Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl5TDFSeWFXRnVaMnhsU1c1bGNYVmhiR2wwZVM1emRtY3ZNakl3Y0hndFZISnBZVzVuYkdWSmJtVnhkV0ZzYVhSNUxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.
Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.
Евклідова геометрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemhrTDBWMVkyeHBaRjkwY21saGJtZHNaVjlwYm1WeGRXRnNhWFI1TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxRmRXTnNhV1JmZEhKcFlXNW5iR1ZmYVc1bGNYVmhiR2wwZVM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.
В трикутнику причому рівність
досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка
лежить строго між
та
.
Нормований простір
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZoTDFabFkzUnZjaTEwY21saGJtZHNaUzFwYm1WeGRXRnNhWFI1TG5OMlp5OHpNREJ3ZUMxV1pXTjBiM0l0ZEhKcFlXNW5iR1V0YVc1bGNYVmhiR2wwZVM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Якщо — нормований векторний простір, де
— довільна множина, а
— визначена на
норма. Тоді за визначенням норми:
- В гільбертовім просторі, нерівність трикутника є безпосереднім єдинозворотнім нетривіальним наслідком нерівності Коші — Буняковского.
Метричний простір
Якщо — метричний простір, де
— довільна множина, а
— визначена на
метрика. Тоді за визначенням метрики:
Обернена нерівність трикутника
Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:
Джерела
- , Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nerivnist trikutnika osnovna vlastivist geometrichnih figur evklidovogo prostoru vidstani sho vikoristovuyetsya v geometriyi funkcionalnomu analizi Tri prikladi nerivnosti trikutnika dlya trikutnikiv zi storonami z dovzhinami x y z Verhnij priklad pokazuye vipadok koli z ye znachno menshoyu za sumu inshih dvoh storin x y a nizhnij priklad pokazuye vipadok koli storona z ye lishe troshki menshoyu za x y Vona stverdzhuye sho bud yaka storona dovilnogo trikutnika mensha za sumu dvoh inshih jogo storin ta bilsha za yih riznicyu Nerivnist trikutnika vhodit yak aksioma v viznachennya metriki prostoru normi Evklidova geometriyaEvklidova pobudova dovedennya nerivnosti trikutnika dlya planimetriyi Nerivnist trikutnika ye teoremoyu v Evklidovij geometriyi dovedennya navedeno she v Nachalah Evklida V trikutniku D A B C A C A B B C displaystyle Delta ABC AC leqslant AB BC prichomu rivnist A C A B B C displaystyle AC AB BC dosyagayetsya tilki todi koli trikutnik virodzhenij i tochka B displaystyle B lezhit strogo mizh A displaystyle A ta C displaystyle C Normovanij prostirNerivnist trikutnika dlya norm vektoriv Yaksho V displaystyle V cdot normovanij vektornij prostir de V displaystyle V dovilna mnozhina a displaystyle cdot viznachena na V displaystyle V norma Todi za viznachennyam normi x y x y x y V displaystyle x y leqslant x y quad forall x y in V V gilbertovim prostori nerivnist trikutnika ye bezposerednim yedinozvorotnim netrivialnim naslidkom nerivnosti Koshi Bunyakovskogo Metrichnij prostirYaksho X r displaystyle X rho metrichnij prostir de X displaystyle X dovilna mnozhina a r displaystyle rho viznachena na X displaystyle X metrika Todi za viznachennyam metriki r x y r x z r z y x y z X displaystyle rho x y leqslant rho x z rho z y quad x y z in X Obernena nerivnist trikutnikaNaslidkom nerivnosti trikutnika v normovanomu ta metrichnomu prostori ye taki nerivnosti x y x y x y V displaystyle bigl x y bigr leqslant x y quad x y in V r x y r x z r y z x y z X displaystyle rho x y rho x z leqslant rho y z quad x y z in X Dzherela Bellman R Neravenstva Moskva Nauka 1965 ros