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlpsTDA1aFoyVnNYM0J2YVc1MExuTjJaeTh6TURCd2VDMU9ZV2RsYkY5d2IybHVkQzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Півпериметр найчастіше застосовують для трикутників; формула обчислення півпериметра трикутника зі сторонами a, b, та c дорівнює
Властивості
У будь-якому трикутнику будь-яка вершина і точка дотику зовнівписаного кола на протилежній стороні ділить периметр трикутника на дві рівні частини, тим самим створюючи два рівних шляхи, довжина яких дорівнює півпериметру. Якщо A, B, C, A', B' та C' такі, як показано на малюнку, то відрізки, які з'єднують вершину з точкою дотику зовнівписаного кола (AA', BB', та CC', позначені червоною лінією на діаграмі), називаються [en], а отже
Три сплітери перетинаються в точці Наґеля.
Клівер — це відрізок, який ділить навпіл периметр трикутника і має одну кінцеву точку в середині однієї з трьох сторін. Отже, будь-який клівер ділить трикутник на дві частини, кожна з яких дорівнює півпериметру. Три клівери перетинаються в одній точці — у центрі кола Шпікера, яке є колом, вписаним у серединний трикутник; центр Шпікера є центром мас усіх сторін трикутника.
Пряма, що проходить через центр вписаного кола ділить периметр навпіл, тільки в тому випадку, коли вона ділить навпіл площу.
Півпериметр трикутника дорівнює периметру його серединного трикутника.
За правилом нерівності трикутника, довжина найбільшої сторони трикутника менша за півпериметр.
Формули з півпериметром
Площа A будь-якого трикутника є добутком радіуса його вписаного кола на півпериметр:
Площу трикутника також можна обчислити користуючись півпериметром та сторонами a, b, c за формулою Герона:
Радіус описаного кола R трикутника можна обчислити за півпериметром та довжинами його сторін:
Цю формулу можна вивести з теореми синусів.
Радіус вписаного кола дорівнює
Теорема котангенсів дає котангенси половини кутів при вершинах трикутника в значеннях його півпериметра, сторін та радіуса його вписаного кола.
Довжина бісектриси внутрішнього кута, протилежного стороні a, дорівнює
У прямокутному трикутнику, радіус зовнівписаного кола на гіпотенузі дорівнює півпериметру. Півпериметр дорівнює сумі радіуса вписаного кола та подвійного радіуса описаного. Площа прямокутного трикутника дорівнює , де a і b — катети.
Чотирикутники
Формула обчислення півпериметра чотирикутника зі сторонами a, b, c та d:
Одна з формул обчислення площі трикутника, що містить півпериметр, також застосовують до описаних чотирикутників, які мають вписане коло та сума довжин протилежних сторін яких дорівнює півпериметру — тобто, площа дорівнює добутку радіуса вписаного кола на півпериметр:
Найпростіша форма формули Брамагупти для обчислення площі вписаного чотирикутника подібна до формули Герона для обчислення площі трикутника:
Формула Бретшнайдера узагальнює формулу для всіх опуклих чотирикутників:
де та
— два протилежних кути.
Чотири сторони біцентричного чотирикутника являють собою чотири розв'язки рівняння четвертого степеня, параметрами якого є півпериметр та радіуси вписаного й описаного кіл.
Правильні многокутники
Площа опуклого правильного многокутника дорівнює добутку півпериметра на його апофему.
Посилання
- Johnson, Roger A. (2007). Advanced Euclidean Geometry. Mineola, New York: Dover. с. 70. ISBN .
