Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Теорема тангенсів — тригонометричне твердження, що описує властивості довільного трикутника на площині.
Теорема тангенсів, хоча й не настільки широко відома як теорема синусів або теорема косинусів, достатньо корисна, і може бути використана в тих випадках, коли відомі дві сторони і один кут, або, навпаки, два кути й одна сторона.
Формулювання
Нехай відомі дві сторони a і b довільного трикутника і протилежні їм кути A і B, тоді теорема тангенсів стверджує, що
Доведення
Почнемо із (a + b)/(a — b). ((sin A)/a = (sin B)/b із теореми синусів):
![image]()
- (Дивись: Тригонометричні функції)
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\sin(A)+\sin(B)}{\sin(A)-\sin(B)}}={\frac {2\sin[{\frac {1}{2}}(A+B)]\cdot \cos[{\frac {1}{2}}(A-B)]}{2\cos[{\frac {1}{2}}(A+B)]\cdot \sin[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTNhV3RwYldWa2FXRXViM0puTDJGd2FTOXlaWE4wWDNZeEwyMWxaR2xoTDIxaGRHZ3ZjbVZ1WkdWeUwzTjJaeTgwWkRCa016YzRZalkxTnpBMlpEQTJPVFppTkRCaVpXWmxOV1JsTlRSaE5ERmhZekF6TW1ObS5zdmc=.svg)
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\sin[{\frac {1}{2}}(A+B)]}{\cos[{\frac {1}{2}}(A+B)]}}\cdot {\frac {\cos[{\frac {1}{2}}(A-B)]}{\sin[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTNhV3RwYldWa2FXRXViM0puTDJGd2FTOXlaWE4wWDNZeEwyMWxaR2xoTDIxaGRHZ3ZjbVZ1WkdWeUwzTjJaeTgyTTJGaE1UWTBOelkyTlRNeU5XRXlZakl5TTJReU5HRmhNRGs0TkRGak9ESTFNekUzWVdJdy5zdmc=.svg)
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(A+B)]}{\tan[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTNhV3RwYldWa2FXRXViM0puTDJGd2FTOXlaWE4wWDNZeEwyMWxaR2xoTDIxaGRHZ3ZjbVZ1WkdWeUwzTjJaeTlrWXpOaE9XVmhZbVZrWlRaalpXTmxZakUzTm1FMU9EYzFOR05tTmpVMU4ySTBObVkzWXpOai5zdmc=.svg)
Доведення з використанням формул Мольвейде
Формули Мольвейде мають такий вигляд:
де 
— значення кутів при відповідних вершинах трикутника і 
— довжини сторін відповідно між вершинами 
і 
, і 
, і .
Поділивши порізно праві і ліві частини двох останніх рівностей і прирівнявши два отриманих результати, маємо
З урахуванням того, що 
, остаточно маємо:
що й потрібно було довести.
Історія
Теорему тангенсів для сферичних кутів описав у XIII столітті перським математиком Насир ад-Дін ат-Тусі (1201—1274), який у своїй п'ятитомній роботі Трактат про повний чотирикутник також навів теорему синусів для плоских трикутників.
Теорему також називають формулою Реґіомонтана за ім'ям німецького астронома й математика Йоганна Мюллера (лат. Regiomontanus), який отримав цю формулу. Й. Мюллера називали «Кенігсбержцем»: німецькою König [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.] — король, Berg [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.] — гора, а латинською «король» і «гора» в родовому відмінку — regis і montis [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.]. Звідси «Реґіомонтан» — латинізоване прізвисько Й. Мюллера.
