Ортодіагона́льний чотирику́тник — в евклідовій геометрії чотирикутник, у якого діагоналі перетинаються під прямим кутом. Іншими словами, це чотирикутник, у якого відрізки, що сполучають не суміжні (протилежні) вершини, ортогональні (перпендикулярні) один одному.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekUyTDA5eWRHaHZaR2xoWjI5dVlXeGZjWFZoWkhKcGJHRjBaWEpoYkM1emRtY3ZNalF3Y0hndFQzSjBhRzlrYVdGbmIyNWhiRjl4ZFdGa2NtbHNZWFJsY21Gc0xuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Особливі випадки
Дельтоїд — це ортодіагональний чотирикутник, одна діагональ якого є лінією симетрії. У дельтоїд завжди можна вписати коло, дотичне до всіх чотирьох його сторін, тобто дельтоїди — це описані ортодіагональні чотирикутники. Навколо прямокутного дельтоїда також можна описати коло.
Ромб є ортодіагональним чотирикутником з двома парами паралельних сторін (тобто також є паралелограмом).
Квадрат є частковим випадком як дельтоїда, так і ромба.
Ортогональний чотирикутник з рівними діагоналями, в якому довжина діагоналі не перевищує найдовшу сторону, має найбільшу площу серед усіх чотирикутників з таким же діаметром. Тим самим, він є розв'язком задачі про найбільший многокутник одиничного діаметра у випадку n = 4. Такі чотирикутники називаються середньоквадратичними, тому що їх паралелограми Варіньона є квадратами. Тому їх площа може бути виражена тільки через сторони.
Теореми
Для будь-якого ортодіагонального чотирикутника сума квадратів двох протилежних сторін дорівнює сумі двох інших протилежних сторін: для послідовних сторін a, b, c та d маємо
Це випливає з теореми Піфагора, згідно з якою будь-яку з цих двох сум двох квадратів можна представити у вигляді чотирьох квадратів відстаней від вершин чотирикутника до точки перетину його діагоналей. І навпаки, будь-який чотирикутник, у якому a 2 + c 2 = b 2 + d 2, повинен бути ортодіагональним. Це можна довести різними способами, зокрема з використанням теореми косинусів, векторів, доведенням від супротивного та комплексних чисел. Діагоналі опуклого чотирикутника перпендикулярні тоді і лише тоді, коли дві (бімедіани) мають однакову довжину.
Згідно з іншою теоремою, діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні тоді і лише тоді, коли
де Р — точка перетину діагоналей. З цього рівняння випливає, що діагоналі опуклого чотирикутника перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли проєкції діагонального перетину на сторони чотирикутника є вершинами вписаного чотирикутника.
Опуклий чотирикутник є ортодіагональним тоді і лише тоді, коли його паралелограм Варіньона (вершини якого є серединами його сторін) є прямокутником. Відповідна властивість говорить, що опуклий чотирикутник є ортодіагональним тоді і тільки тоді, коли середини сторін і основи чотирьох бівисот складають вісім конциклічних точок, тобто лежать на одному восьмиточкову колі. Центром цього кола є центроїд чотирикутника. Чотирикутник, утворений основами бівисот, називається головним ортичним чотирикутником.
Якщо нормалі до сторін опуклого чотирикутника ABCD, що проходять через точку перетину діагоналей, перетинають протилежні сторони в точках R, S, T, U та точки K, L, M, N — основи цих нормалей, то ABCD є ортодіагональним тоді і тільки якщо вісім точок K, L, M, N, R, S, T і U є конциклічними (тобто, лежать на одному колі), це друге восьмиточкове коло. Відповідна властивість говорить, що опуклий чотирикутник є ортодіагональним тоді і лише тоді, коли RSTU — це прямокутник, сторони якого паралельні діагоналям ABCD.
