Площа трикутника

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Трикутник (значення).

Трику́тник в евклідовій геометрії — геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які їх сполучають. Трикутник з вершинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, і ${\displaystyle C}$ позначається ${\displaystyle \triangle ABC}$. Трикутник є многокутником і ${\displaystyle 2}$-симплексом. В евклідовій геометрії трикутник однозначно задає площину. Всі трикутники двовимірні.

Трикутник

Основні відомості про трикутники подано Евклідом у праці «Елементи» близько 300 до н. е.

Типи трикутників

Ейлерова діаграма видів трикутників.

Трикутники класифікують залежно від взаємних довжин їхніх сторін:

• Рівностороннім називають трикутник, в якого всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють ${\displaystyle 60^{\circ }}$, а центри вписаного та описаного кіл збігаються. Рівносторонній трикутник ще називають правильним.
• Рівнобедреним називають трикутник, в якого дві сторони мають однакову довжину. Ці сторони називають бічними, третю сторону називають основою трикутника. У рівнобедреному трикутнику кути при його основі рівні.
• Різностороннім називають трикутник, в якого всі сторони мають різну довжину. Внутрішні кути різностороннього трикутника також різні за величиною.

• Рівносторонній
• Рівнобедрений
• Різносторонній

Трикутники класифікують також залежно від їхніх внутрішніх кутів:

• Якщо один із внутрішніх кутів рівний ${\displaystyle 90^{\circ }}$ (прямий кут), то трикутник називають прямокутним. Сторону, протилежну до прямого кута, називають гіпотенузою, а інші дві сторони — катетами.
• Якщо один із внутрішніх кутів більший ніж ${\displaystyle 90^{\circ }}$, то трикутник називають тупокутним.
• Якщо всі кути трикутника менші від ${\displaystyle 90^{\circ }}$, то трикутник називають гострокутним. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.

• Прямокутний
• Тупокутний
• Гострокутний

Точки і лінії, пов'язані з трикутником

Є сотні різноманітних побудов для визначення особливих точок всередині трикутника, які задовольняють деякі унікальні умови (див. у списку посилань перелік статей). Часто необхідно побудувати три прямі, пов'язані аналогічно з трьома сторонами (вершинами, кутами) трикутника, і тоді переконатись, що вони перетинаються в одній точці. Важливим інструментом для перевірки цього є теорема Чеви, яка дає критерії для визначення конкурентності прямих. Подібно до цього лінії, пов'язані з трикутником, часто будують після перевірки, що три аналогічним чином отримані точки є колінеарні — теорема Менелая дає для цього випадку загальний критерій. Тут подані тільки ті побудови, що найчастіше трапляються.

Центр описаного кола.

Серединний перпендикуляр трикутника — це перпендикуляр, опущений на середину сторони трикутника. Три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола. Діаметр описаного кола можна визначити з теореми синусів.

Виходячи з теореми Фалеса, можна стверджувати: якщо центр описаного кола розміщений на одній зі сторін трикутника, то протилежний кут — прямий. До того ж, якщо центр описаного кола розміщений всередині трикутника, то трикутник гострокутний, а якщо назовні, то трикутник тупокутний.

Три висоти трикутника перетинаються в ортоцентрі.

Висота трикутника — це пряма, проведена з вершини перпендикулярно до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти — це відстань від вершини до основи трикутника. Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать всередині трикутника) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (у ньому жоден з внутрішніх кутів не більший від прямого кута). Див. також ортоцентрична система

На перетині трьох бісектрис трикутника знаходиться центр вписаного кола.

Бісектриса трикутника — це пряма, проведена через вершину трикутника, яка ділить відповідний кут на дві рівні частини. Три бісектриси перетинаються в одній точці, інцентрі, центрі вписаного в трикутник кола. Вписане коло — це коло, яке лежить всередині трикутника і дотикається до трьох його сторін. Окрім того, є ще три важливі кола — зовнішні вписані; вони лежать за межами трикутника і дотикаються до одної його сторони, а також до продовження двох інших. Центри внутрішнього і зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Барицентр — центр мас трикутника.

