Доведення від супротивного (зведення до абсурду, лат. Reductio ad absurdum) — один із поширених методів доведення тверджень в математичній логіці. Доведення від супротивного — вид доведення, при якому доведення деякого твердження відбувається через спростування заперечення цього твердження — антитезису. Метод ґрунтується на правильності формули в численні висловлень та законі подвійного заперечення. Це приклад слабшого логічного спростування — доведення до абсурду.
Припускаємо, що A є істинним твердженням, і доводимо, що, по-перше, з A виводиться B, а по-друге, що з A виводиться ¬B, що неможливо; отже, A хибне, тобто істинне ¬A.
Ґодфрі Гарольд Гарді назвав доведення від супротивного, найкращою зброєю для математиків.
Схема доведення
Доведення твердження проводиться наступним чином. Спочатку приймають припущення, що твердження
невірне, а потім доводять, що при такому припущенні було б вірним деяке твердження
, яке завчасно невірне. Отримане протиріччя показує, що початкове твердження було невірним, і тому вірним є твердження
, яке по закону подвійного заперечення дорівнює твердженню
.
В інтуїтивній логіці закон виключно третього не діє, тому такі доведення в ній не приймаються.
Приклад
Доведення ірраціональності числа
.
Припустимо супротивне: раціональне, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу
, де
— ціле число, а
— натуральне. Піднесемо отриману рівність в квадрат:
, звідки
.
Звідси витікає, що парне, значить, парне і
; звідси
ділиться на 4, а значить,
і
теж парні. Отримане твердження суперечить нескоротності дробу
. Значить початкове твердження було вірним (
— ірраціональне число).
Довжина гіпотенузи
Метод від супротивного також використовується, щоб показати, що для будь-якого невиродженого прямокутного трикутника, довжина гіпотенузи менше, ніж сума довжин двох інших. Доказ спирається на теорему Піфагора. Припустимо c є довжиною гіпотенузи і a і b довжини ребер, твердження в тому, що a+b>c.
Заперечимо це твердження припустивши, що a+b≤c. Піднесемо обидві частини нерівності в квадрат(a + b)2 ≤ c2. Маємо a2 + 2ab + b2 ≤ c2. Трикутник є невиродженим, якщо кожне ребро має додатню довжину, тому можна вважати, що a і b більше 0. Таким чином a2 + b2 < a2 + 2ab + b2 ≤ c2. Транзитивне відношення може бути зведене до a2 + b2 < c2. Як відомо з теореми Піфагора, що a2 + b2 = c2. Це призводить до протиріччя, так як нерівність строга і рівності є взаємовиключними.
Не існує найменшого раціонального числа
Розглянемо твердження, P: «немає найменшого раціонального числа більше 0». Доводячи від супротивного припустимо зворотне, ¬P: що є найменше раціональне число, скажімо, r.
Тепер r/2 є раціональним числом більше 0 і менше, ніж r. Але це суперечить нашому початковому припущенню: ¬P, що r було найменшим раціональним числом. Таким чином, ми можемо зробити висновок, що початкове положення, P, має бути правдою — «немає найменшого раціонального числа більше 0».
Інші приклади
Лікар, переконуючи пацієнта в тому, що той не хворий на грип, може розмірковувати наступним чином: "Якби ви дійсно були хворі грипом, то у вас би була підвищена температура, була б нежить і т. д. Але нічого з цього немає. Відповідно, пацієнт не хворий на грип.
В математичній логіці
В математичній логіці метод від супротивного представляється так: Якщо тоді
Або, якщо
тоді
У наведеному вище тексті P це припущення, яке ми хочемо довести, і S являє собою набір операторів, наприклад, аксіоми теорії в якій ми працюємо, або більш ранні теореми на яких ми можемо побудувати доведення. Ми розглядаємо P, або заперечення Р, на додаток до S; якщо це призводить до логічного протиріччя F, то можна зробити висновок, що припущення в S призводять до заперечення Р або самої Р відповідно.
Зверніть увагу, що теоретико-множинне об'єднання, в деяких контекстах тісно пов'язані з логічною диз'юнкцією (або).