Джерела
- Weisstein, Eric W. Semiperimeter(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi pivperimetr mnogokutnika stanovit polovinu jogo perimetra Popri te sho vin dosit prosto vivoditsya z formuli perimetru pivperimetr chasto zustrichayetsya u formulah dlya trikutnikiv ta inshih figur tak sho vin maye svoyu okremu nazvu Koli pivperimetr vistupaye yak chastina formuli jogo zazvichaj poznachayut bukvoyu p abo s vid angl semiperimeter TrikutnikiU bud yakomu trikutniku vidstan uzdovzh storin trikutnika vid vershini do tochki dotiku zovnivpisanogo v nogo kola na protilezhnij storoni dorivnyuye pivperimetru Pivperimetr najchastishe zastosovuyut dlya trikutnikiv formula obchislennya pivperimetra trikutnika zi storonami a b ta c dorivnyuye s a b c 2 displaystyle s frac a b c 2 Vlastivosti U bud yakomu trikutniku bud yaka vershina i tochka dotiku zovnivpisanogo kola na protilezhnij storoni dilit perimetr trikutnika na dvi rivni chastini tim samim stvoryuyuchi dva rivnih shlyahi dovzhina yakih dorivnyuye pivperimetru Yaksho A B C A B ta C taki yak pokazano na malyunku to vidrizki yaki z yednuyut vershinu z tochkoyu dotiku zovnivpisanogo kola AA BB ta CC poznacheni chervonoyu liniyeyu na diagrami nazivayutsya en a otzhe s A B A B A B A B A C A C displaystyle s AB A B AB AB AC A C A C A C B C B C B C B C displaystyle AC AC BC B C BC BC Tri spliteri peretinayutsya v tochci Nagelya Kliver ce vidrizok yakij dilit navpil perimetr trikutnika i maye odnu kincevu tochku v seredini odniyeyi z troh storin Otzhe bud yakij kliver dilit trikutnik na dvi chastini kozhna z yakih dorivnyuye pivperimetru Tri kliveri peretinayutsya v odnij tochci u centri kola Shpikera yake ye kolom vpisanim u seredinnij trikutnik centr Shpikera ye centrom mas usih storin trikutnika Pryama sho prohodit cherez centr vpisanogo kola dilit perimetr navpil tilki v tomu vipadku koli vona dilit navpil ploshu Pivperimetr trikutnika dorivnyuye perimetru jogo seredinnogo trikutnika Za pravilom nerivnosti trikutnika dovzhina najbilshoyi storoni trikutnika mensha za pivperimetr Formuli z pivperimetrom Plosha A bud yakogo trikutnika ye dobutkom radiusa jogo vpisanogo kola na pivperimetr A r s displaystyle A rs Ploshu trikutnika takozh mozhna obchisliti koristuyuchis pivperimetrom ta storonami a b c za formuloyu Gerona A s s a s b s c displaystyle A sqrt s left s a right left s b right left s c right Radius opisanogo kola R trikutnika mozhna obchisliti za pivperimetrom ta dovzhinami jogo storin R a b c 4 s s a s b s c displaystyle R frac abc 4 sqrt s s a s b s c Cyu formulu mozhna vivesti z teoremi sinusiv Radius vpisanogo kola dorivnyuye r s a s b s c s displaystyle r sqrt frac s a s b s c s Teorema kotangensiv daye kotangensi polovini kutiv pri vershinah trikutnika v znachennyah jogo pivperimetra storin ta radiusa jogo vpisanogo kola Dovzhina bisektrisi vnutrishnogo kuta protilezhnogo storoni a dorivnyuye t a 2 b c s s a b c displaystyle t a frac 2 sqrt bcs s a b c U pryamokutnomu trikutniku radius zovnivpisanogo kola na gipotenuzi dorivnyuye pivperimetru Pivperimetr dorivnyuye sumi radiusa vpisanogo kola ta podvijnogo radiusa opisanogo Plosha pryamokutnogo trikutnika dorivnyuye s a s b displaystyle s a s b de a i b kateti ChotirikutnikiFormula obchislennya pivperimetra chotirikutnika zi storonami a b c ta d s a b c d 2 displaystyle s frac a b c d 2 Odna z formul obchislennya ploshi trikutnika sho mistit pivperimetr takozh zastosovuyut do opisanih chotirikutnikiv yaki mayut vpisane kolo ta suma dovzhin protilezhnih storin yakih dorivnyuye pivperimetru tobto plosha dorivnyuye dobutku radiusa vpisanogo kola na pivperimetr K r s displaystyle K rs Najprostisha forma formuli Bramagupti dlya obchislennya ploshi vpisanogo chotirikutnika podibna do formuli Gerona dlya obchislennya ploshi trikutnika K s a s b s c s d displaystyle K sqrt left s a right left s b right left s c right left s d right Formula Bretshnajdera uzagalnyuye formulu dlya vsih opuklih chotirikutnikiv K s a s b s c s d a b c d cos 2 a g 2 displaystyle K sqrt s a s b s c s d abcd cdot cos 2 left frac alpha gamma 2 right de a displaystyle alpha ta g displaystyle gamma dva protilezhnih kuti Chotiri storoni bicentrichnogo chotirikutnika yavlyayut soboyu chotiri rozv yazki rivnyannya chetvertogo stepenya parametrami yakogo ye pivperimetr ta radiusi vpisanogo j opisanogo kil Pravilni mnogokutnikiPlosha opuklogo pravilnogo mnogokutnika dorivnyuye dobutku pivperimetra na jogo apofemu PosilannyaJohnson Roger A 2007 Advanced Euclidean Geometry Mineola New York Dover s 70 ISBN 9780486462370 DzherelaWeisstein Eric W Semiperimeter angl na sajti Wolfram MathWorld