Гострий та тупий трикутники

Гострий трикутник — це трикутник з усіма гострими кутами (менше 90 °). Тупий трикутник — це трикутник з одним тупим кутом (більше 90 °) і двома гострими. Оскільки сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180 °, трикутник не може мати більше одного тупого кута. Гострокутні та тупокутні трикутники — це два різних типи похилих трикутників — трикутників, які не є прямокутними, оскільки вони не мають кута у 90 °.

Прямий	Тупий	Гострий
	${\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	Похилі

Властивості

У всіх трикутниках центроїд — це перетин медіан, кожна з яких з'єднує вершину з середньою точкою протилежної сторони, а центр вписаного кола — це центр кола, який внутрішньо дотичний до всіх трьох сторін і знаходиться всередині трикутника. Проте, якщо ортоцентр та центр описаного кола розташовані всередині гострого трикутника, вони є зовнішніми для тупого трикутника.

Ортоцентр — точка перетину трьох висот трикутника, кожна з яких перпендикулярно з'єднує сторону з протилежною вершиною. У випадку з гострим трикутником, всі три з цих сегментів лежать цілком у трикутнику, і тому вони перетинаються в його межах. Але для тупого трикутника висоти з двох гострих кутів перетинаються лише з ^[en] протилежних сторін. Ці висоти цілком виходять за межі трикутника, внаслідок чого вони перетинаються одна з одною (а отже, і з розширеною висотою від куточної вершини), що виникають у зовнішньому трикутнику.

Аналогічно, центр описаного кола — це перетин трьох паралельних бісектрис, який є центром кола, який проходить через всі три вершини і знаходиться всередині гострого трикутника, але поза межами тупого. Прямокутний трикутник є особливим випадком: центр описаного кола і ортоцентр лежать на його межі. У будь-якому трикутнику будь-які два вимірювані кути A і B, протилежні сторонам a та b, відповідно, пов'язані таким чином^{:p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{тоді й лише тоді, коли}}\quad a>b.}$

З цього випливає, що найдовша сторона в тупому трикутнику є протилежною вершині тупого кута.

Гострий трикутник має три ^[en], кожен з яких з одного боку збігається з частиною сторони трикутника та з іншими двома вершинами квадрата на інших двох сторонах трикутника. (У правильному трикутнику два з них зливаються у ту ж площу, тому є лише два окремі квадрати, нанесені на вигляд). Однак у тупого трикутника є лише один вписаний квадрат, одна з його сторін збігається з частиною найдовшої сторони трикутника.^{:p. 115}

Всі трикутники, у яких лінія Ейлера є паралельною до однієї сторони, є гострими. Ця властивість зберігається для сторони BC, тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

Нерівності

Див. також: ^[en]

Сторони

Якщо кут С тупий, то для сторін a, b та c ми маємо:^:p.1,#74

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

що ліва нерівність наближається до рівності, лише коли кут нахилу рівномірного трикутника наближається до 180 °, а права нерівність наближається до рівності, тільки коли тупий кут наближається до 90 °.

Якщо трикутник гострий, то

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Висота

Якщо C є найбільшим кутом, а h _c  — висота від вершини C, тоді для гострого трикутника^:p.135,#3109

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

із протилежною нерівністю, якщо C — тупий.

Медіана

З найдовшою стороною c і медіанами m_a і m_b з інших сторін ^:p.136,#3110

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

для гострого трикутника, але з нерівністю, зміненої для тупого трикутника.

Медіана m_c від найдовшої сторони є більшою або меншою, ніж радіус описаного кола для гострого або тупого трикутника відповідно:^:p.136,#3113

${\displaystyle m_{c}>R}$

для гострих трикутників — протилежно до тупих.

Площа

^[en] для площі A

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

виконується для всіх гострих, але не для всіх тупих трикутників.

Тригонометричні функції

Для гострого трикутника ми маємо, для кутів A, B та C^:p.26,#954

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника. Для гострого трикутника з радіусом описаного кола R^:p.141,#3167

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

і^:p.155,#S25

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Для гострих трикутників^:p.115,#2874

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

з зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Для гострих трикутників^:p178,#241.1

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Для будь-якого трикутника трійка дотичної ідентичності визначає, що сума тангенсів кутів дорівнює їх добутку. Оскільки гострий кут має позитивне дотичне значення, а тупий кут має негативний, вираз для знаходження добутку тангенсів показує, що

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

для гострих трикутників, в той час як протилежний напрям нерівності використовується для тупих трикутників.

Ми маємо:^:p.26,#958

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

для гострих трикутників, і зворотна для тупого трикутника.

