Серединний трикутник (додатковий трикутник) — трикутник, вершини якого є серединами сторін даного початкового трикутника, окремий випадок [en] для многокутника з n сторонами для .
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJqTDAxbFpHbGhiRjlVY21saGJtZHNaUzV6ZG1jdk1qSXdjSGd0VFdWa2FXRnNYMVJ5YVdGdVoyeGxMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на .
|
Властивості
Серединний трикутник є образом даного початкового трикутника при гомотетії з центром у центроїді та множником
. Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник
. Звідси маємо, що периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру трикутника
, а його площа дорівнює чверті площі трикутника
. Крім того, чотири трикутники, на які ділиться початковий трикутник серединним трикутником, рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні. Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний).
Ортоцентр серединного трикутника збігається з центром описаного кола даного трикутника , що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера.
Серединний трикутник є подерним трикутником центру описаного кола. Коло дев'яти точок є описаним для серединного трикутника, а тому центр дев'яти точок є центром описаного навколо серединного трикутника кола. Точка Нагеля серединного трикутника є центром вписаного кола початкового трикутника. Серединний трикутник дорівнює , вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і його вершини.
Центр вписаного кола трикутника лежить у серединному трикутнику. Точка всередині трикутника є центром тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника , є центром мас периметру трикутника (центром Шпікера), цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, відповідної трикутнику.
Координати
Нехай ,
,
- довжини сторін трикутника
. Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:
Антисерединний трикутник
Якщо — серединний трикутник для
, то
є антисерединним трикутником для
. Антикомпліментарний трикутник для
утворюється трьома прямими, паралельними сторонам
— паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.
Трикутні координати вершин антисерединного трикутника задаються формулами:
Примітки
Література
- Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012.
- William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
- Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007.
- G. D. Chakerian. Mathematical Plums / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America ,, 1 979.
- Ricardo M. Torrejon On an Erdos inscribed triangle inequality // Forum Geometricorum. — 2005. — Вип. 5.
- Зетель С. І. Нова геометрія трикутника. Посібник для вчителів. 2-е видання .. — М .: Учпедгиз, 1
Посилання
- Weisstein, Eric W. Medial triangle (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Seredinnij trikutnik dodatkovij trikutnik trikutnik vershini yakogo ye seredinami storin danogo pochatkovogo trikutnika okremij vipadok en dlya mnogokutnika z n storonami dlya n 3 displaystyle n 3 Chervonij trikutnik seredinnij trikutnik chornogo trikutnika Vershini chervonogo trikutnika ye seredinami storin chornogo trikutnika Cya stattya maye kilka nedolikiv Bud laska dopomozhit udoskonaliti yiyi abo obgovorit ci problemi na storinci obgovorennya Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami listopad 2017 Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti listopad 2017 VlastivostiSeredinnij trikutnik ye obrazom danogo pochatkovogo trikutnika A B C displaystyle triangle ABC pri gomotetiyi z centrom u centroyidi ta mnozhnikom 1 2 displaystyle frac 1 2 Takim chinom seredinnij trikutnik podibnij do pochatkovogo i maye toj samij centroyid i ti sami mediani sho j pochatkovij trikutnik A B C displaystyle triangle ABC Zvidsi mayemo sho perimetr seredinnogo trikutnika dorivnyuye pivperimetru trikutnika A B C displaystyle triangle ABC a jogo plosha dorivnyuye chverti ploshi trikutnika A B C displaystyle triangle ABC Krim togo chotiri trikutniki na yaki dilitsya pochatkovij trikutnik seredinnim trikutnikom rivni za troma storonami tomu yihni ploshi rivni Cherez ce inodi seredinnimi nazivayut odrazu vsi chotiri rivni mizh soboyu vnutrishni trikutniki oderzhani z pochatkovogo trikutnika provedennyam u nomu troh serednih linij u terminologiyi seredinnim nazivayut tilki odin z nih centralnij Ortocentr seredinnogo trikutnika zbigayetsya z centrom opisanogo kola danogo trikutnika A B C displaystyle triangle ABC sho dovodit nalezhnist centra opisanogo kola centroyida j ortocentra odnij pryamij pryamij Ejlera Seredinnij trikutnik ye podernim trikutnikom centru opisanogo kola Kolo dev yati tochok ye opisanim dlya seredinnogo trikutnika a tomu centr dev yati tochok ye centrom opisanogo navkolo seredinnogo trikutnika kola Tochka Nagelya seredinnogo trikutnika ye centrom vpisanogo kola pochatkovogo trikutnika Seredinnij trikutnik dorivnyuye vershinami yakogo ye seredini vidrizkiv sho z yednuyut ortocentr i jogo vershini Centr vpisanogo kola trikutnika lezhit u seredinnomu trikutniku Tochka vseredini trikutnika ye centrom todi j tilki todi koli cya tochka lezhit useredini seredinnogo trikutnika Seredinnij trikutnik ye yedinim vpisanim trikutnikom dlya yakogo zhoden iz troh inshih trikutnikiv ne maye ploshu menshu za ploshu cogo trikutnika Centr kola vpisanogo v seredinnij trikutnik danogo trikutnika A B C displaystyle triangle ABC ye centrom mas perimetru trikutnika centrom Shpikera cej centr ye centrom mas odnoridnoyi drotyanoyi figuri vidpovidnoyi trikutniku KoordinatiNehaj a B C displaystyle a left BC right b C A displaystyle b left CA right c A B displaystyle c left AB right dovzhini storin trikutnika A B C displaystyle triangle ABC Todi trilinijni koordinati vershin seredinnogo trikutnika zadayutsya formulami X 0 1 b 1 c Y 1 a 0 1 c Z 1 a 1 b 0 displaystyle begin cases X left 0 frac 1 b frac 1 c right Y left frac 1 a 0 frac 1 c right Z left frac 1 a frac 1 b 0 right end cases Antiseredinnij trikutnikYaksho X Y Z displaystyle triangle XYZ seredinnij trikutnik dlya A B C displaystyle triangle ABC to A B C displaystyle triangle ABC ye antiseredinnim trikutnikom dlya X Y Z displaystyle triangle XYZ Antikomplimentarnij trikutnik dlya A B C displaystyle triangle ABC utvoryuyetsya troma pryamimi paralelnimi storonam A B C displaystyle triangle ABC paralelno AB cherez tochku C paralelno AC cherez tochku B i paralelno BC cherez tochku A Trikutni koordinati vershin antiseredinnogo trikutnika X Y Z displaystyle triangle X Y Z zadayutsya formulami X 1 a 1 b 1 c Y 1 a 1 b 1 c Z 1 a 1 b 1 c displaystyle begin cases X left frac 1 a frac 1 b frac 1 c right Y left frac 1 a frac 1 b frac 1 c right Z left frac 1 a frac 1 b frac 1 c right end cases PrimitkiLiteraturaAlfred S Posamentier Ingmar Lehmann The Secrets of Triangles Prometheus Books 2012 William N Franzsen The distance from the incenter to the Euler line Forum Geometricorum 2011 Vip 11 Nathan Altshiller Court College Geometry Dover Publications 2007 G D Chakerian Mathematical Plums R Honsberger Washington DC Mathematical Association of America 1 979 Ricardo M Torrejon On an Erdos inscribed triangle inequality Forum Geometricorum 2005 Vip 5 Zetel S I Nova geometriya trikutnika Posibnik dlya vchiteliv 2 e vidannya M Uchpedgiz 1PosilannyaWeisstein Eric W Medial triangle angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Anticomplementary Triangle angl na sajti Wolfram MathWorld