Ядро гомоморфізму

В алгебрі ядром гомоморфізму (функція, яка зберігає структуру) зазвичай є прообраз нуля (за винятком груп, у яких операція є мультиплікативною і ядро є прообразом одиниці). Важливим окремим випадком є ядро лінійного відображення. Ядро матриці, яке також називають нульовим простором, є ядром лінійного відображення, яке визначається цією матрицею.

Ядро гомоморфізму зводиться до 0 (або 1) тоді й лише тоді, коли гомоморфізм є ін'єктивним, тобто, якщо прообраз кожного елемента складається з одного елемента. Це означає, що ядро можна розглядати як міру степеня, при якому гомоморфізм перестає бути ін'єктивним.1

Для деяких типів структур, таких як абелеві групи та векторні простори, можливі ядра є саме підструктурами того ж типу. Це не завжди так, і іноді, можливі ядра мають особливу назву, наприклад, нормальна підгрупа для груп і двосторонній ідеал для кілець.

Ядра дозволяють визначати фактор-об'єкти (в універсальній алгебрі також називаються фактор-алгебрами, а в теорії категорій — коядрами). Для багатьох типів алгебраїчних структур фундаментальна теорема про гомоморфізми (або перша теорема про ізоморфізми) стверджує, що образ гомоморфізму ізоморфний фактор-простору за ядром.

Концепція ядра була розширена на такі структури, для яких існування прообразу окремого елемента недостатньо, щоб довести, що гомоморфізм є ін'єктивним. У цих випадках ядро є відношенням конгруентності. Ця стаття є оглядом деяких важливих типів ядер в алгебраїчних структурах.

Лінійні простори

Нехай ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$— векторні простори над полем (або, у загальному випадку, модулі над кільцем), а ${\displaystyle T}$ — лінійне відображення, що діє з простору ${\displaystyle V}$ у простір ${\displaystyle W}$ (${\displaystyle T\colon V\to W}$). Якщо ${\displaystyle 0_{W}}$ нульовий вектор з простору ${\displaystyle W}$, тоді ядро лінійного відображення ${\displaystyle T}$ є прообразом нульового підпростору ${\displaystyle {0_{W}}}$; тобто підмножина простору ${\displaystyle V}$, що складається з усіх тих елементів, що належать простору ${\displaystyle V}$, які відображаються ${\displaystyle T}$ у елемент ${\displaystyle 0_{W}}$. Ядро зазвичай позначають як ${\displaystyle \ker T}$ або використовують варіації наступного запису:

${\displaystyle \ker T=\{v\in V\colon T(v)=0_{W}\}.}$

Оскільки лінійне відображення зберігає нульові вектори, то нульовий вектор ${\displaystyle 0_{V}}$ з простору ${\displaystyle V}$ повинен належати ядру. Перетворення ${\displaystyle T}$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядро породжене лише нульовим підпростором.

Ядро ${\displaystyle \ker T}$ завжди є лінійним підпростором простору ${\displaystyle V}$. Отже, є сенс говорити про фактор-простір ${\displaystyle V/(\ker T)}$. Перша теорема про ізоморфізм для векторних просторів стверджує, що цей фактор-простір природно ізоморфний образу відображення ${\displaystyle T}$ (який є підпростором простору ${\displaystyle W}$). Як наслідок, розмірність простору ${\displaystyle V}$ дорівнює розмірності ядра плюс розмірність образу:

${\displaystyle \dim V=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname {Im} V).}$

Якщо ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ скінченновимірні простори в яких зафіксовано базиси, то лінійне відображення ${\displaystyle T}$ можна представити матрицею ${\displaystyle M}$, а ядро можна знайти, розв'язавши однорідну систему лінійних рівнянь ${\displaystyle Mv=0}$. У цьому випадку ядро лінійного відображення ${\displaystyle T}$ може бути одночасно визначено ядром матриці ${\displaystyle M}$, яке також називають «нульовим простором» матриці ${\displaystyle M}$. Розмірність нульового простору матриці ${\displaystyle M}$, яку називають дефектом матриці ${\displaystyle M}$, визначається кількістю стовпців матриці ${\displaystyle M}$ мінус ранг матриці ${\displaystyle M}$, як наслідок ^[en].

Розв'язування однорідних диференціальних рівнянь часто зводиться до обчислення ядра певних диференціальних операторів. Наприклад, знайдемо всі двічі диференційовані функції ${\displaystyle f}$, які визначені на дійсній прямій, такі, що

${\displaystyle xf''(x)+3f'(x)=f(x).}$

Нехай ${\displaystyle V}$ — простір усіх двічі диференційованих функцій, ${\displaystyle W}$ — простір усіх функцій. Визначимо лінійний оператор ${\displaystyle T}$, що діє з простору ${\displaystyle V}$ у простір ${\displaystyle W}$, наступним чином:

${\displaystyle (Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x),}$

де ${\displaystyle f\in V}$, ${\displaystyle x}$ — довільне дійсне число. Тоді всі розв'язки диференціального рівняння належать ${\displaystyle \ker T}$.

