В геометрії бісекція — це поділ чогось на дві рівні або конгруентні частини, як правило, прямою, яку потім називають бісектрисою. Найчастіше розглядаються такі типи бісектрис — бісектриса відрізка (пряма, яка проходить через середину даного відрізка) та бісектриса кута (пряма, яка проходить через вершину кута і ділить його на два рівні кути).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelUzTDBKcGMyVmpkRzl5Y3k1emRtY3ZNakl3Y0hndFFtbHpaV04wYjNKekxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
У тривимірному просторі бісекція зазвичай виконується площиною, яку також називають бісектрисою або бісектрисною площиною.
У тривимірному просторі бісекція зазвичай виконується площиною, яку також називають бісектрисою або бісектрисною площиною.
Бісектриса відрізка
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTlrTDJSa0wxQmxjbkJsYm1ScFkzVnNZWEpmUW1selpXTjBiM0l1WjJsbS5naWY=.gif)
Бісектриса відрізка проходить через середину відрізка. Особливо важливою є перпендикулярна до відрізка бісектриса, яка, відповідно до назви, перетинає відрізок під прямим кутом. Перпендикулярна до відрізка бісектриса має властивість, що кожна його точка рівновіддалена від кінців відрізка.
У класичній геометрії виконання побудови бісекції за допомогою циркуля та лінійки, можливо завдяки тому, що можливо створювати кола рівних радіусів та з різними центрами. Наприклад, для поділу відрізка навпіл, будують кола однакового радіуса, які перетинаються та центри яких є кінцями відрізка. Пряма, визначена точками перетину двох таких кіл, є перпендикулярною бісектрисою відрізка, оскільки вона перетинає відрізок у його центрі. Ця побудова фактично використовується під час побудови прямої, перпендикулярної даній прямій у заданій точці: а саме, малюють довільне коло, центром якого є ця точка, це коло перетинає пряму ще в двох точках, а перпендикуляр, який потрібно побудувати, — той, що ділить навпіл відрізок, визначений цими двома точками.
Теорема Брахмагупти стверджує, що якщо вписаний чотирикутник — ортодіагональний (тобто має перпендикулярні діагоналі), то перпендикуляр до однієї з сторін, що проходить через точку перетину діагоналей, завжди ділить протилежну сторону навпіл.
В аналітичній формі бісектриса перпендикулярна до відрізка з кінцями і
задається рівнянням
, де
,
, і
.
Бісектриса кута
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTh4THpFMEwwSnBjMlZqZEdsdmJsOWpiMjV6ZEhKMVkzUnBiMjR1WjJsbS5naWY=.gif)
Бісектриса кута ділить кут на два кути з однаковими мірами. Кут має лише одну бісектрису. Кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін кута.
Внутрішня бісектриса кута — це пряма, промінь або відрізок, який ділить кут менше 180° на два рівні кути. Зовнішня бісектриса — це пряма, яка ділить додатковий кут (180° мінус початковий кут), утворений однією стороною, що утворює початковий кут, і продовженням другої сторони, на два рівні кути.
Щоб здійснити бісекцію кута лінійкою та циркулем, зображають коло, центром якого є вершина кута. Коло перетинає кут у двох точках: по одній на кожній стороні кута. Використовуючи кожну з цих точок як центр, малюють два кола однакових радіусів. Перетин кіл (дві точки) визначає пряму, яка є бісектрисою кута.
Доведення цієї побудови досить інтуїтивно зрозуміле, якщо спиратись на симетричність задачі. Трисекцію кута (поділ його на три рівні частини) неможливо досягти лише циркулем та лінійкою (це вперше довів П'єр Ванцель).
Внутрішня та зовнішня бісектриси кута перпендикулярні. Якщо кут утворений двома прямими, заданими алгебраїчно рівняннями і
то внутрішня та зовнішня бісектриси задаються двома рівняннями
Трикутник
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemt3TDBsdVkybHlZMnhsTG5OMlp5OHlORFp3ZUMxSmJtTnBjbU5zWlM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Перетини та колінеарність
Внутрішні бісектриси кута трикутника одночасно перетинаються в точці, яка називається стимулом (центром вписаного кола) трикутника, як видно на схемі праворуч.