Існує кілька метричних властивостей щодо чотирьох трикутників, утворених точкою перетину діагоналей P і вершинами опуклого чотирикутника ABCD. Позначимо через m1, m2, m3, m4медіани у трикутниках ABP, BCP, CDP, DAP, проведені від точки P до сторін AB, BC, CD, DA відповідно. Позначимо R1, R2, R3, R4 і Н1, Н2, Н3, Н4радіуси описаних кіл і висоти відповідно цих трикутників. Чотирикутник ABCD є ортодіагональним тоді і тільки тоді, коли має місце хоча б одна з рівностей:
Крім того, чотирикутник ABCD із точкою перетину діагоналей P є ортодіагональним тоді і лише тоді, коли центри описаних кіл трикутників ABP, BCP, CDP та DAP є серединами сторін чотирикутника.
Порівняння з описаним чотирикутником
Кілька метричних властивостей описаних чотирикутників та ортодіагональних чотирикутників дуже схожі за зовнішнім виглядом, як це видно з таблиці. Позначення сторін a, b, c, d, радіусів R1, R2, R3, R4 і висот h1, h2, h3, h4 однакові в обох типах чотирикутників.
Описаний чотирикутник | Ортодіагональний чотирикутник |
---|---|
Площа
Площа K ортодіагонального чотирикутника дорівнює половині добутку довжин діагоналей р і q:
І навпаки, будь-який опуклий чотирикутник, де площа може бути обчислена за цією формулою, є ортодіагональним. Ортодіагональний чотирикутник має найбільшу площу серед усіх опуклих чотирикутників із заданими діагоналями.
Інші властивості
- Ортодіагональні чотирикутники — єдині чотирикутники, для яких сторони та кут, утворені діагоналями, не визначають однозначно площу. Наприклад, два ромби, що мають однакову сторону a (і, як і для всіх ромбів, обидва мають прямий кут між діагоналями), але один має менший гострий кут, ніж інший, мають різні площі (площа першого наближається до нуля при наближенні гострого кута до нуля).
- Якщо квадрати побудовані на сторонах довільного чотирикутника (опуклого, увігнутого або перехрещеного), то їх центри (центроїди) є вершинами ортодіагонального чотирикутника, який також є рівнодіагональним (тобто має діагоналі однакової довжини). Це твердження відоме як теорема ван Обеля.
- Кожна сторона ортодіагонального чотирикутника має принаймні одну спільну точку з колом Паскаля.
Властивості ортодіагональних вписаних чотирикутників
Радіус та площа
Для вписаного ортодіагонального чотирикутника покладемо, що точка перетину діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжинами p1 і p2, а іншу діагональ — на відрізки довжинами q1 і q2. Тоді (перша рівність — твердження 11 у Книзі Лем Архімеда)
де D — діаметр описаного кола. Це справедливо, оскільки діагоналі є перпендикулярними хордами кола. З цієї формули маємо вираз для радіуса описаного кола
або, виражаючи через сторони чотирикутника
З цього також випливає, що
Таким чином, відповідно до теореми Ейлера про чотирикутник, радіус описаного кола може бути виражений через діагоналі p і q та відстань x між середніми точками діагоналей:
Формула площі K вписаного ортодіагонального чотирикутника через чотири сторони отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея та формули площі ортодіагонального чотирикутника
Інші властивості
- У вписаному ортодіагональному чотирикутнику антицентр (точка перетину серединних перепендикулярів) збігається з точкою перетину діагоналей.
- Теорема Брамагупти говорить, що для вписаного ортодіагонального чотирикутника перпендикуляр з довільної сторони, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить навпіл протилежну сторону.
- Якщо ортодіагональний чотирикутник є вписаним, то відстань від центра описаного кола до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони.
- У вписаному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами діагоналей дорівнює відстані між центром кола і точкою перетину діагоналей.
