Теорема Морлі про трисектриси трикутника — одна з найдивовижніших теорем .
Теорема стверджує:
|
На кресленні праворуч три різнокольорових кута при кожній вершині великого трикутника рівні між собою. Теорема стверджує, що незалежно від вибору великого трикутника, маленький фіолетовий трикутник буде рівностороннім.
Теорема Морлі не виконується в сферичній і гіперболічній геометрії.
Терема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника
Теорема також справедлива для зовнішніх кутів трикутника:
|
Крім того продовження трисектрис внутрішніх кутів також перетинаються з суміжними трисектрисами зовнішніх кутів у вершинах цих трикутників.
Історія
Теорема була відкрита в 1904 ([en]). Тоді він розповів про неї друзям з Кембриджського університету , а опублікував її в 1924 році, коли він був у Японії. . За цей час вона була незалежно опублікована як задача в часописі «Educational Times».
Доведення
Існує багато способів доведення теореми Морлі, деякі з яких дуже технічні.
Кілька ранніх доказів ґрунтувалися на тригонометричних розрахунках. До останніх доказів теореми належать алгебраїчний доказ Алена Конна (1998, 2004), який поширює теорему на загальні поля, окрім тих що мають характеристику три, і елементарний геометричний доказ Джона Конвея . Останній починається з рівностороннього трикутника і показує, що навколо нього можна побудувати трикутник, подібний до будь-якого обраного трикутника.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Для доведення використаємо тригонометричну тотожність:
-
(
)
-
Точки побудовані на стороні як показано на малюнку.
Сума внутрішніх кутів трикутника = 180o, а значить:,
Отже,
Кути трикутника дорівнюють: та
З прямокутних трикутників, маємо:
-
(
)
-
-
(
)
-
Далі:
аналогічно і
-
(
)
-
Застосовуємо теорему синусів для трикутників та :
-
(
)
-
-
(
)
-
Висоту трикутника знаходимо двома способами:
та
Підставляємо замість синусів їх значення з рівнянь (2) та (5) , а також (3) та (6). Отримуємо:
та
Оскільки чисельники в обох виразах рівні, то:
або:
Оскільки , а сторони, що утворюють ці кути, знаходяться в однаковому співвідношенні, то трикутники та подібні. Відповідні кути та рівніl , а кути та рівні Рівні також і відповідні кути при основі трикутників та Зокрема і з малюнка можемо бачити, що:
Підставляємо їх значення (кут беремо з рівняння (4)):
Звідки отримуємо:
- Аналогічно знаходимо, що і іншу кути трикутника рівні Теорему доведено.
Трикутники Морлі
Теорема Морлі містить 18 спеціальних трикутників (рівносторонніх і різносторонніх), які виникають при перетині трисектрис трикутника.
Правильний трикутник, описаний вище в теоремі про трисектриси внутрішніх кутів, називається першим трикутником Морлі, і має довжину сторони:
та площу:
де R - радіус описаного кола початкового трикутника, а A, B та C - його внутрішні кути.
З першим трикутником Морлі також пов'язані дві чудові точки трикутника - перша та друга [en], які в Енциклопедії центрів трикутника ETC Кларка Кімберлінга мають номери X(356) та X(357).
Див. також
- Трисекція кута — задача про побудову трисектрис кута за допомогою циркуля та лінійки
- Трисектриса
Примітки
- Morley's Theorem in Spherical Geometry.
- A. Wells, D., 1991, с. 155.
- Weisstein, Eric W. Morley's Theorem. MathWorld (англ.) .
- Alfred S. Posamentier (2003). Math Wonders to Inspire Teachers and Students (PDF) (англ.) . Alexandria, Virginia USA: Association for Supervision and Curriculum Development. с. 146. ISBN .
- [en]. Morley's Miracle. — Cut-the-knot.
- [en]. J. Conway's proof. — Cut-the-knot.
- Conway John. The Power of Mathematics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 36–50. — .
- Weisstein, Eric W. First Morley Triangle. MathWorld (англ) .
- Weisstein, Eric W. Second Morley Triangle. MathWorld (англ) .
- Weisstein, Eric W. Third Morley Triangle. MathWorld (англ.) .
- Clark Kimberling. ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS. faculty.evansville.edu (англ.) .
- Kimberling, Clark. 1st and 2nd Morley centers.
Джерела
- H. S. M. Coxeter, Samuel L.Greitzer. ""Morley's Theorem." §2.9 in Geometry Revisited.. — Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1967. — Т. 19. — С. 193: 47-50 (англ.).
- Wells, D. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry". — London: Penguin, 1991. — С. 154-155. — .
- Child, J. M. "Proof of Morley's Theorem.". — Math. Gaz., 1923. — № 11. — С. 171 (англ.).