Бісектриси двох зовнішніх кутів та бісектриса третьоговнутрішнього кута перетинаються в одній точці.
Три точки перетину зовнішніх бісектрис кута з продовженнями протилежних їм сторін є колінеарними (лежать на одній прямій).
Три точки перетину зовнішніх бісектрис кута з продовженнями протилежних їм сторін є колінеарними (лежать на одній прямій).
Теорема про бісектрису кута
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlF4TDFSeWFXRnVaMnhsWDBGQ1ExOTNhWFJvWDJKcGMyVmpkRzl5WDBGRUxuTjJaeTh5TkRCd2VDMVVjbWxoYm1kc1pWOUJRa05mZDJsMGFGOWlhWE5sWTNSdmNsOUJSQzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Теорема про бісектрису кута показує співвідношення довжин двох відрізків, на які сторона трикутника поділена прямою, що ділить навпіл протилежний кут. Теорема стверджує, що відношення цих відрізків дорівнює відношенню прилеглих до кута сторін.
Довжини
Якщо довжини сторін трикутника рівні , півпериметр
а A — кут, протилежний стороні
, тоді довжина внутрішньої бісектриси кута A дорівнює
- або в тригонометричному вираженні,
- Якщо внутрішня бісектриса кута A у трикутнику ABC має довжину
і якщо ця бісектриса ділить сторону, протилежну А, на відрізки довжини m і n, то
,
- де b і c — довжини сторін, протилежних вершинам B і C; а сторона, протилежна А, ділиться у пропорції b : c .
Якщо внутрішні бісектриси кутів A, B і C мають довжини і
, тоді
Немає двох неконгруентних трикутників, що мають однаковий набір трьох довжин бісектрис внутрішніх кутів.
Цілочисельні трикутники
Існують цілочисельні трикутники з раціональною довжиною бісектриси кута.
Чотирикутник
Бісектриси внутрішніх кутів опуклого чотирикутника або утворюють вписаний чотирикутник (тобто чотири точки перетину сусідніх бісектрис кутів є конциклічними), або паралельні. В останньому випадку чотирикутник є описаним чотирикутником.
Ромб
Кожна діагональ ромба ділить навпіл протилежні кути, тобто є їх бісектрисою.
Парабола
Дотична до параболи в заданій точці ділить навпіл кут між прямою, яка походить через задану точку та фокус параболи, і прямою, яка проходить через задану точку перпендикулярно до директриси параболи.
Бісектриси сторін многокутника
Трикутник
Медіани
Кожна з трьох медіан трикутника є відрізком прямої, що проходить через одну вершину та середину протилежної сторони, тому вона ділить цю сторону навпіл (в загальному випадку не перпендикулярно). Три медіани перетинають одна одну в центроїді трикутника, який називають також його центром маси; таким чином, будь-яка пряма, що проходить через центроїд трикутника та одна з його вершин, ділить навпіл протилежну сторону. Центроїд знаходиться вдвічі ближче до середини будь-якої сторони, ніж до протилежної вершини.
Бісектриси перпендикулярів
Внутрішньою перпендикулярною до сторони трикутника бісектрисою є відрізок, який повністю міститься у внутрішній області трикутника, і перпендикулярно ділить одну з сторін трикутника навпіл. Три такі бісектриси сторін трикутника перетинаються в центрі описаного кола (центр кола, що проходить через три вершини трикутника). Таким чином, будь-яка пряма, яка проходить через центр описаного кола трикутника і перпендикулярна стороні, ділить цю сторону навпіл.
У гострокутному трикутнику центр вписаного кола ділить внутрішні перпендикулярні бісектриси двох найкоротших сторін у рівних відношеннях. У тупокутному трикутнику перпендикулярні бісектриси двох коротших сторін (продовжені за межі трикутника до центру описаного кола) розділені третьою стороною трикутника у рівних відношеннях.