Медіана трикутника — це пряма, проведена через вершину і середину протилежної сторони, вона ділить трикутник на два трикутники однакової площі. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом трикутника. Ця точка є також центром мас трикутника: якби трикутник був зроблений з твердого матеріалу, то можна було б тримати рівновагу, тримаючи за центроїд. Центроїд ділить кожну медіану у співвідношенні ${\displaystyle 2:1}$, наприклад відстань між вершиною і центроїдом вдвічі більша ніж між центроїдом і протилежною стороною.

Коло дев'яти точок.

Середні точки трьох сторін і основи трьох висот лежать на одному колі, яке називається колом дев'яти точок трикутника. Решта три точки, через які коло отримало свою назву, — це середини тієї частини висоти, що лежить між ортоцентром і вершиною. Радіус кола дев'яти точок дорівнює половині описаного кола. Воно дотикається до вписаного кола (в ) та до трьох зовнішніх вписаних кіл.

Лінія Ейлера.

Центроїд (жовтий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) і центр кола дев'яти точок (червона точка) — всі лежать на одній лінії, яка називається лінія Ейлера (червона лінія). Центр кола дев'яти точок лежить на середині між ортоцентром і центром описаного кола, а відстань між центроїдом і центром описаного кола дорівнює половині відстані між центроїдом та ортоцентром.

Основні факти

Позначення

Вершини трикутника зазвичай позначають великими латинськими літерами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, кути при відповідних вершинах грецькими літерами ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, а довжини протилежних сторін — маленькими латинськими літерами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$.

Сума внутрішніх кутів трикутника становить ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Зовнішній кут трикутника (кут суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. Як і у всіх випуклих багатогранників, сума зовнішніх кутів трикутника ${\displaystyle 360^{\circ }}$.

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma \ =180^{\circ }}$

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це є нерівність трикутника, або аксіома трикутника (в окремому випадку нерівності два кути зменшуються до нуля і трикутник перетворюється у відрізок).

Два трикутники називають подібними тоді і тільки тоді, якщо кути одного рівні відповідним кутам іншого. В такому випадку довжини відповідних сторін пропорційні. Так може бути, наприклад, коли у двох трикутників є спільний кут, а сторони протилежні цьому куту — паралельні. Ось кілька постулатів і теорем про подібні трикутники:

• Два трикутники подібні, якщо в них хоча б два відповідні кути рівні.
• Якщо дві відповідні сторони в трикутниках пропорційні, а кут між ними однаковий, то трикутники подібні.
• Якщо всі сторони двох трикутників пропорційні, то трикутники подібні.

Два трикутники називають конгруентними, якщо всі їхні відповідні сторони і кути рівні (6 елементів). Кілька головних постулатів і теорем про конгруентні трикутники:

• Постулат SAS (side-angle-side): якщо дві сторони і кут між ними в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
• Постулат SSS: якщо всі відповідні сторони в трикутників рівні, то трикутники конгруентні.
• Постулат ASA: якщо сторона і прилеглі до неї кути в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
• Постулат AAS: якщо два кути і будь-яка сторона в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
• Теорема Гіпотенуза-катет: якщо гіпотенуза і один катет в прямокутних трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.

Обчислення площі трикутника

Площа трикутника може бути показана як половина площі паралелограма, який має таку саму основу та висоту.

Обчислення площі трикутника є простою задачею, яку часто треба вирішити у багатьох галузях. Найвідоміша і найпростіша формула:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh}$

де ${\displaystyle S}$ — площа, ${\displaystyle b}$ — довжина основи трикутника, ${\displaystyle h}$ — висота трикутника, відносна до основи. Хоча ця формула й проста, вона може бути використана тільки у разі, якщо можна легко знайти висоту. Наприклад, землемір ділянки трикутної форми вимірює довжину кожної сторони і може знайти площу без визначення довжини висоти. На практиці можна використовувати різні методи визначення площі, залежно від того, що відомо про трикутник. Нижче наведено добірку найуживаніших формул.

З використанням векторів

Площу паралелограма можна обчислити за допомогою векторів. Нехай вектори ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle AC}$ спрямовані відповідно від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$ і від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle C}$. Тоді площа паралелограма ${\displaystyle ABCD}$ дорівнює ${\displaystyle |AB\times AC|}$, тобто числове значення векторного добутку ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle AC}$. ${\displaystyle |AB\times AC|}$ дорівнює ${\displaystyle |h\times AC|}$, де ${\displaystyle h}$ — висота паралелограма як вектор.

Площа трикутника ${\displaystyle ABC}$ дорівнює половині площі паралелограма ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|AB\times AC|}$.