- Taylor, F. G. and Marr, W. L. "The six trisectors of each of the angles of a triangle" // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1913–14. — № 33. — С. 119–131 (англ). — DOI: .
Посилання
- Weisstein, Eric W. Morley's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Morley's Trisection Theorem на MathPages
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Morli pro trisektrisi trikutnika odna z najdivovizhnishih teorem Trikutnik Morleya Teorema stverdzhuye Tochki peretinu sumizhnih trisektris vnutrishnih kutiv dovilnogo trikutnika ye vershinami rivnostoronnogo trikutnika Na kreslenni pravoruch tri riznokolorovih kuta pri kozhnij vershini velikogo trikutnika rivni mizh soboyu Teorema stverdzhuye sho nezalezhno vid viboru velikogo trikutnika malenkij fioletovij trikutnik bude rivnostoronnim Teorema Morli ne vikonuyetsya v sferichnij i giperbolichnij geometriyi Terema Morli dlya trisektris zovnishnih kutiv trikutnikaTeorema Morli dlya trisektris zovnishnih kutiv trikutnika Teorema takozh spravedliva dlya zovnishnih kutiv trikutnika stor 155 Tochki peretinu sumizhnih trisektris zovnishnih kutiv dovilnogo trikutnika ye vershinami rivnostoronnih trikutnikiv Krim togo prodovzhennya trisektris vnutrishnih kutiv takozh peretinayutsya z sumizhnimi trisektrisami zovnishnih kutiv u vershinah cih trikutnikiv IstoriyaTeorema bula vidkrita v 1904 en Todi vin rozpoviv pro neyi druzyam z Kembridzhskogo universitetu a opublikuvav yiyi v 1924 roci koli vin buv u Yaponiyi Za cej chas vona bula nezalezhno opublikovana yak zadacha v chasopisi Educational Times DovedennyaDovedennya teoremi Morli Isnuye bagato sposobiv dovedennya teoremi Morli deyaki z yakih duzhe tehnichni Kilka rannih dokaziv gruntuvalisya na trigonometrichnih rozrahunkah Do ostannih dokaziv teoremi nalezhat algebrayichnij dokaz Alena Konna 1998 2004 yakij poshiryuye teoremu na zagalni polya okrim tih sho mayut harakteristiku tri i elementarnij geometrichnij dokaz Dzhona Konveya Ostannij pochinayetsya z rivnostoronnogo trikutnika i pokazuye sho navkolo nogo mozhna pobuduvati trikutnik podibnij do bud yakogo obranogo trikutnika dd Dovedennya Dlya dovedennya vikoristayemo trigonometrichnu totozhnist sin 3f 4sin f sin 60 f sin 120 f displaystyle sin 3 varphi 4 sin varphi cdot sin 60 circ varphi cdot sin 120 circ varphi 1 dd Tochki D E F displaystyle D E F pobudovani na storoni BC displaystyle BC yak pokazano na malyunku Suma vnutrishnih kutiv trikutnika 180o a znachit 3a 3b 3g 180 displaystyle 3 alpha 3 beta 3 gamma 180 circ Otzhe a b g 60 displaystyle alpha beta gamma 60 circ Kuti trikutnika XEF displaystyle XEF dorivnyuyut a 60 b displaystyle alpha 60 circ beta ta 60 g displaystyle 60 circ gamma Z pryamokutnih trikutnikiv mayemo sin 60 b DXXE displaystyle sin 60 circ beta frac DX XE 2 dd a takozh sin 60 g DXXF displaystyle sin 60 circ gamma frac DX XF 3 dd Dali AYC 180 a g 120 b displaystyle angle AYC 180 circ alpha gamma 120 circ beta dd analogichno i AZB 120 g displaystyle angle AZB 120 circ gamma 4 dd Zastosovuyemo teoremu sinusiv dlya trikutnikiv AYC displaystyle AYC ta AZB displaystyle AZB sin 120 b ACAYsin g displaystyle sin 120 circ beta frac AC AY sin gamma 5 dd sin 120 g ABAZsin b displaystyle sin 120 circ gamma frac AB AZ sin beta 6 dd Visotu trikutnika ABC displaystyle ABC znahodimo dvoma sposobami h AB sin 3b AB 4sin bsin 60 b sin 120 b displaystyle h AB cdot sin 3 beta AB cdot 4 sin beta sin 60 circ beta sin 120 circ beta ta h AC sin 3g AC 4sin gsin 60 g sin 120 g displaystyle h AC cdot sin 3 gamma AC cdot 4 sin gamma sin 60 circ gamma sin 120 circ gamma Pidstavlyayemo zamist sinusiv yih znachennya z rivnyan 2 ta 5 a takozh 3 ta 6 Otrimuyemo h 4AB sin b DXXE