Для будь-якого трикутника довжини внутрішніх перпендикулярних бісектрис задані формулами
і
де сторони трикутника
, а площа трикутника дорівнює
![]()
Чотирикутник
Дві опуклого чотирикутника — це відрізки, які з'єднують середини протилежних сторін, отже, кожна ділить дві сторони навпіл. Дві бімедіани і відрізок, що з'єднує середини діагоналей, перетинаються в точці, яка називається «центроїд вершини», і всі вони діляться навпіл на цій точці.
Чотири відрізки опуклого чотирикутника, що є перпендикулярними до сторони чотирикутника і проходять через середину протилежної сторони, ділять сторону навпіл. Якщо чотирикутник вписаний у коло, ці відрізки лежать на конкурентних прямих і перетинаються у одній точці, яка називається «антицентром».
Теорема Брахмагупти стверджує, що якщо вписаний чотирикутник ортодіагональний (тобто має перпендикулярні діагоналі), то перпендикуляр до сторони від точки перетину діагоналей завжди ділить протилежну сторону навпіл.
Бісектриси площі та бісектриси периметра
Трикутник
Існує безліч прямих, які ділять площу трикутника навпіл. Три з них є медіанами трикутника (які з'єднують середини сторін з протилежними вершинами), і вони є перетинаються в центроїді трикутника; справді, це єдині бісектриси області, які проходить крізь центроїд. Три інші бісектриси площі паралельні сторонам трикутника; кожна з них перетинає дві інші сторони, ділячи їх у відношенні .
Обгортка з нескінченності кількості бісектрис є дельтоїдою (в широкому сенсі, фігурою з трьома вершинами, з'єднаними кривими, які є увігнутими до зовнішньої частини). Вершини дельтоїди розташовані на серединах медіан; всі точки всередині дельтоїди знаходяться на трьох різних бісектрисах площі, тоді як всі точки поза нею знаходяться лише на одній. [1] [ 10 травня 2019 у Wayback Machine.] Сторони дельтоїди — це дуги гіпербол, які є асимптотичними до продовжень сторін трикутника. Відношення площі обгортки бісектрис площі до площі трикутника є інваріантним для всіх трикутників і дорівнює тобто 0,019860 … або менше 2 %.
Колун[] трикутника — це відрізок, який ділить навпіл периметр трикутника і має один кінець в середині однієї з трьох сторін. Три колуни перетинаються в центрі Шпікера, який є центром вписаного кола в медіальний трикутник. Колун паралельний бісектрисі кута.
Розділювач трикутника — це відрізок прямої, що має один кінець в одній з трьох вершин трикутника і ділить периметр навпіл. Три розділювачі перетинаються в точці Наґеля трикутника.
Є прямі, які ділить площу трикутника та його периметр навпіл, і проходять через стимул трикутника (центр вписаного кола). Для будь-якого даного трикутника їх існує одна, дві або три. Пряма, що проходить через стимул, ділить навпіл площу (або периметр) тоді і лише тоді, коли вона також ділить навпіл периметр (або площу).
Паралелограм
Будь-яка пряма через точку перетину діагоналей паралелограма ділить навпіл площу та периметр паралелограма.
Коло і еліпс
Всі бісектриси площі та бісектриси периметра кола чи іншого еліпса проходять через центр кола (еліпса), а будь-які хорди через центр ділять площу та периметр навпіл. У випадку кола вони є діаметрами кола.
Бісектриси діагоналей
Паралелограм
Діагоналі паралелограма ділять навпіл одна одну.
Чотирикутник
Якщо відрізок, що з'єднує діагоналі чотирикутника, ділить навпіл обидві діагоналі, то цей відрізок прямої (пряма Ньютона) ділиться навпіл центроїдом вершини.
Бісектриси об'єму
Площина, яка ділить два протилежні ребра тетраедра в заданому співвідношенні, також ділить об'єм тетраедра в тому ж співвідношенні. Таким чином, будь-яка площина, що містить бімедіану (яка сполучає середини протилежних ребер) тетраедра, ділить навпіл об'єм тетраедра
Література
- . Архів оригіналу за 17 січня 2018. Процитовано 26 листопада 2020.
- Spain, Barry. Analytical Conics, Dover Publications, 2007 (orig. 1957).
