Обернене число для x, позначається 1/x або x−1, це число, добуток якого з x породжує одиницю. Оберненим дробу a/b буде b/a. Для отримання оберненого для дійсного числа треба розділити 1 на число. Наприклад, обернене для 5 є 1/5, а для 0.25 це 1 розділений на 0.25, або 4. Функція f(x), яка відображає x в 1/x, це один з найпростіших прикладів самооберненої функції.
Обернене число | |
Формула | і |
---|---|
Позначення у формулі | |
Підтримується Вікіпроєктом |
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelF6TDBoNWNHVnlZbTlzWVY5dmJtVmZiM1psY2w5NExuTjJaeTh6TURCd2VDMUllWEJsY21KdmJHRmZiMjVsWDI5MlpYSmZlQzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Комплексні числа
Обернене до ненульового комплексного числа z = a + bi також комплексне. Його можна знайти помноживши чисельник і знаменник 1/z на спряжене до нього і використавши таку властивість
, модуль z в квадраді, це дійсне число a2 + b2:
Логіка така
дає нам спряжене з величиною зменшеною до , отже дальше ділення на
гарантує, що величина тепер рівна оберненій величині початкового числа, тому:
Зокрема, якщо ||z||=1 (z має одиничну величину), then . Як наслідок, для уявних одиниць, ±i, протилежні рівні оберненим і це єдині комплексні числа з такою властивістю. Наприклад, протилежне і обернене до i це −(i) = −i і 1/i = −i, відповідно.
Для комплексних чисел у полярній формі z = r(cos φ + i sin φ), обернене просто має оберенену величину і від'ємний кут:
Практичне застосування
Обернені числа мають безліч застосувань у алгоритмах інформатики, особливо тих, що стосуються теорії чисел, бо багато подібних алгоритмів значно покладаються на модульну арифметику. Як простий приклад розглянемо задачу ділення порівну, де ви маєте список непарних чисел таких, що діляться на k кожне розміром у машинне слово. Один з підходів такий:
- Використати розширений алгоритм Евкліда для обчислення k−1, обернене k mod 2w, де w є числом бітів у слові. Таке число існуватиме, бо числа непарні, а модуль не має непарних дільників.
- Для кожного числа в списку, помножити його на k−1 і взяти менше значиме слово результату.
На багатьох, особливо на тих, що не мають підтримки для ділення на рівні заліза, ділення повільніше від множення, отже такий підхід може спричинити значне покращення швидкодії. Перший крок порівняно повільний, але його потрібно виконати лише один раз.
Див. також
Література
- Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Obernene chislo dlya x poznachayetsya 1 x abo x 1 ce chislo dobutok yakogo z x porodzhuye odinicyu Obernenim drobu a b bude b a Dlya otrimannya obernenogo dlya dijsnogo chisla treba rozdiliti 1 na chislo Napriklad obernene dlya 5 ye 1 5 a dlya 0 25 ce 1 rozdilenij na 0 25 abo 4 Funkciya f x yaka vidobrazhaye x v 1 x ce odin z najprostishih prikladiv samoobernenoyi funkciyi Obernene chislo Formula1 x displaystyle frac 1 x i x 1 displaystyle x 1 Poznachennya u formulix displaystyle x Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Samoobernena funkciya y 1 x Dlya kozhnogo x okrim 0 y pokazuye jogo obernene chisloKompleksni chislaObernene do nenulovogo kompleksnogo chisla z a bi takozh kompleksne Jogo mozhna znajti pomnozhivshi chiselnik i znamennik 1 z na spryazhene do nogo z a b i displaystyle bar z a bi i vikoristavshi taku vlastivist z z z 2 displaystyle z bar z z 2 modul z v kvadradi ce dijsne chislo a2 b2 1 z z z z z z 2 a b i a 2 b 2 a a 2 b 2 b a 2 b 2 i displaystyle frac 1 z frac bar z z bar z frac bar z z 2 frac a bi a 2 b 2 frac a a 2 b 2 frac b a 2 b 2 i Logika taka z z displaystyle frac bar z z daye nam spryazhene z velichinoyu zmenshenoyu do 1 displaystyle 1 otzhe dalshe dilennya na z displaystyle z garantuye sho velichina teper rivna obernenij velichini pochatkovogo chisla tomu 1 z z z 2 displaystyle frac 1 z frac bar z z 2 Zokrema yaksho z 1 z maye odinichnu velichinu then 1 z z displaystyle 1 z bar z Yak naslidok dlya uyavnih odinic i protilezhni rivni obernenim i ce yedini kompleksni chisla z takoyu vlastivistyu Napriklad protilezhne i obernene do i ce i i i 1 i i vidpovidno Dlya kompleksnih chisel u polyarnij formi z r cos f i sin f obernene prosto maye oberenenu velichinu i vid yemnij kut 1 z 1 r cos f i sin f displaystyle frac 1 z frac 1 r left cos varphi i sin varphi right Praktichne zastosuvannyaOberneni chisla mayut bezlich zastosuvan u algoritmah informatiki osoblivo tih sho stosuyutsya teoriyi chisel bo bagato podibnih algoritmiv znachno pokladayutsya na modulnu arifmetiku Yak prostij priklad rozglyanemo zadachu dilennya porivnu de vi mayete spisok neparnih chisel takih sho dilyatsya na k kozhne rozmirom u mashinne slovo Odin z pidhodiv takij Vikoristati rozshirenij algoritm Evklida dlya obchislennya k 1 obernene k mod 2w de w ye chislom bitiv u slovi Take chislo isnuvatime bo chisla neparni a modul ne maye neparnih dilnikiv Dlya kozhnogo chisla v spisku pomnozhiti jogo na k 1 i vzyati menshe znachime slovo rezultatu Na bagatoh osoblivo na tih sho ne mayut pidtrimki dlya dilennya na rivni zaliza dilennya povilnishe vid mnozhennya otzhe takij pidhid mozhe sprichiniti znachne pokrashennya shvidkodiyi Pershij krok porivnyano povilnij ale jogo potribno vikonati lishe odin raz Div takozhObernene za modulem chislo Ryad obernenih do prostih chisel Ryad obernenih kvadrativLiteraturaMaximally Periodic Reciprocals Matthews R A J Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147 148 1992