Нескінченні набори вписаних прямокутників
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekV4TDBGZmMyVjBYMjltWDJsdWMyTnlhV0psWkY5eVpXTjBZVzVuYkdWelgyUmxabWx1WldSZllubGZVR0Z6WTJGc0xYQnZhVzUwYzE5amFYSmpiR1Z6TG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxQlgzTmxkRjl2Wmw5cGJuTmpjbWxpWldSZmNtVmpkR0Z1WjJ4bGMxOWtaV1pwYm1Wa1gySjVYMUJoYzJOaGJDMXdiMmx1ZEhOZlkybHlZMnhsY3k1d2JtYz0ucG5n.png)
Для кожного ортодіагонального чотирикутника ми можемо записати два нескінченні набори прямокутників:
- (i) набір прямокутників, сторони яких паралельні діагоналям чотирикутника;
- (ii) набір прямокутників, визначених колами Паскаля.
Джерела
- Josefsson, Martin (2010), (PDF), , 10: 119—130, архів оригіналу (PDF) за 13 серпня 2011, процитовано 3 грудня 2020
- (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136—138.
- Mitchell, Douglas, W. (2009), The area of a quadrilateral, , 93 (July): 306—309.
- Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), (PDF), , 9: 195—211, архів оригіналу (PDF) за 31 грудня 2019, процитовано 3 грудня 2020.
- Josefsson, Martin (2012), (PDF), , 12: 13—25, архів оригіналу (PDF) за 5 грудня 2020, процитовано 3 грудня 2020.
- Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011), (PDF), , 11: 109—119, архів оригіналу (PDF) за 23 квітня 2018, процитовано 3 грудня 2020.
- Harries, J. (2002), Area of a quadrilateral, , 86 (July): 310—311
- David, Fraivert (2017), (PDF), , 17: 509—526, архів оригіналу (PDF) за 5 грудня 2020, процитовано 3 грудня 2020.
- ; Salkind, Charles T. (1996), Challenging Problems in Geometry (вид. second), Dover Publications, pp. 104–105, #4–23.
- Josefsson, Martin (2016), Properties of Pythagorean quadrilaterals, , 100 (July): 213—224.
- David, Fraivert (2019), , , 23: 5—27, архів оригіналу за 23 жовтня 2020, процитовано 3 грудня 2020.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ortodiagona lnij chotiriku tnik v evklidovij geometriyi chotirikutnik u yakogo diagonali peretinayutsya pid pryamim kutom Inshimi slovami ce chotirikutnik u yakogo vidrizki sho spoluchayut ne sumizhni protilezhni vershini ortogonalni perpendikulyarni odin odnomu Ortodiagonalnij chotirikutnik zhovtij Vidpovidno do vlastivostej cogo chotirikutnika dva chervoni kvadrati na dvoh protilezhnih storonah chotirikutnika mayut taku zh sumu plosh yak dva sini kvadrati na inshij pari protilezhnih storin Osoblivi vipadkiDeltoyid ce ortodiagonalnij chotirikutnik odna diagonal yakogo ye liniyeyu simetriyi U deltoyid zavzhdi mozhna vpisati kolo dotichne do vsih chotiroh jogo storin tobto deltoyidi ce opisani ortodiagonalni chotirikutniki Navkolo pryamokutnogo deltoyida takozh mozhna opisati kolo Romb ye ortodiagonalnim chotirikutnikom z dvoma parami paralelnih storin tobto takozh ye paralelogramom Kvadrat ye chastkovim vipadkom yak deltoyida tak i romba Ortogonalnij chotirikutnik z rivnimi diagonalyami v yakomu dovzhina diagonali ne perevishuye najdovshu storonu maye najbilshu ploshu sered usih chotirikutnikiv z takim zhe diametrom Tim samim vin ye rozv yazkom zadachi pro najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra u vipadku n 4 Taki chotirikutniki nazivayutsya serednokvadratichnimi tomu sho yih paralelogrami Varinona ye kvadratami Tomu yih plosha mozhe buti virazhena tilki cherez storoni TeoremiDlya bud yakogo ortodiagonalnogo chotirikutnika suma kvadrativ dvoh protilezhnih storin dorivnyuye sumi dvoh inshih protilezhnih storin dlya poslidovnih storin a b c ta d mayemo a2 c2 b2 d2 displaystyle displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 Ce viplivaye z teoremi Pifagora zgidno z yakoyu bud yaku z cih dvoh sum dvoh kvadrativ mozhna predstaviti u viglyadi chotiroh kvadrativ vidstanej vid vershin chotirikutnika do tochki peretinu jogo diagonalej I navpaki bud yakij chotirikutnik u yakomu a 2 c 2 b 2 d 2 povinen buti ortodiagonalnim Ce mozhna dovesti riznimi sposobami zokrema z vikoristannyam teoremi kosinusiv vektoriv dovedennyam vid suprotivnogo ta kompleksnih chisel Diagonali opuklogo chotirikutnika perpendikulyarni todi i lishe todi koli dvi bimediani mayut odnakovu dovzhinu Zgidno z inshoyu teoremoyu diagonali opuklogo chotirikutnika ABCD perpendikulyarni todi i lishe todi koli PAB PBA PCD PDC p displaystyle angle PAB angle PBA angle PCD angle PDC pi de R tochka peretinu diagonalej Z cogo rivnyannya viplivaye sho diagonali opuklogo chotirikutnika perpendikulyarni todi i tilki todi koli proyekciyi diagonalnogo peretinu na storoni chotirikutnika ye vershinami vpisanogo chotirikutnika Opuklij chotirikutnik ye ortodiagonalnim todi i lishe todi koli jogo paralelogram Varinona vershini yakogo ye seredinami jogo storin ye pryamokutnikom Vidpovidna vlastivist govorit sho opuklij chotirikutnik ye ortodiagonalnim todi i tilki todi koli seredini storin i osnovi chotiroh bivisot skladayut visim konciklichnih tochok tobto lezhat na odnomu vosmitochkovu koli Centrom cogo kola ye centroyid chotirikutnika Chotirikutnik utvorenij osnovami bivisot nazivayetsya golovnim ortichnim chotirikutnikom Yaksho normali do storin opuklogo chotirikutnika ABCD sho prohodyat cherez tochku peretinu diagonalej peretinayut protilezhni storoni v tochkah R S T U ta tochki K L M N osnovi cih normalej to ABCD ye ortodiagonalnim todi i tilki yaksho visim tochok K L M N R S T i U ye konciklichnimi tobto lezhat na odnomu koli ce druge vosmitochkove kolo Vidpovidna vlastivist govorit sho opuklij chotirikutnik ye ortodiagonalnim todi i lishe todi koli RSTU ce pryamokutnik storoni yakogo paralelni diagonalyam ABCD Isnuye kilka metrichnih vlastivostej shodo chotiroh trikutnikiv utvorenih tochkoyu peretinu diagonalej P i vershinami opuklogo chotirikutnika ABCD Poznachimo cherez m1 m2 m3 m4mediani u trikutnikah ABP BCP CDP DAP provedeni vid tochki P do storin AB BC CD DA vidpovidno Poznachimo R1 R2 R3 R4 i N1 N2 N3 N4radiusi opisanih kil i visoti vidpovidno cih trikutnikiv Chotirikutnik ABCD ye ortodiagonalnim todi i tilki todi koli maye misce hocha b odna z rivnostej m12 m32 m22 m42 displaystyle m 1 2 m 3 2 m 2 2 m 4 2 R12 R32 R22 R42 displaystyle R 1 2 R 3 2 R 2 2 R 4 2 1h12 1h32 1h22 1h42 displaystyle