Теоре́ма Варіньо́на — чотирикутник, вершини якого збігаються з серединами сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом, сторони якого паралельні до діагоналей вихідного чотирикутника.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxrTDFaaGNtbG5ibTl1WDNSb1pXOXlaVzFmWTI5dWRtVjRMbkJ1Wnk4ek1EQndlQzFXWVhKcFoyNXZibDkwYUdWdmNtVnRYMk52Ym5abGVDNXdibWM9LnBuZw==.png)
Теорема доведена французьким математиком П'єром Варіньоном (1654–1722) і опублікована у 1731 році у його лекційному курсі «Елементи математики» (фр. «Elemens de mathematique»).
Скорочене формулювання:
Середини сторін довільного чотирикутника є вершинами паралелограма.
Паралелограм, утворений серединами сторін, іноді називається варіньонівським, варіньоновим чи паралелограмом Варіньона.
Центр паралелограма Варіньона лежить на середині відрізка, що з'єднує середини сторін вихідного чотирикутника (у цій же точці перетинаються відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін — діагоналі варіньонівського паралелограма).
Площа паралелограма Варіньона дорівнює половині площі вихідного чотирикутника.
Наслідок з теореми: для прямокутника і рівнобедреної трапеції паралелограмом Варіньона є ромб, а для ромба — прямокутник.
Проведемо діагональ AC. Відрізки EF та GH будуть середніми лініями трикутників і . За теоремою про середню лінію, відрізки будуть паралельними до діагоналі, а, значить, і один до одного. Повторивши аналогічні міркування для діагоналі BD, отримуємо, що протилежні сторони чотирикутника EFGH взаємопаралельні, і, за ознаками, це — паралелограм.
Нехай діагональ проходить всередині чотирикутника. Тоді площа трикутника дорівнює , де --- висота трикутника , що опущена з вершини . Аналогічно, площа трикутника дорівнює . Тоді площа всього чотрикутника дорівнює . Але — це сума відстаней до прямої від точок та , тобто є висотою паралелограма . Оскільки сторона паралелограма є удвічі меншою , то і площа паралелограма дорівнює половині площі .
Теорема Варіньона справедлива для всіх видів чотирикутників
опуклий чотирикутник | неопуклий чотирикутник | чотирикутник із сторонами, що перетинаються |
---|---|---|
|
|
|
Примітки
- Elements de mathematique de monsieur Varignon [ 2011-10-18 у Wayback Machine.]. Lille, 1731.
- Coxeter H. S. M. and Greitzer S. L. Quadrangle; Varignon's theorem § 3.1 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 52-54, 1967.
Посилання
- Varignon Parallelogram in Compendium Geometry.(англ.)
- Weisstein, Eric W. Теорема Варіньона від MathWorld. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Teorema Varinona Teore ma Varino na chotirikutnik vershini yakogo zbigayutsya z seredinami storin dovilnogo chotirikutnika ye paralelogramom storoni yakogo paralelni do diagonalej vihidnogo chotirikutnika Ilyustraciya do dovedennya teoremi Varinona Chervonij chotirikutnik paralelogram Teorema dovedena francuzkim matematikom P yerom Varinonom 1654 1722 i opublikovana u 1731 roci u jogo lekcijnomu kursi Elementi matematiki fr Elemens de mathematique Skorochene formulyuvannya Seredini storin dovilnogo chotirikutnika ye vershinami paralelograma Paralelogram utvorenij seredinami storin inodi nazivayetsya varinonivskim varinonovim chi paralelogramom Varinona Centr paralelograma Varinona lezhit na seredini vidrizka sho z yednuye seredini storin vihidnogo chotirikutnika u cij zhe tochci peretinayutsya vidrizki sho z yednuyut seredini protilezhnih storin diagonali varinonivskogo paralelograma Plosha paralelograma Varinona dorivnyuye polovini ploshi vihidnogo chotirikutnika Naslidok z teoremi dlya pryamokutnika i rivnobedrenoyi trapeciyi paralelogramom Varinona ye romb a dlya romba pryamokutnik Dovedennya Provedemo diagonal AC Vidrizki EF ta GH budut serednimi liniyami trikutnikiv ABC displaystyle triangle ABC i ADC displaystyle triangle ADC Za teoremoyu pro serednyu liniyu vidrizki budut paralelnimi do diagonali a znachit i odin do odnogo Povtorivshi analogichni mirkuvannya dlya diagonali BD otrimuyemo sho protilezhni storoni chotirikutnika EFGH vzayemoparalelni i za oznakami ce paralelogram Nehaj diagonal AC displaystyle AC prohodit vseredini chotirikutnika Todi plosha trikutnika ABC displaystyle ABC dorivnyuye AC hb2 displaystyle frac AC cdot h b 2 de hb displaystyle h b visota trikutnika ABC displaystyle ABC sho opushena z vershini B displaystyle B Analogichno plosha trikutnika ADC displaystyle ADC dorivnyuye AC hd2 displaystyle frac AC cdot h d 2 Todi plosha vsogo chotrikutnika dorivnyuye AC hb hd 2 displaystyle frac AC h b h d 2 Ale hb hd 2 hb2 hd2 displaystyle frac h b h d 2 frac h b 2 frac h d 2 ce suma vidstanej do pryamoyi AC displaystyle AC vid tochok E displaystyle E ta H displaystyle H tobto ye visotoyu paralelograma EHGF displaystyle EHGF Oskilki storona GH displaystyle GH paralelograma ye udvichi menshoyu AC displaystyle AC to i plosha paralelograma dorivnyuye polovini ploshi ABCD displaystyle ABCD Teorema Varinona spravedliva dlya vsih vidiv chotirikutnikiv opuklij chotirikutnik neopuklij chotirikutnik chotirikutnik iz storonami sho peretinayutsyaPrimitkiElements de mathematique de monsieur Varignon 2011 10 18 u Wayback Machine Lille 1731 Coxeter H S M and Greitzer S L Quadrangle Varignon s theorem 3 1 in Geometry Revisited Washington DC Math Assoc Amer pp 52 54 1967 PosilannyaVarignon Parallelogram in Compendium Geometry angl Weisstein Eric W Teorema Varinona vid MathWorld angl