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- Oxman, Victor. «On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors», Forum Geometricorum 4, 2004, 215—218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf [ 23 квітня 2021 у Wayback Machine.]
- Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
- Mironescu, P., and Panaitopol, L., «The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths», American Mathematical Monthly 101 (1994): 58–60.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 23 квітня 2021. Процитовано 26 листопада 2020.
- Weisstein, Eric W. «Quadrilateral.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html [ 26 лютого 2018 у Wayback Machine.]
- Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf [ 24 квітня 2021 у Wayback Machine.]
- Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf [ 24 квітня 2021 у Wayback Machine.]
- Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
- Dunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle, " 56, May 1972, 105—108.
- Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers, " 83, April 2010, pp. 141—146.
- Dunn, J. A., and J. E. Pretty, «Halving a triangle», Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
- Weisstein, Eric W. «Tetrahedron.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html [ 5 листопада 2020 у Wayback Machine.]
- Altshiller-Court, N. «The tetrahedron.» Ch. 4 in Modern Pure Solid Geometry: Chelsea, 1979.
Посилання
- Бісектриса кута [ 24 листопада 2016 у Wayback Machine.]
- Визначення бісектриси кута. [ 31 січня 2017 у Wayback Machine.] Відкритий довідник з математики [ 31 січня 2017 у Wayback Machine.]
- Визначення бісектриси. [ 2 березня 2017 у Wayback Machine.] Відкритий довідник з математики [ 2 березня 2017 у Wayback Machine.]
- Бісектриса перпендикулярної прямої. [ 22 лютого 2017 у Wayback Machine.]
- Анімовані вказівки щодо поділу кута [ 27 грудня 2016 у Wayback Machine.] та поділу прямої за [ 16 січня 2017 у Wayback Machine.] допомогою циркуля та лінійки
- Weisstein, Eric W. Line Bisector(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi bisekciya ce podil chogos na dvi rivni abo kongruentni chastini yak pravilo pryamoyu yaku potim nazivayut bisektrisoyu Najchastishe rozglyadayutsya taki tipi bisektris bisektrisa vidrizka pryama yaka prohodit cherez seredinu danogo vidrizka ta bisektrisa kuta pryama yaka prohodit cherez vershinu kuta i dilit jogo na dva rivni kuti Vidrizok DE dilit navpil vidrizok AB tochkoyu D vidrizok EF perpendikulyarna bisektrisa vidrizka AD yaka dilit jogo navpil tochkoyu C a vidrizok EF vnutrishnya bisektrisa pryamogo kuta AED U trivimirnomu prostori bisekciya zazvichaj vikonuyetsya ploshinoyu yaku takozh nazivayut bisektrisoyu abo bisektrisnoyu ploshinoyu U trivimirnomu prostori bisekciya zazvichaj vikonuyetsya ploshinoyu yaku takozh nazivayut bisektrisoyu abo bisektrisnoyu ploshinoyu Bisektrisa vidrizkaPobudova perpendikulyarnoyi bisektrisi vidrizka Bisektrisa vidrizka prohodit cherez seredinu vidrizka Osoblivo vazhlivoyu ye perpendikulyarna do vidrizka bisektrisa yaka vidpovidno do nazvi peretinaye vidrizok pid pryamim kutom Perpendikulyarna do vidrizka bisektrisa maye vlastivist sho kozhna jogo tochka rivnoviddalena vid kinciv vidrizka U klasichnij geometriyi vikonannya pobudovi bisekciyi za