frac 1 h 1 2 frac 1 h 3 2 frac 1 h 2 2 frac 1 h 4 2 Krim togo chotirikutnik ABCD iz tochkoyu peretinu diagonalej P ye ortodiagonalnim todi i lishe todi koli centri opisanih kil trikutnikiv ABP BCP CDP ta DAP ye seredinami storin chotirikutnika Porivnyannya z opisanim chotirikutnikom Kilka metrichnih vlastivostej opisanih chotirikutnikiv ta ortodiagonalnih chotirikutnikiv duzhe shozhi za zovnishnim viglyadom yak ce vidno z tablici Poznachennya storin a b c d radiusiv R1 R2 R3 R4 i visot h1 h2 h3 h4 odnakovi v oboh tipah chotirikutnikiv Opisanij chotirikutnik Ortodiagonalnij chotirikutnika c b d displaystyle a c b d a2 c2 b2 d2 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 R1 R3 R2 R4 displaystyle R 1 R 3 R 2 R 4 R12 R32 R22 R42 displaystyle R 1 2 R 3 2 R 2 2 R 4 2 1h1 1h3 1h2 1h4 displaystyle frac 1 h 1 frac 1 h 3 frac 1 h 2 frac 1 h 4 1h12 1h32 1h22 1h42 displaystyle frac 1 h 1 2 frac 1 h 3 2 frac 1 h 2 2 frac 1 h 4 2 PloshaPlosha K ortodiagonalnogo chotirikutnika dorivnyuye polovini dobutku dovzhin diagonalej r i q K p q2 displaystyle K frac p cdot q 2 I navpaki bud yakij opuklij chotirikutnik de plosha mozhe buti obchislena za ciyeyu formuloyu ye ortodiagonalnim Ortodiagonalnij chotirikutnik maye najbilshu ploshu sered usih opuklih chotirikutnikiv iz zadanimi diagonalyami Inshi vlastivostiOrtodiagonalni chotirikutniki yedini chotirikutniki dlya yakih storoni ta kut utvoreni diagonalyami ne viznachayut odnoznachno ploshu Napriklad dva rombi sho mayut odnakovu storonu a i yak i dlya vsih rombiv obidva mayut pryamij kut mizh diagonalyami ale odin maye menshij gostrij kut nizh inshij mayut rizni ploshi plosha pershogo nablizhayetsya do nulya pri nablizhenni gostrogo kuta do nulya Yaksho kvadrati pobudovani na storonah dovilnogo chotirikutnika opuklogo uvignutogo abo perehreshenogo to yih centri centroyidi ye vershinami ortodiagonalnogo chotirikutnika yakij takozh ye rivnodiagonalnim tobto maye diagonali odnakovoyi dovzhini Ce tverdzhennya vidome yak teorema van Obelya Kozhna storona ortodiagonalnogo chotirikutnika maye prinajmni odnu spilnu tochku z kolom Paskalya Vlastivosti ortodiagonalnih vpisanih chotirikutnikivRadius ta plosha Dlya vpisanogo ortodiagonalnogo chotirikutnika poklademo sho tochka peretinu diagonalej dilit odnu diagonal na vidrizki dovzhinami p1 i p2 a inshu diagonal na vidrizki dovzhinami q1 i q2 Todi persha rivnist tverdzhennya 11 u Knizi Lem Arhimeda D2 p12 p22 q12 q22 a2 c2 b2 d2 displaystyle D 2 p 1 2 p 2 2 q 1 2 q 2 2 a 2 c 2 b 2 d 2 de D diametr opisanogo kola Ce spravedlivo oskilki diagonali ye perpendikulyarnimi hordami kola Z ciyeyi formuli mayemo viraz dlya radiusa opisanogo kola R 12p12 p22 q12 q22 displaystyle R tfrac 1 2 sqrt p 1 2 p 2 2 q 1 2 q 2 2 abo virazhayuchi cherez storoni chotirikutnika R 12a2 c2 12b2 d2 displaystyle R tfrac 1 2 sqrt a 2 c 2 tfrac 1 2 sqrt b 2 d 2 Z cogo takozh viplivaye sho a2 b2 c2 d2 8R2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 8R 2 Takim chinom vidpovidno do teoremi Ejlera pro chotirikutnik radius opisanogo kola mozhe