Теорема Штейнера — Лемуса

Теорема Штейнера-Лемуса в елементарній геометрії була сформульована Крістіаном Лемусом та згодом доведена Якобом Штейнером.

${\displaystyle |AE|=|BD|,\,\alpha =\beta ,\,\gamma =\delta }$ ${\displaystyle \Rightarrow \triangle ABC}$ — рівнобедрений

Будь-який трикутник з двома рівними бісектрисами є рівнобедреним.

Теорема вперше була сформульована 1840 року в листі К. Лемуса Жаку Штурму, в якому він питав про чисто геометричне доведення. Штурм передав запитання до інших математиків, серед яких одному з перших знайти доведення вдалося Якобу Штейнеру. Теорема стала популярною в елементарній геометрії, відтоді як почалися часті публікації про неї.

Доведення

У 1963 році журнал American Mathematical Monthly оголосив конкурс на найкраще доведення теореми. Було надіслано багато доведень, серед яких виявилися цікаві та невідомі раніше. Одне з найкращих, на думку редакції, наведене в книзі Г. С. М. Коксетера та С. П. Грейтцера «Нові зустрічі з геометрією [ 2 травня 2016 у Wayback Machine.]» та використовує метод від супротивного, надалі розглядаючи одне коло чотирьох точок.

У радянській літературі поширене доведення, засноване на такій ознаці рівності трикутників: якщо сторона, протилежний їй кут та бісектриса цього кута одного трикутника дорівнюють відповідним елементам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Примітки

1. Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "The Steiner–Lehmus Theorem." §1.5 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 14–16, 1967.
2. Diane and Roy Dowling: The Lasting Legacy of Ludolph Lehmus [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.]. Manitoba Math Links – Volume II – Issue 3, Spring 2002
3. Barbara, Roy, "Steiner–Lehmus, revisited", 91, November 2007, 528–529.