Формула Брамагупти

Фо́рмула Брамагу́пти (англ. Brahmagupta's formula) — математична формула, яка виражає площу вписаного у коло чотирикутника як функцію довжин його сторін.

Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін ${\displaystyle a,b,c,d}$ і півпериметр ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$, то його площа ${\displaystyle S}$ виражається формулою: ${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

Доведення  

Площа вписаного у коло чотирикутника ${\displaystyle ABCD}$ зі сторонами a, b, c, d дорівнює сумі площ ${\displaystyle \triangle ACB}$ та ${\displaystyle \triangle BDC}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.}$

Так як ${\displaystyle ABCD}$ є вписаним чотирикутником, то ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}$ Отже, ${\displaystyle \sin A=\sin C}$:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A}$

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.}$

Записавши теорему косинусів для сторони ${\displaystyle CB}$ у ${\displaystyle \triangle ACB}$ і ${\displaystyle \triangle BDC,}$ отримуємо:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.}$

Скористаємось залежністю ${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ (${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle C}$ протилежні кути), після чого винесемо за дужки ${\displaystyle 2\cos A}$:

${\displaystyle 2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.}$

Підставимо отримане у записану вище формулу площі:

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},}$

Застосуємо формулу ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$:

${\displaystyle (2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})}$

${\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})}$

${\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a).}$

Так як півпериметр ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).}$

Добуваючи квадратний корінь, отримуємо:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

Варіації й узагальнення

• Формула Брамагупти узагальнює формулу Герона для визначення площі трикутника на випадок вписаного у коло чотирикутника: достатньо вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, ${\displaystyle d=0}$) і формула Брамагупти зводиться до формули Герона.
• На випадок довільних чотирикутників формула Брамагупти може бути узагальнена так:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},}$

де ${\displaystyle \theta }$ — півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не відіграє, так як якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює ${\displaystyle \theta }$, то півсума двох інших кутів буде ${\displaystyle 180^{\circ }-\theta }$, і ${\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .}$.

Інколи цю загальнішу формулу записують так:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}}}$,

де ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — довжини діагоналей чотирикутника.

• Математик Девід П. Роббінс (англ. David P. Robbins) довів, що для довільного вписаного многокутника з ${\displaystyle n}$ сторонами величина ${\displaystyle (4S)^{2}}$ є коренем деякого многочлена ${\displaystyle P}$, коефіцієнти якого у свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для ${\displaystyle n=5}$ та ${\displaystyle n=6}$. Іншими авторами встановлено, що многочлен ${\displaystyle P}$ можна обрати так, щоб його старший коефіцієнт дорівнював одиниці, а степінь ${\displaystyle N=N(n)}$ дорівнював ${\displaystyle \Delta _{k}}$, при ${\displaystyle n=2k+1}$ і ${\displaystyle 2\Delta _{k}}$, якщо ${\displaystyle n=2k+2}$. Тут

${\displaystyle \Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j){\binom {2k+1}{j}},}$

де ${\displaystyle {\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(k-j)!}}}$ — біноміальні коефіцієнти. Для многокутників з невеликим числом сторін маємо ${\displaystyle \Delta _{1}=1}$, ${\displaystyle \Delta _{2}=7}$, ${\displaystyle \Delta _{3}=38}$, ${\displaystyle \Delta _{4}=187,\dots }$ (послідовність A000531 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) і ${\displaystyle N(4)=2}$, ${\displaystyle N(5)=7}$, ${\displaystyle N(6)=14}$, ${\displaystyle N(7)=38,\dots }$ (послідовність A107373 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

• Якщо у формулі Брамагупти виразити півпериметр через півсуму усіх сторін даного чотирикутника, піднести обидві частини до квадрату, помножити на -16, розкрити дужки та звести подібні, то вона набуде вигляду:

${\displaystyle -16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2})-8abcd}$

• Права частина рівняння буде збігатись з розкладом визначника, поданого нижче, якщо його помножити на -1. Тому можна написати, що

${\displaystyle 16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Див. також

• Брамагупта
• Теорема Брамагупти

Примітки

1. D. P. Robbins Areas of polygons inscribed in a circle. // Discrete & Computational Geometry — 12, 1994 — P. 223—236.
2. Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). (PDF). Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669—689. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008. Архів оригіналу (PDF) за 10 січня 2020. Процитовано 3 серпня 2016.
3. Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39

Джерела

• Прасолов В. В. Формула Брахмагупты // . — 1991. — № 5.
• Г. М. Коксетер, С. Грейтцер. Новые встречи с геометрией / Под ред. А. П. Савина. — М. : Наука, 1978. — С. 73—74. — (Библиотека математического кружка. Вып. 14)
• Варфоломеев В. В. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Математический сборник. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• M. Fedorchuk, I. Pak (2005). (PDF). Duke Mathematical Journal. 129 (2): 371—404. doi:10.1215/S0012-7094-05-12926-X. Архів оригіналу (PDF) за 3 жовтня 2013. Процитовано 3 серпня 2016.