Площу трикутника ${\displaystyle ABC}$ також можна обчислити як скалярний добуток векторів.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,}$.

Тригонометричний спосіб обчислення висоти h.

Тригонометричний спосіб

Висоту трикутника можна визначити використовуючи тригонометричні формули. Згідно з позначенням, як на малюнку зліва, висота дорівнює ${\displaystyle h=a\sin \gamma }$. Підставивши висоту в формулу ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}bh}$, яка наведена вище, отримаємо:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }$.

Крім того, ${\displaystyle \sin \alpha =\sin(\pi -\alpha )=\sin(\beta +\gamma )}$, що справедливо і для інших двох кутів:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha )}$.

Знаючи сторону і два кути, один з яких прилеглий:

${\displaystyle S={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }}}$,

і аналогічно якщо відомі сторони a чи c.

Знаючи сторону і два прилеглі кути:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}}}$,

і аналогічно якщо відомі сторони ${\displaystyle b}$ чи ${\displaystyle c}$.

Використання координат

Якщо точка ${\displaystyle A}$ розташована в точці відліку ${\displaystyle (0,0)}$ Декартової координатної системи, а координати інших двох точок ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}$ і ${\displaystyle C=(x_{C},y_{C})}$, тоді площа ${\displaystyle S}$ може бути обчислена як ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ абсолютного значення детермінанту:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|}$.

В загальнішому випадку:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}}$.

В тривимірному просторі площа трикутника {${\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}$, ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}$ і ${\displaystyle C=(x_{C},y_{C},z_{C})}$} дорівнює відповідних проєкцій на три головні площини (для яких ${\displaystyle x=0}$ або ${\displaystyle y=0}$ або ${\displaystyle z=0}$):

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}}$.

Формула Герона

Форма трикутника однозначно визначається трьома сторонами. Відповідно для того, щоб порахувати площу, достатньо знати довжину сторін. За формулою Герона:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

де ${\displaystyle p=(a+b+c)/2}$ — півпериметр
Інші способи запису формули Герона:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}}$

Формули, схожі на формулу Герона

Є три формули, що схожі на формулу Герона, але записані через інші величини. Позначивши медіани для сторін ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$ відповідно як ${\displaystyle m_{a},m_{b},}$ і ${\displaystyle m_{c}}$, а їхню півсуму ${\displaystyle (m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ як ${\displaystyle \sigma }$, маємо

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

Тоді, позначивши висоти на сторони ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$ відповідно як ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$, і ${\displaystyle h_{c}}$, і позначивши півсуму величин, обернених до висот, як ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$, матимемо

${\displaystyle \mathrm {S} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Позначивши півсуму синусів кутів як ${\displaystyle P=[(\sin \ \ \alpha )+(\sin \ \ \beta )+(\sin \ \ \gamma )]/2}$, матимемо

${\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {P(P-\sin \alpha )(P-\sin \beta )(P-\sin \gamma )}}}$

де ${\displaystyle D}$ — діаметр описаного кола: ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}$

За допомогою теореми Піка

Див. теорему Піка для пояснень, як знайти площу довільного цілочислового многокутника.

Теорема стверджує, що

${\displaystyle \mathrm {S} =I+{\frac {1}{2}}B-1}$

де ${\displaystyle I}$ — кількість цілочислових точок усередині многокутника, ${\displaystyle B}$ — кількість цілочислових точок на межі многокутника.

Інші формули обчислення площі

Існують також інші формули для обчислення площі, наприклад,

${\displaystyle S=r\cdot p,}$

де ${\displaystyle r}$ — радіус вписаного кола, і ${\displaystyle p=(a+b+c)/2}$ - (півпериметр);

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$

Для діаметра описаного кола ${\displaystyle D}$; і

${\displaystyle S={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

для кута ${\displaystyle \alpha \neq 90^{\circ }}$.

В 1885 році, Бейкер дав підбірку з більш ніж сотні різних формул для обчислення площі трикутника (хоча варто попередити читача, що деякі з них неправильні). Наводимо тут #9, #39a, #39b, #42, і #49:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3}}$,

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}}$,

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}}}$,

${\displaystyle S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

Для радіуса описаного кола ${\displaystyle R}$, і

${\displaystyle S={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}}$.