dopomogoyu cirkulya ta linijki mozhlivo zavdyaki tomu sho mozhlivo stvoryuvati kola rivnih radiusiv ta z riznimi centrami Napriklad dlya podilu vidrizka navpil buduyut kola odnakovogo radiusa yaki peretinayutsya ta centri yakih ye kincyami vidrizka Pryama viznachena tochkami peretinu dvoh takih kil ye perpendikulyarnoyu bisektrisoyu vidrizka oskilki vona peretinaye vidrizok u jogo centri Cya pobudova faktichno vikoristovuyetsya pid chas pobudovi pryamoyi perpendikulyarnoyi danij pryamij u zadanij tochci a same malyuyut dovilne kolo centrom yakogo ye cya tochka ce kolo peretinaye pryamu she v dvoh tochkah a perpendikulyar yakij potribno pobuduvati toj sho dilit navpil vidrizok viznachenij cimi dvoma tochkami Teorema Brahmagupti stverdzhuye sho yaksho vpisanij chotirikutnik ortodiagonalnij tobto maye perpendikulyarni diagonali to perpendikulyar do odniyeyi z storin sho prohodit cherez tochku peretinu diagonalej zavzhdi dilit protilezhnu storonu navpil V analitichnij formi bisektrisa perpendikulyarna do vidrizka z kincyami P 1 x 1 y 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 i P 2 x 2 y 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 zadayetsya rivnyannyam y m x x 3 y 3 displaystyle y m x x 3 y 3 de m x 2 x 1 y 2 y 1 displaystyle m frac x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 1 2 x 1 x 2 displaystyle x 3 frac 1 2 x 1 x 2 i y 3 1 2 y 1 y 2 displaystyle y 3 frac 1 2 y 1 y 2 Bisektrisa kutaPodil kuta navpil za dopomogoyu cirkulya ta linijki Bisektrisa kuta dilit kut na dva kuti z odnakovimi mirami Kut maye lishe odnu bisektrisu Kozhna tochka bisektrisi kuta rivnoviddalena vid storin kuta Vnutrishnya bisektrisa kuta ce pryama promin abo vidrizok yakij dilit kut menshe 180 na dva rivni kuti Zovnishnya bisektrisa ce pryama yaka dilit dodatkovij kut 180 minus pochatkovij kut utvorenij odniyeyu storonoyu sho utvoryuye pochatkovij kut i prodovzhennyam drugoyi storoni na dva rivni kuti Shob zdijsniti bisekciyu kuta linijkoyu ta cirkulem zobrazhayut kolo centrom yakogo ye vershina kuta Kolo peretinaye kut u dvoh tochkah po odnij na kozhnij storoni kuta Vikoristovuyuchi kozhnu z cih tochok yak centr malyuyut dva kola odnakovih radiusiv Peretin kil dvi tochki viznachaye pryamu yaka ye bisektrisoyu kuta Dovedennya ciyeyi pobudovi dosit intuyitivno zrozumile yaksho spiratis na simetrichnist zadachi Trisekciyu kuta podil jogo na tri rivni chastini nemozhlivo dosyagti lishe cirkulem ta linijkoyu ce vpershe doviv P yer Vancel Vnutrishnya ta zovnishnya bisektrisi kuta perpendikulyarni Yaksho kut utvorenij dvoma pryamimi zadanimi algebrayichno rivnyannyami l 1 x m 1 y n 1 0 displaystyle l 1 x m 1 y n 1 0 i l 2 x m 2 y n 2 0 displaystyle l 2 x m 2 y n 2 0 to vnutrishnya ta zovnishnya bisektrisi zadayutsya dvoma rivnyannyami p 15 l 1 x m 1 y n 1 l 1 2 m 1 2 l 2 x m 2 y n 2 l 2 2 m 2 2 displaystyle frac l 1 x m 1 y n 1 sqrt l 1 2 m 1 2 pm frac l 2 x m 2 y n 2 sqrt l 2 2 m 2 2 Trikutnik Peretini ta kolinearnist Vnutrishni bisektrisi kuta trikutnika odnochasno peretinayutsya v tochci yaka nazivayetsya stimulom centrom vpisanogo kola trikutnika yak vidno na shemi pravoruch Bisektrisi dvoh zovnishnih kutiv ta bisektrisa tretogovnutrishnogo kuta peretinayutsya v odnij tochci p 149 Tri tochki peretinu zovnishnih bisektris kuta z prodovzhennyami protilezhnih