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dovedennya vid suprotivnogo zvedennya do absurdu lat Reductio ad absurdum odin iz poshirenih metodiv dovedennya tverdzhen v matematichnij logici Dovedennya vid suprotivnogo vid dovedennya pri yakomu dovedennya deyakogo tverdzhennya vidbuvayetsya cherez sprostuvannya zaperechennya cogo tverdzhennya antitezisu Metod gruntuyetsya na pravilnosti formuli A B B A displaystyle A Rightarrow B land neg B Rightarrow neg A v chislenni vislovlen ta zakoni podvijnogo zaperechennya Ce priklad slabshogo logichnogo sprostuvannya dovedennya do absurdu Pripuskayemo sho A ye istinnim tverdzhennyam i dovodimo sho po pershe z A vivoditsya B a po druge sho z A vivoditsya B sho nemozhlivo otzhe A hibne tobto istinne A Godfri Garold Gardi nazvav dovedennya vid suprotivnogo najkrashoyu zbroyeyu dlya matematikiv Shema dovedennyaDovedennya tverdzhennya A displaystyle A provoditsya nastupnim chinom Spochatku prijmayut pripushennya sho tverdzhennyaA displaystyle A nevirne a potim dovodyat sho pri takomu pripushenni bulo b virnim deyake tverdzhennya B displaystyle B yake zavchasno nevirne Otrimane protirichchya pokazuye sho pochatkove tverdzhennya bulo nevirnim i tomu virnim ye tverdzhennya A displaystyle urcorner urcorner A yake po zakonu podvijnogo zaperechennya dorivnyuye tverdzhennyu A displaystyle A V intuyitivnij logici zakon viklyuchno tretogo ne diye tomu taki dovedennya v nij ne prijmayutsya PrikladDovedennya irracionalnosti chisla 2 displaystyle sqrt 2 Pripustimo suprotivne 2 displaystyle sqrt 2 racionalne tobto predstavlyayetsya u viglyadi neskorotnogo drobu m n displaystyle frac m n de m displaystyle m cile chislo a n displaystyle n naturalne Pidnesemo otrimanu rivnist v kvadrat 2 m n displaystyle sqrt 2 frac m n displaystyle Rightarrow 2 m 2 n 2 displaystyle 2 frac m 2 n 2 zvidki m 2 2 n 2 displaystyle m 2 2n 2 Zvidsi vitikaye sho m 2 displaystyle m 2 parne znachit parne i m displaystyle m zvidsi m 2 displaystyle m 2 dilitsya na 4 a znachit n 2 displaystyle n 2 i n displaystyle n tezh parni Otrimane tverdzhennya superechit neskorotnosti drobu m n displaystyle frac m n Znachit pochatkove tverdzhennya bulo virnim 2 displaystyle sqrt 2 irracionalne chislo Dovzhina gipotenuzi Metod vid suprotivnogo takozh vikoristovuyetsya shob pokazati sho dlya bud yakogo nevirodzhenogo pryamokutnogo trikutnika dovzhina gipotenuzi menshe nizh suma dovzhin dvoh inshih Dokaz spirayetsya na teoremu Pifagora Pripustimo c ye dovzhinoyu gipotenuzi i a i b dovzhini reber tverdzhennya v tomu sho a b gt c Zaperechimo ce tverdzhennya pripustivshi sho a b c Pidnesemo obidvi chastini nerivnosti v kvadrat a b 2 c2 Mayemo a2 2ab b2 c2 Trikutnik ye nevirodzhenim yaksho kozhne rebro maye dodatnyu dovzhinu tomu mozhna vvazhati sho a i b bilshe 0 Takim chinom a2 b2 lt a2 2ab b2 c2 Tranzitivne vidnoshennya mozhe buti zvedene do a2 b2 lt c2 Yak vidomo z teoremi Pifagora sho a2 b2 c2 Ce prizvodit do protirichchya tak yak nerivnist stroga i rivnosti ye vzayemoviklyuchnimi Ne isnuye najmenshogo racionalnogo chisla Rozglyanemo tverdzhennya P nemaye najmenshogo racionalnogo chisla bilshe 0 Dovodyachi vid suprotivnogo pripustimo zvorotne P sho ye najmenshe racionalne chislo skazhimo r Teper r 2 ye racionalnim chislom bilshe 0 i menshe nizh r Ale ce superechit nashomu pochatkovomu pripushennyu P sho r bulo najmenshim racionalnim chislom Takim chinom mi mozhemo zrobiti visnovok sho pochatkove polozhennya P maye buti pravdoyu nemaye najmenshogo racionalnogo chisla bilshe 0 Inshi prikladi Likar perekonuyuchi paciyenta v tomu sho toj ne hvorij na grip mozhe rozmirkovuvati nastupnim chinom Yakbi vi dijsno buli hvori gripom to u vas bi bula pidvishena temperatura bula b nezhit i t d Ale nichogo z cogo nemaye Vidpovidno paciyent ne hvorij na grip V matematichnij logiciV matematichnij logici metod vid suprotivnogo predstavlyayetsya tak Yaksho S P F displaystyle S cup P vdash mathbb F todi S P displaystyle S vdash neg P Abo yaksho S P F displaystyle S cup neg P vdash mathbb F todi S P displaystyle S vdash P U navedenomu vishe teksti P ce pripushennya yake mi hochemo dovesti i S yavlyaye soboyu nabir operatoriv napriklad aksiomi teoriyi v yakij mi pracyuyemo abo bilsh ranni teoremi na yakih mi mozhemo pobuduvati dovedennya Mi rozglyadayemo P abo zaperechennya R na dodatok do S yaksho ce prizvodit do logichnogo protirichchya F to mozhna zrobiti visnovok sho pripushennya v S prizvodyat do zaperechennya R abo samoyi R vidpovidno Zvernit uvagu sho teoretiko mnozhinne ob yednannya v deyakih kontekstah tisno pov yazani z logichnoyu diz yunkciyeyu abo Div takozhPortal Matematika Dovedennya teorem Dedukciya indukciya