Обчислення площі прямокутного трикутника

У прямокутному трикутнику можна взяти один із катетів як основу, а інший — як його висоту. Звідси формула прямокутного трикутника

${\displaystyle S={\frac {cc'}{2}}}$

де ${\displaystyle S}$ — площа, а ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle c'}$ — катети.

Обчислення сторін та кутів

Докладніше: Розв'язування трикутників

Загалом, є різноманітні прийняті методи обчислення довжин сторін та кутів трикутника. Якщо певні методи можуть бути використані тільки в прямокутному трикутнику, то інші можуть виявитись потрібними для складніших випадків.

Тригонометричні відношення в прямокутних трикутниках

Докладніше: Тригонометричні функції

Прямокутний трикутник завжди має кут 90° (π/2 радіан), тут позначений C. Кути A і B можуть бути різними. Тригонометричні функції показують співвідношення між довжинами сторін і внутрішніми кутами в прямокутному трикутнику.

У прямокутних трикутниках тригонометричні співвідношення — синус, косинус і тангенс можуть використовуватись, щоб знайти невідомі кути чи невідомі довжини сторін. Сторони трикутника позначають так:

• Гіпотенуза — сторона протилежна до прямого кута, або найдовша сторона в прямокутному трикутнику, в даному випадку ${\displaystyle h}$.
• Протилежний катет — сторона протилежна до кута, що розглядається.
• Прилеглий катет — та сторона, що прилягає до кута, що розглядається і до прямого. В даному випадку прилеглий катет ${\displaystyle b}$.

Синус, косинус і тангенс

Синус кута — це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. В нашому випадку

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{протилежний}}{\text{гіпотенуза}}}={\frac {a}{h}}}$.

Зверніть увагу, що це співвідношення не залежить від конкретного вибраного прямокутного трикутника, якщо в ньому є кут ${\displaystyle A}$, оскільки такі трикутники будуть подібні.

Косинус кута — це відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи. В нашому випадку

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{прилеглий}}{\text{гіпотенуза}}}={\frac {b}{h}}\,.}$

Тангенс кута — це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого. В нашому випадку

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{протилежний}}{\text{прилеглий}}}={\frac {a}{b}}\,.}$

Обернені функції

Обернені тригонометричні функції використовують, щоб обчислити внутрішні кути прямокутного трикутника, якщо відомі довжини будь-яких двох сторін.

Arcsin використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі довжина протилежної сторони і довжина гіпотенузи

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{протилежний}}{\text{гіпотенуза}}}\right)}$

Arccos використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі довжина прилеглої сторони і довжина гіпотенузи

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{прилеглий}}{\text{гіпотенуза}}}\right)}$

Arctan використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі довжини протилежної та прилеглої сторони

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{протилежний}}{\text{прилеглий}}}\right)}$

На вступній геометрії та уроках тригонометрії, часто використовують позначення ${\displaystyle \sin ^{-1}}$, ${\displaystyle \cos ^{-1}}$, та ін. замість ${\displaystyle \arcsin }$, ${\displaystyle \arccos }$ тощо. Проте позначення ${\displaystyle \arcsin }$, ${\displaystyle \arccos }$ та інші є стандартними для вищої математики, де тригонометричні функції часто підносять до степеня, щоб не плутати обернений степінь з оберненою функцією.

Теореми синусів, косинусів та тангенсів

Докладніше: Теорема синусів, Теорема косинусів та Теорема тангенсів

Трикутник з сторонами довжиною a, b і c та кутами α, β і γ відповідно .

Теорема синусів, чи правило синусів, стверджує що відношення довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів є величина стала, отже

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$.

Це відношення дорівнює діаметру описаного кола даного трикутника. Інша інтерпретація теореми твердить, що кожен трикутник з кутами ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ і ${\displaystyle \gamma }$ подібний до трикутника довжина сторін якого дорівнює ${\displaystyle \sin \alpha }$, ${\displaystyle \sin \beta }$ і ${\displaystyle \sin \gamma }$. Цей трикутник може бути побудований, якщо накреслити коло діаметром ${\displaystyle 1}$ і вписати в нього два кути вказаного трикутника. Довжина сторін трикутника буде ${\displaystyle \sin \alpha }$, ${\displaystyle \sin \beta }$ і ${\displaystyle \sin \gamma }$. Сторона чия довжина ${\displaystyle \sin \alpha }$ протилежна до кута чия величина ${\displaystyle \alpha }$, і т. д.