yim storin ye kolinearnimi lezhat na odnij pryamij p 149 Tri tochki peretinu zovnishnih bisektris kuta z prodovzhennyami protilezhnih yim storin ye kolinearnimi lezhat na odnij pryamij p 149 Teorema pro bisektrisu kuta Na comu risunku BD DC AB AC Teorema pro bisektrisu kuta pokazuye spivvidnoshennya dovzhin dvoh vidrizkiv na yaki storona trikutnika podilena pryamoyu sho dilit navpil protilezhnij kut Teorema stverdzhuye sho vidnoshennya cih vidrizkiv dorivnyuye vidnoshennyu prileglih do kuta storin Dovzhini Yaksho dovzhini storin trikutnika rivni a b c displaystyle a b c pivperimetr s a b c 2 displaystyle s a b c 2 a A kut protilezhnij storoni a displaystyle a todi dovzhina vnutrishnoyi bisektrisi kuta A dorivnyuye p 70 2 b c s s a b c displaystyle frac 2 sqrt bcs s a b c abo v trigonometrichnomu virazhenni 2 b c b c cos A 2 displaystyle frac 2bc b c cos frac A 2 Yaksho vnutrishnya bisektrisa kuta A u trikutniku ABC maye dovzhinu t a displaystyle t a i yaksho cya bisektrisa dilit storonu protilezhnu A na vidrizki dovzhini m i n to p 70 t a 2 m n b c displaystyle t a 2 mn bc de b i c dovzhini storin protilezhnih vershinam B i C a storona protilezhna A dilitsya u proporciyi b c Yaksho vnutrishni bisektrisi kutiv A B i C mayut dovzhini t a t b displaystyle t a t b i t c displaystyle t c todi b c 2 b c t a 2 c a 2 c a t b 2 a b 2 a b t c 2 a b c 2 displaystyle frac b c 2 bc t a 2 frac c a 2 ca t b 2 frac a b 2 ab t c 2 a b c 2 Nemaye dvoh nekongruentnih trikutnikiv sho mayut odnakovij nabir troh dovzhin bisektris vnutrishnih kutiv Cilochiselni trikutniki Isnuyut cilochiselni trikutniki z racionalnoyu dovzhinoyu bisektrisi kuta Chotirikutnik Bisektrisi vnutrishnih kutiv opuklogo chotirikutnika abo utvoryuyut vpisanij chotirikutnik tobto chotiri tochki peretinu susidnih bisektris kutiv ye konciklichnimi abo paralelni V ostannomu vipadku chotirikutnik ye opisanim chotirikutnikom Romb Kozhna diagonal romba dilit navpil protilezhni kuti tobto ye yih bisektrisoyu Parabola Dotichna do paraboli v zadanij tochci dilit navpil kut mizh pryamoyu yaka pohodit cherez zadanu tochku ta fokus paraboli i pryamoyu yaka prohodit cherez zadanu tochku perpendikulyarno do direktrisi paraboli Bisektrisi storin mnogokutnikaTrikutnik Mediani Kozhna z troh median trikutnika ye vidrizkom pryamoyi sho prohodit cherez odnu vershinu ta seredinu protilezhnoyi storoni tomu vona dilit cyu storonu navpil v zagalnomu vipadku ne perpendikulyarno Tri mediani peretinayut odna odnu v centroyidi trikutnika yakij nazivayut takozh jogo centrom masi takim chinom bud yaka pryama sho prohodit cherez centroyid trikutnika ta odna z jogo vershin dilit navpil protilezhnu storonu Centroyid znahoditsya vdvichi blizhche do seredini bud yakoyi storoni nizh do protilezhnoyi vershini Bisektrisi perpendikulyariv Vnutrishnoyu perpendikulyarnoyu do storoni trikutnika bisektrisoyu ye vidrizok yakij povnistyu mistitsya u vnutrishnij oblasti trikutnika i perpendikulyarno dilit odnu z storin trikutnika navpil Tri taki bisektrisi storin trikutnika peretinayutsya v centri opisanogo kola centr kola sho prohodit cherez tri vershini trikutnika Takim chinom bud yaka pryama yaka prohodit cherez centr opisanogo kola trikutnika i perpendikulyarna storoni dilit cyu storonu navpil U gostrokutnomu trikutniku centr vpisanogo kola