Рівнобе́дрений трику́тник, також рівнораме́нний трику́тник або рівнопле́чий трику́тник — трикутник, у якого дві сторони рівні.
Рівні сторони називають бічними сторонами, а третю сторону — основою рівнобедреного трикутника.
Рівнобедрені трикутники є гранями правильних пірамід, біпірамід, деяких тіл Каталана (триакістетраедр, триакісоктаедр, , , триакісікосаедр), прямих клинів тощо.
Окремі випадки
До рівнобедрених трикутників належать такі трикутники:
Кожен правильний трикутник є рівнобедреним (за означенням), але обернене твердження не є правильним.
- Рівнобедрений прямокутний трикутник;
Має кути: 45, 45° та 90°. Є половиною квадрата.
З усіх прямокутних трикутників, рівнобедрені прямокутні трикутники мають найменше відношення гіпотенузи до суми катетів, а саме √2/2. та найбільше відношення висоти, проведеної до гіпотенузи до суми катетів, а саме √2/4.
- "Золотий трикутник;
- [en].
Властивості рівнобедреного трикутника
- Кути, протилежні бічним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні.
- Бісектриса, медіана, висота і серединний перпендикуляр рівнобедреного трикутника, проведені до основи, збігаються.
- Бісектриси, проведені з вершин кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівні.
- Медіани, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
- Висоти, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
- Центри вписаного та описаного кіл рівнобедреного трикутника лежать на прямій, що містить висоту, медіану та бісектрису, проведені до основи.
- Кути, протилежні рівним сторонам, завжди гострі (випливає з їхньої рівності та того, що сума кутів трикутника 180°).
- Має вісь симетрії, що проходить через вершину та середину основи рівнобедреного трикутника; на ній лежать висота (медіана, бісектриса, серединний перпендикуляр), проведені до основи трикутника.
Цікава інформація про доведення властивості кутів при основі рівнобедреного трикутника
Основна властивість рівнобедреного трикутника «кути при його основі рівні» була сформульована в одній із перших теорем «Начал» Евкліда.
Доведення цієї теореми приписують Фалесу Мілетському, який жив за два століття до Євкліда. Пізніше цю теорему назвали Pons asinorum, що на латинській означає «міст віслюків». Пояснюють цю назву, з одного боку, тим, що креслення, використане Евклідом для її доведення, нагадує міст, а з іншого боку — думкою, що тільки віслюки не можуть цей міст перейти.
Ознаки рівнобедреного трикутника
- Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.
- Якщо бісектриса, медіана і висота, проведені до однієї сторони трикутника, збігаються, то він рівнобедрений.
- Якщо дві медіани трикутника рівні, то він рівнобедрений.
- Якщо дві висоти трикутника рівні, то він рівнобедрений.
- Якщо дві бісектриси трикутника рівні, то він рівнобедрений. (Доведення цієї ознаки виявилося доволі важким. Це теорема Штейнера-Лемуса.)
Деякі формули для знаходження елементів рівнобедреного трикутника
Нехай — довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, — довжина третьої сторони, і — відповідні кути, — радіус описаного кола, — радіус вписаного кола.
Сторони можна знайти так:
(наслідок теореми косинусів);
(наслідок теореми косинусів);
;
Кути можна виразити так:
;
;
(теорема синусів).
Периметр рівнобедреного трикутника можна обчислити будь-яким з наступних способів:
(за означенням);
(наслідок теореми синусів).
Радіус описаного кола можна визначити за формулою:
Радіус вписаного кола можна визначити за формулою:
де h — висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника.
Центри вписаного та описаного кіл лежать на осі симетрії трикутника.
Площу трикутника можна обчислити за формулами:
, де та — висоти, опущені на сторони та відповідно;
;
(наслідок з формули Герона).
Примітки
- Пошук | Російсько-українські словники. r2u.org.ua. Процитовано 3 квітня 2024.
- e2u.
- А.Г. Мерзляк; В.Б. Полонський; М.С. Якір (2020). Геометрія. 7 клас (PDF) (українська) . Х: Гімназія. с. 77. ISBN .
