Пряма Ейлера

В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є ^[en] трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, ^[en] та центр кола дев'яти точок трикутника.

Пряма Ейлера (червона) — це пряма, яка проходить через центроїд (помаранчевий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) та центр кола дев'яти точок (червоний).

Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр.

Центри трикутника на прямій Ейлера

Окремі центри

У 1765 році Ейлер показав, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр описаного кола та центроїд лежать на одній прямій. Ця властивість справедлива і для іншого центра трикутника, — центра кола дев'яти точок, хоча він не був визначений за часів Ейлера. У рівносторонніх трикутниках ці чотири точки збігаються, але в будь-якому іншому трикутнику всі вони відрізняються один від одного, і пряма Ейлера визначається будь-якими двома з них.

Інші визначні точки, які лежать на прямій Ейлера, включають ^[en], ^[en], ^[en] та ^[en]. Однак центр вписаного кола, зазвичай, не лежить на прямій Ейлера; він знаходиться на прямій Ейлера лише для рівнобедрених трикутників, для якої пряма Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Тангенціальний трикутник опорного трикутника дотичний до кола описаного навколо останнього у вершинах опорного трикутника. Цент кола описаного навколо дотичного трикутника лежить на прямій Ейлера опорного трикутника^{:p. 447:p.104,#211;p.242,#346}. ^[en]ортичного трикутника (утвореного основами висот) та дотичного трикутника також знаходиться на прямій Ейлера^{:p. 447:p. 102}.

Векторне доведення

Розглянемо трикутник ${\displaystyle ABC}$. Довести, що центр описаного кола ${\displaystyle O}$, центроїд ${\displaystyle G}$ та ортоцентр ${\displaystyle H}$ є колінеарними, можна за допомогою векторів. По-перше, ${\displaystyle G}$ задовольняє відношенню:

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Це випливає з того, що модулі барицентричних координат ${\displaystyle G}$ відносяться як ${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$. Далі, (задача Сильвестра) інтерпретується як

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Тепер, за допомогою векторного додавання, отримаємо, що

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(}}\triangle AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(}}\triangle BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(}}\triangle CGO{\mbox{)}}.}$

Додаючи усі ці три вирази, отримаємо, що

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left({\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}\right)+\left({\vec {AO}}+{\vec {BO}}+{\vec {CO}}\right)=0-\left({\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

Остаточно, ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$ і три точки ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle H}$ (у такій послідовності) будуть колінеарними.

У книзі Доррі пряма Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в одне доведення. Однак більшість доказів задачі Сильвестра спираються на основні властивості вільних векторів, незалежно від прямої Ейлера.

Відстані між центрами

На прямій Ейлера центроїд ${\displaystyle G}$ знаходиться між центром описаного кола ${\displaystyle O}$ і ортоцентром ${\displaystyle H}$, і вдвічі далі від ортоцентра, ніж від центра описаного кола^:p.102:

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

Відрізок ${\displaystyle GH}$ — це діаметр ^[en].

Центр ${\displaystyle N}$ кола дев'яти точок лежить уздовж прямої Ейлера посередині між ортоцентром і центром описаного кола:

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

Таким чином, пряма Ейлера може бути представлена на числовій прямій з центром описаного кола ${\displaystyle O}$ розташованим у 0, центроїдом ${\displaystyle G}$ в 2${\displaystyle t}$, центром кола дев'яти точок у 3${\displaystyle t}$ і ^[en]${\displaystyle H}$ в 6${\displaystyle t}$, для деякого коефіцієнту масштабу ${\displaystyle t}$. Крім того, квадрат відстані між центроїдом та центром описаного кола на прямій Ейлера менше, ніж R²описаного кола на величину, яка дорівнює 1/9 сумі квадратів сторін трикутника ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$^:p.71:

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Також виконуються^:p.102,

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Представлення

Нехай A, B, C позначають кути вершин трикутника, x : y : z — задають координати точки у трилінійних координатах; тоді рівнянням прямої Ейлера буде

${\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

Рівняння для прямої Ейлера в барицентричних координатах ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$:

${\displaystyle (\mathop {\rm {tg}} C-\mathop {\rm {tg}} B)\alpha +(\mathop {\rm {tg}} A-\mathop {\rm {tg}} C)\beta +(\mathop {\rm {tg}} B-\mathop {\rm {tg}} A)\gamma =0.}$

Параметричне представлення

Інший спосіб представити пряму Ейлера — залежною від параметра t. Скористаємось трилінійними координатами двох точок — центром описаного кола (з трилінійними координатами ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$) та ортоцентром (з трилінійними координатами ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)}$. Тоді кожна точка на прямій Ейлера, крім ортоцентра, задається трилінійними координатами

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

як лінійна комбінація трилінійними координат цих двох точок, для деякого t.

