Трикутник Герона

Геронів трикутник — трикутник, сторони і площа якого є цілими числами. Геронові трикутники названі на честь грецького математика Герона. Термін іноді розуміється дещо ширше і поширюється на трикутники, що мають раціональні сторони і площу.

Властивості

Всі прямокутні трикутники, сторони яких утворюють піфагорові трійки, є героновими, оскільки сторони їх за визначенням цілочислені, а площа теж цілочислена, оскільки є половиною твори множення, один з яких обов'язково має парну довжину.

Трикутник зі сторонами c, e і b + d, і висотою a.

В якості прикладу геронова трикутника, який не має прямого кута, можна навести рівнобедрений трикутник зі сторонами 5, 5 і 6, площа якого дорівнює 12. Цей трикутник виходить шляхом об'єднання двох прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5 уздовж сторони завдовжки 4. Цей підхід працює і в загальному випадку, як показано на малюнку справа. Береться піфагорова трійка (a, b, c), де c — найбільша сторона, потім інша трійка (a, d, e), в якій найбільшою стороною буде e, будуються трикутники за заданими довжинами сторін і об'єднуються вздовж сторони з довжиною a, одержуючи трикутник зі сторонами c, e і b + d і площею

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a}$ (половина добутку основи на висоту).

Якщо a парна, то площа буде цілим числом. Менш очевидний випадок, коли a непарна, але і в цьому випадку A залишається цілим, оскільки сторони b і d повинні бути парними числами, а отже, і b+d буде парним теж.

Деякі геронові трикутники неможливо отримати об'єднанням прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами методом, описаним вище. Так, наприклад, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 і площею 72 не можна отримати з двох піфагорових трикутників, оскільки жодна з його вершин не є цілим числом. Не можна також побудувати примітивний піфагорів трикутник з двох менших піфагорових трикутників. Такі геронові трикутники називаються нерозкладними. Однак, якщо дозволити піфагорові трійки з раціональними значеннями, відмовившись від цілочисленості, то розбиття на два прямокутних трикутника з раціональними сторонами завжди існує, оскільки всі висоти геронова трикутника є раціональними числами (оскільки висота дорівнює подвоєній площі, діленій на основу, і обидва ці числа є цілими). Так, геронів трикутник зі сторонами 5, 29, 30 можна отримати з раціональних піфагорових трикутників зі сторонами 7/5, 24/5, 5 і 143/5, 24/5, 29. Зауважимо, що раціональні піфагорові трійки є просто версіями цілочисельних піфагорових трійок, поділених на ціле число.

Точна формула для геронових трикутників

Будь-який геронів трикутник має сторони, пропорційні значенням

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

Півпериметр ${\displaystyle =s=(a+b+c)/2=mn(m+n)}$

Площа ${\displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

Радіус вписаного кола ${\displaystyle =k(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-a=n(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})}$

${\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}}$

для цілих m, n і k, де

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$.

Коефіцієнт пропорційності в загальному випадку є раціональним числом ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, де ${\displaystyle q=\gcd {(a,b,c)}}$ приводить отриманий геронів трикутник до примітивного, а ${\displaystyle p}$ розтягує його до необхідних розмірів. Наприклад, взявши m = 36, n = 4 і k = 3, отримаємо трикутник зі сторонами a = 5220, b = 900 і c = 5400, який подібний геронову трикутнику 5, 29, 30, і коефіцієнт пропорційності має чисельник p = 1 і знаменник q = 180.

Оскільки площа правильного трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, ніякий рівносторонній трикутник не може бути героновим. Однак існує послідовність геронових трикутників, які «майже правильні», оскільки їх сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Кілька перших прикладів цих майже рівносторонніх трикутників перераховані в таблиці нижче (послідовність A003500 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Приклади

Список примітивних цілочисельних геронових трикутників, відсортований по площі і, в разі рівності площ, по периметру. «Примітивний» означає, що найбільший загальний дільник трьох довжин сторін дорівнює 1.