dilit vnutrishni perpendikulyarni bisektrisi dvoh najkorotshih storin u rivnih vidnoshennyah U tupokutnomu trikutniku perpendikulyarni bisektrisi dvoh korotshih storin prodovzheni za mezhi trikutnika do centru opisanogo kola rozdileni tretoyu storonoyu trikutnika u rivnih vidnoshennyah Corollaries 5 and 6 Dlya bud yakogo trikutnika dovzhini vnutrishnih perpendikulyarnih bisektris zadani formulami p a 2 a T a 2 b 2 c 2 displaystyle p a tfrac 2aT a 2 b 2 c 2 p b 2 b T a 2 b 2 c 2 displaystyle p b tfrac 2bT a 2 b 2 c 2 i p c 2 c T a 2 b 2 c 2 displaystyle p c tfrac 2cT a 2 b 2 c 2 de storoni trikutnika a b c displaystyle a geq b geq c a plosha trikutnika dorivnyuye T displaystyle T Thm 2 Chotirikutnik Dvi opuklogo chotirikutnika ce vidrizki yaki z yednuyut seredini protilezhnih storin otzhe kozhna dilit dvi storoni navpil Dvi bimediani i vidrizok sho z yednuye seredini diagonalej peretinayutsya v tochci yaka nazivayetsya centroyid vershini i vsi voni dilyatsya navpil na cij tochci p 125 Chotiri vidrizki opuklogo chotirikutnika sho ye perpendikulyarnimi do storoni chotirikutnika i prohodyat cherez seredinu protilezhnoyi storoni dilyat storonu navpil Yaksho chotirikutnik vpisanij u kolo ci vidrizki lezhat na konkurentnih pryamih i peretinayutsya u odnij tochci yaka nazivayetsya anticentrom Teorema Brahmagupti stverdzhuye sho yaksho vpisanij chotirikutnik ortodiagonalnij tobto maye perpendikulyarni diagonali to perpendikulyar do storoni vid tochki peretinu diagonalej zavzhdi dilit protilezhnu storonu navpil Bisektrisi ploshi ta bisektrisi perimetraTrikutnik Isnuye bezlich pryamih yaki dilyat ploshu trikutnika navpil Tri z nih ye medianami trikutnika yaki z yednuyut seredini storin z protilezhnimi vershinami i voni ye peretinayutsya v centroyidi trikutnika spravdi ce yedini bisektrisi oblasti yaki prohodit kriz centroyid Tri inshi bisektrisi ploshi paralelni storonam trikutnika kozhna z nih peretinaye dvi inshi storoni dilyachi yih u vidnoshenni 2 1 1 displaystyle sqrt 2 1 1 Obgortka z neskinchennosti kilkosti bisektris ye deltoyidoyu v shirokomu sensi figuroyu z troma vershinami z yednanimi krivimi yaki ye uvignutimi do zovnishnoyi chastini Vershini deltoyidi roztashovani na seredinah median vsi tochki vseredini deltoyidi znahodyatsya na troh riznih bisektrisah ploshi todi yak vsi tochki poza neyu znahodyatsya lishe na odnij 1 10 travnya 2019 u Wayback Machine Storoni deltoyidi ce dugi giperbol yaki ye asimptotichnimi do prodovzhen storin trikutnika Vidnoshennya ploshi obgortki bisektris ploshi do ploshi trikutnika ye invariantnim dlya vsih trikutnikiv i dorivnyuye 3 4 log e 2 1 2 displaystyle tfrac 3 4 log e 2 tfrac 1 2 tobto 0 019860 abo menshe 2 Kolun utochniti trikutnika ce vidrizok yakij dilit navpil perimetr trikutnika i maye odin kinec v seredini odniyeyi z troh storin Tri koluni peretinayutsya v centri Shpikera yakij ye centrom vpisanogo kola v medialnij trikutnik Kolun paralelnij bisektrisi kuta Rozdilyuvach trikutnika ce vidrizok pryamoyi sho maye odin kinec v odnij z troh vershin trikutnika i dilit perimetr navpil Tri rozdilyuvachi peretinayutsya v tochci Nagelya trikutnika Ye pryami yaki dilit ploshu trikutnika ta jogo perimetr navpil i prohodyat cherez stimul trikutnika centr vpisanogo kola Dlya bud yakogo danogo trikutnika yih isnuye odna dvi