Див. також
Примітки
- Marie-Thérèse Debarnot. Trigonometry // [1] / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — С. 182. — . з джерела 30 грудня 2021
- Q. Mushtaq, J. L. Berggren. Trigonometry // [2] / Bosworth C. E., Asimov M. S. — Motilal Banarsidass Publ., 2002. — С. 190. — . з джерела 30 грудня 2021
- О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema tangensiv trigonometrichne tverdzhennya sho opisuye vlastivosti dovilnogo trikutnika na ploshini Teorema tangensiv hocha j ne nastilki shiroko vidoma yak teorema sinusiv abo teorema kosinusiv dostatno korisna i mozhe buti vikoristana v tih vipadkah koli vidomi dvi storoni i odin kut abo navpaki dva kuti j odna storona FormulyuvannyaNehaj vidomi dvi storoni a i b dovilnogo trikutnika i protilezhni yim kuti A i B todi teorema tangensiv stverdzhuye sho a b a b t g 1 2 A B t g 1 2 A B displaystyle frac a b a b frac mathrm tg frac 1 2 A B mathrm tg frac 1 2 A B DovedennyaPochnemo iz a b a b sin A a sin B b iz teoremi sinusiv a b a b a sin A a b sin B b a sin A a b sin B b displaystyle frac a b a b frac a cdot frac sin A a b cdot frac sin B b a cdot frac sin A a b cdot frac sin B b a b a b sin A sin B sin A sin B 2 sin 1 2 A B cos 1 2 A B 2 cos 1 2 A B sin 1 2 A B displaystyle frac a b a b frac sin A sin B sin A sin B frac 2 sin frac 1 2 A B cdot cos frac 1 2 A B 2 cos frac 1 2 A B cdot sin frac 1 2 A B Divis Trigonometrichni funkciyi dd a b a b sin 1 2 A B cos 1 2 A B cos 1 2 A B sin 1 2 A B displaystyle frac a b a b frac sin frac 1 2 A B cos frac 1 2 A B cdot frac cos frac 1 2 A B sin frac 1 2 A B a b a b tan 1 2 A B tan 1 2 A B displaystyle frac a b a b frac tan frac 1 2 A B tan frac 1 2 A B Dovedennya z vikoristannyam formul MolvejdeFormuli Molvejde mayut takij viglyad a b c cos A B 2 sin C 2 displaystyle frac a b c frac operatorname cos frac A B 2 operatorname sin frac C 2 a b c sin A B 2 cos C 2 displaystyle frac a b c frac operatorname sin frac A B 2 operatorname cos frac C 2 de A B C displaystyle A B C znachennya kutiv pri vidpovidnih vershinah trikutnika i a b c displaystyle a b c dovzhini storin vidpovidno mizh vershinami B displaystyle B i C displaystyle C C displaystyle C i A displaystyle A A displaystyle A i B displaystyle B Podilivshi porizno pravi i livi chastini dvoh ostannih rivnostej i pririvnyavshi dva otrimanih rezultati mayemo a b a b c t g C 2 t g A B 2 displaystyle frac a b a b frac mathrm ctg frac C 2 mathrm tg frac A B 2 Z urahuvannyam togo sho c t g C 2 c t g p A B 2 t g A B 2 displaystyle mathrm ctg frac C 2 mathrm ctg frac pi A B 2 mathrm tg frac A B 2 ostatochno mayemo a b a b t g A B 2 t g A B 2 displaystyle frac a b a b frac mathrm tg frac A B 2 mathrm tg frac A B 2 sho j potribno bulo dovesti IstoriyaTeoremu tangensiv dlya sferichnih kutiv opisav u XIII stolitti perskim matematikom Nasir ad Din at Tusi 1201 1274 yakij u svoyij p yatitomnij roboti Traktat pro povnij chotirikutnik takozh naviv teoremu sinusiv dlya ploskih trikutnikiv Teoremu takozh nazivayut formuloyu Regiomontana za im yam nimeckogo astronoma j matematika Joganna Myullera lat Regiomontanus yakij otrimav cyu formulu J Myullera nazivali Kenigsberzhcem nimeckoyu Konig Arhivovano 30 grudnya 2021 u Wayback Machine korol Berg Arhivovano 30 grudnya 2021 u Wayback Machine gora a latinskoyu korol i gora v rodovomu vidminku regis i montis Arhivovano 30 grudnya 2021 u Wayback Machine Zvidsi Regiomontan latinizovane prizvisko J Myullera Div takozhTeorema sinusiv Teorema kosinusivPrimitkiMarie Therese Debarnot Trigonometry 1 Rushdi Rashid Regis Morelon Routledge 1996 S 182 ISBN 0415124115 z dzherela 30 grudnya 2021 Q Mushtaq J L Berggren Trigonometry 2 Bosworth C E Asimov M S Motilal Banarsidass Publ 2002 S 190 ISBN 8120815963 z dzherela 30 grudnya 2021 O V Manturov Tolkovyj slovar matematicheskih terminov