buti virazhenij cherez diagonali p i q ta vidstan x mizh serednimi tochkami diagonalej R p2 q2 4x28 displaystyle R sqrt frac p 2 q 2 4x 2 8 Formula ploshi K vpisanogo ortodiagonalnogo chotirikutnika cherez chotiri storoni otrimuyetsya bezposeredno pri poyednanni teoremi Ptolemeya ta formuli ploshi ortodiagonalnogo chotirikutnika p 222 K 12 ac bd displaystyle K tfrac 1 2 ac bd Inshi vlastivosti U vpisanomu ortodiagonalnomu chotirikutniku anticentr tochka peretinu seredinnih perependikulyariv zbigayetsya z tochkoyu peretinu diagonalej Teorema Bramagupti govorit sho dlya vpisanogo ortodiagonalnogo chotirikutnika perpendikulyar z dovilnoyi storoni sho prohodit cherez tochku peretinu diagonalej dilit navpil protilezhnu storonu Yaksho ortodiagonalnij chotirikutnik ye vpisanim to vidstan vid centra opisanogo kola do bud yakoyi storoni dorivnyuye polovini dovzhini protilezhnoyi storoni U vpisanomu ortodiagonalnomu chotirikutniku vidstan mizh seredinami diagonalej dorivnyuye vidstani mizh centrom kola i tochkoyu peretinu diagonalej Neskinchenni nabori vpisanih pryamokutnikivABCD displaystyle ABCD ye ortodiagonalnim chotirikutnikom P1X1Z1Y1 displaystyle P 1 X 1 Z 1 Y 1 i P2X2Z2Y2 displaystyle P 2 X 2 Z 2 Y 2 ce pryamokutniki storoni yakih paralelni diagonalyam chotirikutnika ABCD displaystyle ABCD ye ortodiagonalnim chotirikutnikom P1 displaystyle P 1 i Q1 displaystyle Q 1 tochki Paskalya utvoreni kolom w1 displaystyle omega 1 sP1Q1 displaystyle sigma P 1 Q 1 kolo Paskalya sho viznachaye pryamokutnik P1V1Q1W1 displaystyle P 1 V 1 Q 1 W 1 P2 displaystyle P 2 i Q2 displaystyle Q 2 tochki Paskalya utvoreni kolom w2 displaystyle omega 2 sP2Q2 displaystyle sigma P 2 Q 2 kolo Paskalya sho viznachaye pryamokutnik P2V2Q2W2 displaystyle P 2 V 2 Q 2 W 2 Dlya kozhnogo ortodiagonalnogo chotirikutnika mi mozhemo zapisati dva neskinchenni nabori pryamokutnikiv i nabir pryamokutnikiv storoni yakih paralelni diagonalyam chotirikutnika ii nabir pryamokutnikiv viznachenih kolami Paskalya DzherelaJosefsson Martin 2010 PDF 10 119 130 arhiv originalu PDF za 13 serpnya 2011 procitovano 3 grudnya 2020 2007 College Geometry Dover Publications Republication of second edition 1952 Barnes amp Noble pp 136 138 Mitchell Douglas W 2009 The area of a quadrilateral 93 July 306 309 Ismailescu Dan Vojdany Adam 2009 PDF 9 195 211 arhiv originalu PDF za 31 grudnya 2019 procitovano 3 grudnya 2020 Josefsson Martin 2012 PDF 12 13 25 arhiv originalu PDF za 5 grudnya 2020 procitovano 3 grudnya 2020 Mammana Maria Flavia Micale Biagio Pennisi Mario 2011 PDF 11 109 119 arhiv originalu PDF za 23 kvitnya 2018 procitovano 3 grudnya 2020 Harries J 2002 Area of a quadrilateral 86 July 310 311 David Fraivert 2017 PDF 17 509 526 arhiv originalu PDF za 5 grudnya 2020 procitovano 3 grudnya 2020 Salkind Charles T 1996 Challenging Problems in Geometry vid second Dover Publications pp 104 105 4 23 Josefsson Martin 2016 Properties of Pythagorean quadrilaterals 100 July 213 224 David Fraivert 2019 23 5 27 arhiv originalu za 23 zhovtnya 2020 procitovano 3 grudnya 2020