Теорема косинусів, чи правило косинусів, поєднує довжину невідомої сторони трикутника з довжиною інших сторін і з кутом протилежним до невідомої сторони. Згідно з теоремою:

Для трикутника з довжинами сторін ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ і кутами ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ відповідно, для двох відомих довжин трикутника ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, і кута між двома відомими сторонами ${\displaystyle \gamma }$ (чи кута протилежного до невідомої сторони ${\displaystyle c}$), щоб розрахувати довжину третьої сторони можна використати наступну формулу:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )}$

${\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$

Якщо довжина всіх трьох сторін трикутника відома, тоді кути можна розрахувати за формулами:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

Теорема тангенсів, чи правило тангенсів, менш відома ніж два попередні. Вона стверджує:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

Воно не дуже часто використовується, але може бути корисним коли потрібно знайти сторону чи кут, коли відомі дві сторони і кут чи два кути і сторона.

Ще формули для трикутників Евклідової геометрії

Для всіх трикутників Евклідової геометрії також справедливі такі формули:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}$

і

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}}$,

і еквівалентно для ${\displaystyle m_{b}}$ і ${\displaystyle m_{c}}$, з відповідними медіанами і сторонами;

${\displaystyle {\text{Довжина внутрішньої бісектриси}}\ \ \alpha ={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}]}}}$

для півпериметра ${\displaystyle s}$, а довжина бісектриси вимірюється з вершини кута до точки перетину з протилежною стороною; в наступних формулах використовується радіус описаного кола ${\displaystyle R}$ та радіус вписаного кола ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

якщо записати через висоти,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4\cdot S^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}$,

і

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$.

Припустимо два суміжні трикутники, що не перетинаються, мають спільну сторону, довжина якої ${\displaystyle f}$, і мають спільне описане коло таким чином, що сторона довжиною ${\displaystyle f}$ є хордою описаного кола; трикутники мають сторони з такими довжинами ${\displaystyle (a,b,f)}$ і ${\displaystyle (c,d,f)}$, ці два трикутники разом утворюють вписаний чотирикутник, а його сторони відповідно ${\displaystyle (a,b,c,d)}$. Тоді

${\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}}$.

Нехай ${\displaystyle M}$ — центроїд трикутника з вершинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, і ${\displaystyle C}$, і нехай ${\displaystyle P}$ — будь-яка внутрішня точка. Тоді відстані між цими точками пов'язані

${\displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(MA)^{2}+(MB)^{2}+(MC)^{2}+3(PM)^{2}}$.

Нехай ${\displaystyle p_{a}}$, ${\displaystyle p_{b}}$, і ${\displaystyle p_{c}}$ — відстані від центроїда до сторін ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$. Тоді

${\displaystyle {\frac {p_{a}}{p_{b}}}={\frac {b}{a}},\ \ \ \ {\frac {p_{b}}{p_{c}}}={\frac {c}{b}},\ \ \ \ {\frac {p_{a}}{p_{c}}}={\frac {c}{a}}\,}$

і

${\displaystyle p_{a}\cdot a=p_{b}\cdot b=p_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}\cdot S}$.

Неплощинні трикутники

Трикутник на сфері.

Неплощинні трикутники — це трикутники, що розташовані не на (плоскій) площині. Прикладом такого трикутника в неевклідовій геометрії є сферичний трикутник, який вивчають у сферичній геометрії, та гіперболічний трикутник в гіперболічній геометрії.

Якщо сума внутрішніх кутів трикутника в площині завжди дорівнює ${\displaystyle 180^{\circ }}$, то для гіперболічного трикутника сума кутів буде меншою від ${\displaystyle 180^{\circ }}$, а для сферичного трикутника сума кутів буде більшою від ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Гіперболічний трикутник можна отримати на негативно вигнутій поверхні, наприклад гіперболічний параболоїд, а сферичний трикутник можна отримати на позитивно вигнутій поверхні, наприклад сфера. Таким чином, якщо зобразити гігантський трикутник на поверхні Землі, то отримаємо суму кутів більшу ніж ${\displaystyle 180^{\circ }}$; фактично сума буде лежати в проміжку ${\displaystyle 180^{\circ }}$ і ${\displaystyle 540^{\circ }}$ Зокрема, можна зобразити трикутник на сфері таким чином, що кожен внутрішній кут буде дорівнювати ${\displaystyle 90^{\circ }}$, а сума всіх кутів ${\displaystyle 270^{\circ }}$.