abo tri Pryama sho prohodit cherez stimul dilit navpil ploshu abo perimetr todi i lishe todi koli vona takozh dilit navpil perimetr abo ploshu Paralelogram Bud yaka pryama cherez tochku peretinu diagonalej paralelograma dilit navpil ploshu ta perimetr paralelograma Kolo i elips Vsi bisektrisi ploshi ta bisektrisi perimetra kola chi inshogo elipsa prohodyat cherez centr kola elipsa a bud yaki hordi cherez centr dilyat ploshu ta perimetr navpil U vipadku kola voni ye diametrami kola Bisektrisi diagonalejParalelogram Diagonali paralelograma dilyat navpil odna odnu Chotirikutnik Yaksho vidrizok sho z yednuye diagonali chotirikutnika dilit navpil obidvi diagonali to cej vidrizok pryamoyi pryama Nyutona dilitsya navpil centroyidom vershini Bisektrisi ob yemuPloshina yaka dilit dva protilezhni rebra tetraedra v zadanomu spivvidnoshenni takozh dilit ob yem tetraedra v tomu zh spivvidnoshenni Takim chinom bud yaka ploshina sho mistit bimedianu yaka spoluchaye seredini protilezhnih reber tetraedra dilit navpil ob yem tetraedra pp 89 90Literatura Arhiv originalu za 17 sichnya 2018 Procitovano 26 listopada 2020 Spain Barry Analytical Conics Dover Publications 2007 orig 1957 Johnson Roger A Advanced Euclidean Geometry Dover Publ 2007 orig 1929 Oxman Victor On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors Forum Geometricorum 4 2004 215 218 http forumgeom fau edu FG2004volume4 FG200425 pdf 23 kvitnya 2021 u Wayback Machine Simons Stuart Mathematical Gazette 93 March 2009 115 116 Mironescu P and Panaitopol L The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths American Mathematical Monthly 101 1994 58 60 PDF Arhiv originalu PDF za 23 kvitnya 2021 Procitovano 26 listopada 2020 Weisstein Eric W Quadrilateral From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com Quadrilateral html 26 lyutogo 2018 u Wayback Machine Mitchell Douglas W 2013 Perpendicular Bisectors of Triangle Sides Forum Geometricorum 13 53 59 http forumgeom fau edu FG2013volume13 FG201307 pdf 24 kvitnya 2021 u Wayback Machine Mitchell Douglas W 2013 Perpendicular Bisectors of Triangle Sides Forum Geometricorum 13 53 59 http forumgeom fau edu FG2013volume13 FG201307 pdf 24 kvitnya 2021 u Wayback Machine Altshiller Court Nathan College Geometry Dover Publ 2007 Dunn J A and Pretty J E Halving a triangle 56 May 1972 105 108 Kodokostas Dimitrios Triangle Equalizers 83 April 2010 pp 141 146 Dunn J A and J E Pretty Halving a triangle Mathematical Gazette 56 May 1972 p 105 Weisstein Eric W Tetrahedron From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com Tetrahedron html 5 listopada 2020 u Wayback Machine Altshiller Court N The tetrahedron Ch 4 in Modern Pure Solid Geometry Chelsea 1979 PosilannyaBisektrisa kuta 24 listopada 2016 u Wayback Machine Viznachennya bisektrisi kuta 31 sichnya 2017 u Wayback Machine Vidkritij dovidnik z matematiki 31 sichnya 2017 u Wayback Machine Viznachennya bisektrisi 2 bereznya 2017 u Wayback Machine Vidkritij dovidnik z matematiki 2 bereznya 2017 u Wayback Machine Bisektrisa perpendikulyarnoyi pryamoyi 22 lyutogo 2017 u Wayback Machine Animovani vkazivki shodo podilu kuta 27 grudnya 2016 u Wayback Machine ta podilu pryamoyi za 16 sichnya 2017 u Wayback Machine dopomogoyu cirkulya ta linijki Weisstein Eric W Line Bisector angl na sajti Wolfram MathWorld