Наприклад:

• Центр описаного кола має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=0.}$
• Центроїд має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=1.}$
• Центр кола дев'яти точок має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=2.}$
• ^[en] має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=-1.}$

Нахил

У декартовій системі координат позначають нахили сторін трикутника як ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ та ${\displaystyle m_{3},}$ і позначають нахил його прямої Ейлера як ${\displaystyle m_{E}}$. Тоді вони пов'язані рівнянням^{:Lemma 1}

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Таким чином, нахил прямої Ейлера (якщо він скінченний) виражається в термінах нахилів сторін як

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

Більше того, пряма Ейлера паралельна стороні гострого трикутника BC тоді і лише тоді, коли^:p.173 ${\displaystyle \mathop {\rm {tg}} B\mathop {\rm {tg}} C=3.}$

Зв'язок з вписаними рівносторонніми трикутниками

Геометричне місце точок центроїдів рівносторонніх трикутників, вписаних у даний трикутник, утворена двома прямими, перпендикулярними прямій Ейлера даного трикутника^{:Coro. 4}.

У спеціальних трикутниках

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику пряма Ейлера збігається з медіаною проведеною до гіпотенузи, тобто вона проходить через вершину прямого кута і через середину сторони, протилежну цій вершині. Це тому, що ортоцентр прямокутного трикутника, перетин його висот потрапляє у вершину прямого кута, тоді як його центр описаного кола, перетин серединних перпендикулярів до сторін, потрапляє на середину гіпотенузи.

Рівнобедрений трикутник

Пряма Ейлера в рівнобедреному трикутнику збігається з віссю симетрії. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола потрапляє на лінію Ейлера.

Примітки

1. Kimberling, Clark (1998). Triangle centers and central triangles. Congressus Numerantium. 129: i—xxv, 1—295.
2. Euler, Leonhard (1767). [Easy solution of some difficult geometric problems]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae. 11: 103—123. E325. Архів оригіналу за 21 липня 2020. Процитовано 18 грудня 2019. Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061. Summarized at: Dartmouth College. [ 11 квітня 2015 у Wayback Machine.]
3. Schattschneider, Doris; King, James (1997). . The Mathematical Association of America. с. 3—4. ISBN . Архів оригіналу за 22 вересня 2021. Процитовано 18 грудня 2019.
4. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), Orthocentric simplices and biregularity, ^[en], 52 (1–2): 41—50, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles.
5. Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), Euler and triangle geometry, ^[en], 91 (522): 436—452, JSTOR 40378417.
6. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
7. Dörrie, Heinrich, «100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution». Dover Publications, Inc., New York, 1965, , pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)
8. Scott, J.A., «Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry», Mathematical Gazette 83, November 1999, 472—477.
9. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169—184. [1] [ 30 серпня 2017 у Wayback Machine.]
10. Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, «Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles», 16, 2016, 257—267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf [ 24 квітня 2018 у Wayback Machine.]

Посилання

• An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line [ 20 січня 2020 у Wayback Machine.].(англ.)
• "Euler Line" [ 29 вересня 2019 у Wayback Machine.] and "Non-Euclidean Triangle Continuum" [ 12 жовтня 2019 у Wayback Machine.] at the
• Nine-point conic and Euler line generalization [ 11 лютого 2020 у Wayback Machine.], A further Euler line generalization [ 5 квітня 2016 у Wayback Machine.], and The quasi-Euler line of a quadrilateral and a hexagon [ 10 грудня 2019 у Wayback Machine.] at Dynamic Geometry Sketches [ 11 листопада 2020 у Wayback Machine.]
• , Висота трикутника та пряма Ейлера [ 15 січня 2021 у Wayback Machine.] та Пряма Ейлера та коло 9-ти точок [ 8 січня 2021 у Wayback Machine.] на сайті «cut-the-knot»
• , , Triangle Centers, архів оригіналу за 10 лютого 2007, процитовано 8 січня 2020
• (1 лютого 2016), , Numberphile, YouTube, архів оригіналу за 8 серпня 2019, процитовано 8 січня 2020
• Weisstein, Eric W. Euler Line(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.