Для всіх гострих трикутників^:p.40,#1210

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Для всіх гострих трикутників, що мають центр вписаного кола r і центр описаного кола R^:p.53,#1424

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Для гострих трикутників з площею K,^:p.103,#2662

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

Радіуси описаного, вписаного і дотичного кіл

У гострому трикутнику сума радіуса описаного кола R і вписаного кола r менше половини суми найкоротших сторін a і b:^:p.105,#2690

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з медіанами m_a , m_b та m_c і радіусом описаного кола R, ми маємо:^:p.26,#954

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

а протилежна нерівність виконується для тупого трикутника.

Також для гострого трикутника задовольняє формула:^:p.26,#954

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

у термінах радіусів дотичних кіл r_a , r_b та r_c , знову ж таки з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з півперіметром s,^:p.115,#2874

${\displaystyle s-r>2R,}$

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з площею K,^{:p.185,#291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Відстані між центрами трикутників

Для гострого трикутника відстань між центром описаного кола O і ортоцентром H обчислюється за формулою^:p.26,#954

${\displaystyle OH<R,}$

а за протилежною нерівністю обчислюється для тупого трикутника.

Для гострого трикутника відстань між центром вписаного кола I і ортоцентром H обчислюється так^:p.26,#954

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

де r — це радіус вписаного кола, із зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Вписаний квадрат

Якщо один з вписаних квадратів гострого трикутника має довжину боків x_a, а інший — x_b, де x_a < x_b, тоді^{:p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Два трикутники

Якщо два тупих трикутника мають сторони (a, b, c) і (p, q, r), де c та r — найдовші сторони, тоді^:p.29,#1030

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

Приклади

Трикутники із спеціальними назвами

^[en] є єдиним нерівностороннім трикутником, для якого найбільша площа, яка підходить в інтер'єрі, може бути розташована будь-яким з трьох різних способів, він тупий та рівнобедрений з основними кутами 39.1320261 … ° та третьою шириною 101.7359477 .. °.

Правильний трикутник з трьома кутами 60 °, гострий.

Трикутник Морлі, утворений з будь-якого трикутника на перехрестях його сусідніх кутових триекранів, є рівнобічним і, отже, гострим.

Золотий трикутник — це рівнобедрений трикутник, у якому співвідношення дубліката сторони до основної сторони дорівнює золотому перетину співвідношенню. Він гострий з кутами 36 °, 72 ° та 72 °, що робить його єдиним трикутником з кутами пропорцій 1:2:2.

^[en] із сторонами, що збігаються із стороною, коротшою діагоналлю і довгою діагоналлю правильного семикутника — це тупий трикутник, з кутами ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7}$ та ${\displaystyle 4\pi /7.}$

Трикутники з цілими сторонами

Єдиний трикутник з послідовними цілими числами для висоти і сторін, гострий, має сторони (13,14,15) і висоту із сторони 14 проти 12.

Трикутник з найменшим периметром і з цілими сторонами в арифметичній прогресії та трикутник з найменшим периметром з різними цілими сторонами, є тупим, а саме із сторонами (2, 3, 4).

Трикутники з одним кутом, який двічі більший за інший, з цілими сторонами в арифметичній прогресії, є гострими: а саме трикутник із сторонами (4,5,6) та кратні йому.

Не існує гострих цілосторонніх трикутників з площею, яка дорівнює периметру, але є три тупі трикутники, що мають сторони (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17).

Найменший трикутник з цілими сторонами і з трьома раціональними медіанами — гострий, із сторонами (68, 85, 87).

Трикутники Герона мають цілі сторони та цілі площі. Похилий трикутник Герона з найменшим периметром — гострий, із сторонами (6, 5, 5). Два трикутники Герона, які мають найменшу площу, — це гострий із сторонами (6, 5, 5) та тупий із сторонами (8, 5, 5), площа кожного з яких дорівнює 12.

Примітки

1. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
2. Oxman, Victor, and Stupel, Moshe. «Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?» Forum Geometricorum 13, 2013, 113—115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html [ 9 грудня 2017 у Wayback Machine.]
3. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169—184. [1] [ 30 серпня 2017 у Wayback Machine.]
4. Inequalities proposed in , [2] [ 30 серпня 2017 у Wayback Machine.].
5. Elam, Kimberly (2001). Geometry of Design. New York: Princeton Architectural Press. ISBN .
6. Mitchell, Douglas W., "The 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, and 3:5:7 triangles, " Mathematical Gazette 92, July 2008.
7. , , vol.2, 181.
8. Sierpiński, Wacław. Pythagorean Triangles, Dover Publ., 2003 (orig. 1962).

Джерела

• Weisstein, Eric W. Acute triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Obtuse triangle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.