{{}}
: Вказано більш, ніж один|pages=
та|page=
() - Posamentier, Alfred S., and Lehman, Ingmar. The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012.
- Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
Література
- Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
- Геометрія: підруч. для 7 кл. закладів заг. серед. освіти / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2020. — 240 с. : іл.
- Рівнобедрений трикутник: означення, властивості, приклади
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnobe drenij triku tnik takozh rivnorame nnij triku tnik abo rivnople chij triku tnik trikutnik u yakogo dvi storoni rivni Rivnobedrenij trikutnik Rivni storoni nazivayut bichnimi storonami a tretyu storonu osnovoyu rivnobedrenogo trikutnika Rivnobedreni trikutniki ye granyami pravilnih piramid bipiramid deyakih til Katalana triakistetraedr triakisoktaedr triakisikosaedr pryamih kliniv tosho Okremi vipadkiDo rivnobedrenih trikutnikiv nalezhat taki trikutniki Pravilnij trikutnik Kozhen pravilnij trikutnik ye rivnobedrenim za oznachennyam ale obernene tverdzhennya ne ye pravilnim Rivnobedrenij pryamokutnij trikutnik Rivnobedrenij pryamokutnij trikutnik Maye kuti 45 45 ta 90 Ye polovinoyu kvadrata Z usih pryamokutnih trikutnikiv rivnobedreni pryamokutni trikutniki mayut najmenshe vidnoshennya gipotenuzi do sumi katetiv a same 2 2 stor 282 stor 358 ta najbilshe vidnoshennya visoti provedenoyi do gipotenuzi do sumi katetiv a same 2 4 stor 282 Zolotij trikutnik en Vlastivosti rivnobedrenogo trikutnikaVlastivosti rivnobedrenogo trikutnika Kuti protilezhni bichnim storonam rivnobedrenogo trikutnika rivni Bisektrisa mediana visota i seredinnij perpendikulyar rivnobedrenogo trikutnika provedeni do osnovi zbigayutsya Bisektrisi provedeni z vershin kutiv pri osnovi rivnobedrenogo trikutnika rivni Mediani provedeni do bichnih storin rivnobedrenogo trikutnika rivni Visoti provedeni do bichnih storin rivnobedrenogo trikutnika rivni Centri vpisanogo ta opisanogo kil rivnobedrenogo trikutnika lezhat na pryamij sho mistit visotu medianu ta bisektrisu provedeni do osnovi Kuti protilezhni rivnim storonam zavzhdi gostri viplivaye z yihnoyi rivnosti ta togo sho suma kutiv trikutnika 180 Maye vis simetriyi sho prohodit cherez vershinu ta seredinu osnovi rivnobedrenogo trikutnika na nij lezhat visota mediana bisektrisa seredinnij perpendikulyar provedeni do osnovi trikutnika Cikava informaciya pro dovedennya vlastivosti kutiv pri osnovi rivnobedrenogo trikutnika Osnovna vlastivist rivnobedrenogo trikutnika kuti pri jogo osnovi rivni bula sformulovana v odnij iz pershih teorem Nachal Evklida Dovedennya ciyeyi teoremi pripisuyut Falesu Miletskomu yakij zhiv za dva stolittya do Yevklida Piznishe cyu teoremu nazvali Pons asinorum sho na latinskij oznachaye mist vislyukiv Poyasnyuyut cyu nazvu z odnogo boku tim sho kreslennya vikoristane Evklidom dlya yiyi dovedennya nagaduye mist a z inshogo boku dumkoyu sho tilki vislyuki ne mozhut cej mist perejti Oznaki rivnobedrenogo trikutnikaYaksho dva kuti trikutnika rivni to vin rivnobedrenij Yaksho bisektrisa mediana i visota provedeni do odniyeyi