ACAY sin g displaystyle h 4AB cdot sin beta cdot frac DX XE cdot frac AC AY cdot sin gamma ta h 4AC sin g DXXF ABAZ sin b displaystyle h 4AC cdot sin gamma cdot frac DX XF cdot frac AB AZ cdot sin beta Oskilki chiselniki v oboh virazah rivni to XE AY XF AZ displaystyle XE cdot AY XF cdot AZ abo XEXF AZAY displaystyle frac XE XF frac AZ AY Oskilki EXF ZAY displaystyle measuredangle EXF measuredangle ZAY a storoni sho utvoryuyut ci kuti znahodyatsya v odnakovomu spivvidnoshenni to trikutniki XEF displaystyle XEF ta AZY displaystyle AZY podibni Vidpovidni kuti AYZ displaystyle measuredangle AYZ ta XFE displaystyle measuredangle XFE rivnil 60 g displaystyle 60 circ gamma a kuti AZY displaystyle measuredangle AZY ta XEF displaystyle measuredangle XEF rivni 60 b displaystyle 60 circ beta Rivni takozh i vidpovidni kuti pri osnovi trikutnikiv BXZ displaystyle BXZ ta CYX displaystyle CYX Zokrema BZX 60 a displaystyle measuredangle BZX 60 circ alpha i z malyunka mozhemo bachiti sho AZY AZB BZX XZY 360 displaystyle angle AZY angle AZB angle BZX angle XZY 360 circ Pidstavlyayemo yih znachennya kut AZB displaystyle AZB beremo z rivnyannya 4 60 b 120 g 60 a XZY 360 displaystyle 60 circ beta 120 circ gamma 60 circ alpha angle XZY 360 circ Zvidki otrimuyemo XZY 60 displaystyle angle XZY 60 circ Analogichno znahodimo sho i inshu kuti trikutnika XYZ displaystyle XYZ rivni 60 displaystyle 60 circ Teoremu dovedeno Trikutniki MorliTeorema Morli mistit 18 specialnih trikutnikiv rivnostoronnih i riznostoronnih yaki vinikayut pri peretini trisektris trikutnika Pravilnij trikutnik opisanij vishe v teoremi pro trisektrisi vnutrishnih kutiv nazivayetsya pershim trikutnikom Morli i maye dovzhinu storoni a 8Rsin A 3 sin B 3 sin C 3 displaystyle a prime 8R sin A 3 sin B 3 sin C 3 ta ploshu S 34a 2 163R2sin2 A 3 sin2 B 3 sin2 C 3 displaystyle S tfrac sqrt 3 4 a 2 16 sqrt 3 R 2 sin 2 A 3 sin 2 B 3 sin 2 C 3 de R radius opisanogo kola pochatkovogo trikutnika a A B ta C jogo vnutrishni kuti Z pershim trikutnikom Morli takozh pov yazani dvi chudovi tochki trikutnika persha ta druga en yaki v Enciklopediyi centriv trikutnika ETC Klarka Kimberlinga mayut nomeri X 356 ta X 357 Div takozhTrisekciya kuta zadacha pro pobudovu trisektris kuta za dopomogoyu cirkulya ta linijki TrisektrisaPrimitkiMorley s Theorem in Spherical Geometry A Wells D 1991 s 155 Weisstein Eric W Morley s Theorem MathWorld angl Alfred S Posamentier 2003 Math Wonders to Inspire Teachers and Students PDF angl Alexandria Virginia USA Association for Supervision and Curriculum Development s 146 ISBN 0 87120 775 3 en Morley s Miracle Cut the knot en J Conway s proof Cut the knot Conway John The Power of Mathematics Cambridge University Press 2006 S 36 50 ISBN 978 0 521 82377 7 Weisstein Eric W First Morley Triangle MathWorld angl Weisstein Eric W Second Morley Triangle MathWorld angl Weisstein Eric W Third Morley Triangle MathWorld angl Clark Kimberling ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS faculty evansville edu angl Kimberling Clark 1st and 2nd Morley centers DzherelaH S M Coxeter Samuel L Greitzer Morley s Theorem 2 9 in Geometry Revisited Washington DC Math Assoc Amer 1967 T 19 S 193 47 50 angl Wells D The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry London Penguin 1991 S 154 155 ISBN 0 14 011813 6 Child J M Proof of Morley s Theorem Math Gaz 1923 11 S 171 angl Taylor F G and Marr W L The six trisectors of each of the angles of a triangle Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 1913 14 33 S 119 131 angl DOI 10 1017 S0013091500035100 PosilannyaWeisstein Eric W Morley s Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld Morley s Trisection Theorem na MathPages