Площа	Периметр	Довжина сторін
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Порівнянні трикутники

Фігура називається порівняною, якщо площа дорівнює периметру. Є рівно п'ять порівнянних геронових трикутників — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17)

Майже рівносторонні геронові трикутники

Оскільки площа рівностороннього трикутника з раціональними сторонами є ірраціональним числом, жоден рівносторонній трикутник не є трикутником Герона. Однак послідовність рівнобедрених трикутників Герона, які є «майже рівносторонніми», можна сконструювати подвоєнням прямокутних трикутників, у яких гіпотенуза майже удвічі довша за один із катетів. Перші кілька прикладів цих майже рівносторонніх трикутників наведено в наступній таблиці (послідовність A102341 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

Довжина сторони			Площа
a	b=a	c
5	5	6	12
17	17	16	120
65	65	66	1848
241	241	240	25080
901	901	902	351780
3361	3361	3360	4890480
12545	12545	12546	68149872
46817	46817	46816	949077360

Існує унікальна послідовність трикутників Герона, які є «майже рівносторонніми», у яких три сторони мають вигляд n − 1, n, n + 1. Перші кілька прикладів цих майже рівносторонніх трикутників наведено в наступній таблиці (послідовність A003500 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

Довжина сторони			Площа	Радіус вписаного кола
n − 1	n	n + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Наступне значення для n можна знайти, помноживши попереднє на 4, а потім віднявши значення, яке йому передує (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, і т. д.). Таким чином,

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}}$,

де t означає номер рядка в таблиці. Ця послідовність є послідовністю Люка. Можна також отримати цю послідовність за формулою ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$ для всіх n. Якщо покласти A = площа, а y = радіус вписаного кола, то

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$,

де {n, y} є рішеннями рівняння n² − 12y² = 4. Невелика підстановка n = 2x дає відоме рівняння Пелля x² − 3y² = 1, рішення якого можна отримати з розкладання √3 в безперервний дріб.

Змінна n має вигляд ${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$, де k дорівнює 7, 97, 1351, 18817, …. Числа в цій послідовності мають властивість, що k послідовних цілих мають цілочисельне середньоквадратичне відхилення.

Див. також

• Прямокутний трикутник
• Трикутник

Примітки

1. Carlson, 1970, с. 499—506.
2. Beauregard, Suryanarayan, 1998, с. 13—17.
3. Eric W. Weisstein. Heronian Triangle.
4. Yiu, 2008, с. 17.
5. Sierpiński, 2003.
6. Carmichael, 1959, с. 11—13.
7. Dickson, 2005, с. 199.
8. Markowitz, 1981, с. 222—3.
9. Richardson, 2007.
10. Online Encyclopedia of Integer Sequences,  A011943.

Посилання

• John R. Carlson. Determination of Heronian Triangles // Fibonacci Quarterly. — 1970. — Т. 8 (29 червня).
• R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publications, Inc., 1959. — 29 червня. — С. 1914, Diophantine Analysis.
• Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. The Brahmagupta Triangles // College Math Journal. — 1998. — Т. 29, вип. 1 January (29 червня). — DOI:10.2307/2687630.
• Leonard Eugene Dickson. ,. — Dover Publications, 2005. — Т. Il: Diophantine Analysis. — .
• L. Markowitz. Area = Perimeter // The Mathematics Teacher. — 1981. — Т. 74, вип. 3 (29 червня). — С. 222—3.
• William H. Richardson. Super-Heronian Triangles. — 2007. — 29 червня.
• Wacław Sierpiński. Pythagorean Triangles. — Переиздание книги 1962 года. — Dover Publications, Inc, 2003. — .
• Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008. — 29 червня.
• Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
• Wm. Fitch Cheney, Jr. Heronian Triangles // Am. Math. Monthly. — 1929. — Т. 36, вип. 1 January (29 червня). — С. 22—28.
• S. sh. Kozhegel'dinov. On fundamental Heronian triangles // Math. Notes. — 1994. — Т. 55, вип. 2 (29 червня). — С. 151—6. — DOI:10.1007/BF02113294.