storoni trikutnika zbigayutsya to vin rivnobedrenij Yaksho dvi mediani trikutnika rivni to vin rivnobedrenij Yaksho dvi visoti trikutnika rivni to vin rivnobedrenij Yaksho dvi bisektrisi trikutnika rivni to vin rivnobedrenij Dovedennya ciyeyi oznaki viyavilosya dovoli vazhkim Ce teorema Shtejnera Lemusa Deyaki formuli dlya znahodzhennya elementiv rivnobedrenogo trikutnikaNehaj a displaystyle a dovzhina dvoh rivnih storin rivnobedrenogo trikutnika b displaystyle b dovzhina tretoyi storoni a displaystyle alpha i b displaystyle beta vidpovidni kuti R displaystyle R radius opisanogo kola r displaystyle r radius vpisanogo kola Rivnobedrenij trikutnik Storoni mozhna znajti tak a 2 R sin a b 2 R sin b displaystyle a 2R sin alpha b 2R sin beta teorema sinusiv a b 2 cos a displaystyle a frac b 2 cos alpha naslidok teoremi kosinusiv b a 2 1 cos b displaystyle b a sqrt 2 1 cos beta naslidok teoremi kosinusiv b 2 a sin b 2 displaystyle b 2a sin frac beta 2 b 2 a cos a displaystyle b 2a cos alpha teorema pro proyekciyi Kuti mozhna viraziti tak a p b 2 displaystyle alpha frac pi beta 2 b p 2 a displaystyle beta pi 2 alpha a arcsin a 2 R b arcsin b 2 R displaystyle alpha arcsin frac a 2R beta arcsin frac b 2R teorema sinusiv Perimetr rivnobedrenogo trikutnika mozhna obchisliti bud yakim z nastupnih sposobiv P 2 a b displaystyle P 2a b za oznachennyam P 2 R 2 sin a sin b displaystyle P 2R 2 sin alpha sin beta naslidok teoremi sinusiv Radius opisanogo kola mozhna viznachiti za formuloyu R a 2 2 h b 2 8 h h 2 a 2 4 a 2 b 2 displaystyle R frac a 2 2h frac b 2 8h frac h 2 frac a 2 sqrt 4a 2 b 2 Radius vpisanogo kola mozhna viznachiti za formuloyu r 2 a b b 2 4 h b 2 2 a b 2 a b displaystyle r frac 2ab b 2 4h frac b 2 cdot sqrt frac 2a b 2a b de h visota provedena do osnovi rivnobedrenogo trikutnika Centri vpisanogo ta opisanogo kil lezhat na osi simetriyi trikutnika Ploshu trikutnika mozhna obchisliti za formulami S 1 2 a h a 1 2 b h b displaystyle S frac 1 2 ah a frac 1 2 bh b de h a displaystyle h a ta h b displaystyle h b visoti opusheni na storoni a displaystyle a ta b displaystyle b vidpovidno S 1 2 a 2 sin b 1 2 a b sin a b 2 4 t g b 2 displaystyle S frac 1 2 a 2 sin beta frac 1 2 ab sin alpha frac b 2 4 mathrm tg frac beta 2 S 1 2 b a 1 2 b a 1 2 b displaystyle S frac 1 2 b sqrt left a frac 1 2 b right left a frac 1 2 b right naslidok z formuli Gerona PrimitkiPoshuk Rosijsko ukrayinski slovniki r2u org ua Procitovano 3 kvitnya 2024 e2u A G Merzlyak V B Polonskij M S Yakir 2020 Geometriya 7 klas PDF ukrayinska H Gimnaziya s 77 ISBN 978 966 474 342 3 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Vkazano bilsh nizh odin pages ta page dovidka Posamentier Alfred S and Lehman Ingmar The Secrets of Triangles Prometheus Books 2012 Enciklopediya dlya ditej T 11 Matematika Golov red M D Aksonova M Avanta 2001 688 c il LiteraturaEnciklopediya dlya ditej T 11 Matematika Golov red M D Aksonova M Avanta 2001 688 c il Geometriya pidruch dlya 7 kl zakladiv zag sered osviti A G Merzlyak V B Polonskij M S Yakir H Gimnaziya 2020 240 s il Rivnobedrenij trikutnik oznachennya vlastivosti prikladi