Зокрема, на сфері сума кутів трикутника дорівнює

${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$,

де ${\displaystyle f}$ — це відношення площі сфери до площі обмеженої трикутником. Наприклад, припустимо ми зобразимо трикутник на поверхні Землі (будемо вважати, що Земля це сфера, що насправді не зовсім так) з вершинами на Північному полюсі, на точці екватора з широтою ${\displaystyle 0^{\circ }}$, і точка на екваторі ${\displaystyle 90^{\circ }}$ західної довготи. Лінія великого кола між згаданими двома точками буде екватор, а лінія великого кола між кожною з цих двох точок і Північним полюсом буде лінією меридіану; отже отримаємо прямі кути на екваторі. Більш того, кут на Північному полюсі також ${\displaystyle 90^{\circ }}$ тому що попередні дві вершини різняться на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ за довготою. Сума кутів в цьому трикутнику — ${\displaystyle 90^{\circ }+90^{\circ }+90^{\circ }=270^{\circ }}$. Цей трикутник покриває ${\displaystyle 1/4}$ північної півкулі (${\displaystyle 90^{\circ }/360^{\circ }}$ якщо дивитись з Північного полюса) і відповідно ${\displaystyle 1/8}$ земної поверхні, тоді підставляємо у формулу ${\displaystyle f=1/8}$; як бачимо, формула дає правильний результат ${\displaystyle 270^{\circ }}$.

З формули вище ми також бачимо, що в певному наближенні поверхню землі можна вважати плоскою: якщо зобразити довільний малий трикутник на поверхні Землі, тоді частка ${\displaystyle f}$ земної поверхні, яка обмежена даним трикутником буде близька до нуля. Наприклад, відомо що площа земної поверхні ${\displaystyle 510}$ млн км², тоді для трикутника площею ${\displaystyle 10\,000}$ км², отримаємо суму кутів ${\displaystyle 180.01^{\circ }}$.

Див. також

• Гострий та тупий трикутники
• Тригонометричні функції
• Список тем про трикутник
• Одна сьома площі трикутника

Теореми та твердження про трикутники

• Теорема синусів
• Теорема косинусів
• Теорема тангенсів
• Теорема Піфагора
• Теорема Чеви
• Точка Ферма

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, «Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
3. Mitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle», Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
4. Mitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines», Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
5. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
6. Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, " Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.
7. Prof. David E. Joyce. The Laws of Cosines and Sines. Clark University. Архів оригіналу за 22 червня 2013. Процитовано 1 листопада 2008.
8. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
9. Watkins, Matthew, Useful Mathematical and Physical Formulae, Walker and Co., 2000.

Посилання

• Площа трикутника // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 82. — 594 с.

• Трикутник на сайті Formula.co.ua — математика для школи
• Геометрія, 7-9 класи. Трикутник на сайті «Острів знань».
• Формули для трикутника на сайті Geometry Atlas.(англ.)
• Кларк Кімберлінґ: Енциклопедія центрів трикутника. Список 3200 точок пов'язаних з трикутником.(англ.)
• Різні визначення для трикутника з інтерактивними додатками, які також можуть бути корисні для навчання в школі.(англ.)
• Інтерактивні демонстрації побудов трикутника з використанням циркуля та лінійки.(англ.)
• Трикутники: Теореми та проблеми. Інтерактивні ілюстрації на сайті Geometry from the Land of the Incas.(англ.)
• FIZMA.neT — Математика онлайн (Трикутник та його елементи)
• Трикут, трикутник // Українська мала енциклопедія : 16 кн. : у 8 т. / проф. Є. Онацький. — Накладом Адміністратури УАПЦ в Аргентині. — Буенос-Айрес, 1966. — Т. 8, кн. XV : Літери Ст — Уц. — С. 1931. — 1000 екз.

Література

• Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005,
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004, ISBN 966-7091-66-Х.
• І. А. Кушнір. Трикутник і тетраедр в задачах. — Київ: Радянська школа, 1991,
• І. А. Кушнір. Повернення втраченої геометрії. — Київ: Факт, 2000
• Погорєлов О. В. Геометрія. Підручник. для 7 — 9 кл. — Київ: Школяр, 2004