Аналогічним чином можна визначити ядра для гомоморфізмів між модулями над кільцем. Це включає ядра гомоморфізмів між абелевими групами як частинний випадок. Цей приклад відображає суть ядер у загальних абелевих категоріях; див. ядро (теорія категорій).

Гомоморфізм груп

Нехай ${\displaystyle G}$ та ${\displaystyle H}$ — групи, а ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм груп з ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (f\colon G\to H)}$. Якщо ${\displaystyle e_{H}}$ — нейтральний елемент з групи ${\displaystyle H}$, то ядро гомоморфізму ${\displaystyle f}$ — це прообраз одноелементної множини ${\displaystyle \{e_{H}\}}$; тобто підмножини групи ${\displaystyle G}$, що складається з усіх тих елементів групи ${\displaystyle G}$, які відображаються ${\displaystyle f}$ у елемент ${\displaystyle e_{H}}$. Ядро зазвичай позначають ${\displaystyle \ker f}$. У символьній формі:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G\colon f(g)=e_{H}\}.}$

Оскільки гомоморфізм групи зберігає нейтральні елементи, то нейтральний елемент ${\displaystyle e_{H}}$ групи ${\displaystyle G}$ належить ядру.

Гомоморфізм ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядром є одноелементна множина ${\displaystyle \{e_{G}\}}$. Якщо гомоморфізм ${\displaystyle f}$ неін'єктивний, тоді неін'єктивні елементи можуть утворювати окремий елемент його ядра: тобто існують елементи ${\displaystyle a,b\in G}$, такі що ${\displaystyle a\neq b}$ і ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Таким чином, ${\displaystyle f(a)f(b)^{-1}=e_{H}}$. ${\displaystyle f}$ — це груповий гомоморфізм, тому обернені та групові операції зберігаються, а тому ${\displaystyle f(ab^{-1})=e_{H}}$; іншими словами ${\displaystyle ab^{-1}\in \ker f}$ і ${\displaystyle \ker f}$ не є одноелементним. і навпаки, різні елементи ядра прямо порушують ін'єктивність: якщо б існував елемент ${\displaystyle g\neq \ker f}$, тоді ${\displaystyle f(g)=f(e_{G})=e_{H}}$ і, таким чином, ${\displaystyle f}$ не був би ін'єктивним.

${\displaystyle \ker f}$ — це підгрупа групи ${\displaystyle G}$ і крім того нормальна підгрупа. Отже, існує відповідна фактор-група ${\displaystyle G/\ker f}$. За першою теоремою про ізоморфізм для груп вона ізоморфна ${\displaystyle f(G)}$, образу групи ${\displaystyle G}$ при відображенні ${\displaystyle f}$ (яка теж є підгрупою групи ${\displaystyle H}$).

У частинному випадку абелевих груп немає ніяких відхилень від попереднього пункту.

Приклад

Нехай ${\displaystyle G}$ — циклічна група з 6 елементів ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ з додаванням за модулем, ${\displaystyle H}$ — циклічна група з двох елементів ${\displaystyle \{0,1\}}$ з додаванням за модулем, а ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм, який відображає кожен елемент ${\displaystyle g\in G}$ в елемент ${\displaystyle g\in H}$ за модулем ${\displaystyle 2}$. Тоді ${\displaystyle \ker f=\{0,2,4\}}$, оскільки всі ці елементи відображаються в ${\displaystyle 0_{H}}$. Фактор-група ${\displaystyle G/(\ker f)}$ має два елементи: ${\displaystyle \{0,2,4\}}$ та ${\displaystyle \{1,3,5\}}$. Вона дійсно ізоморфна групі ${\displaystyle H}$.

Гомоморфізми кілець

Нехай ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle S}$ — кільця (вважатимемо їх унітарними), а ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм кільця, що діє з ${\displaystyle R}$ до ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle f\colon R\longrightarrow S}$). Якщо ${\displaystyle 0_{S}}$ — ^[en] ${\displaystyle S}$, то ядро гомоморфізму ${\displaystyle f}$ є його ядром як лінійного відображення над цілими числами, або, еквівалентно, як адитивної групи. Це прообраз ^[en] ${\displaystyle \{0_{S}\}}$, який є підмножиною кільця ${\displaystyle R}$, що складається з усіх тих елементів кільця ${\displaystyle R}$, які відображаються гомоморфізмом ${\displaystyle f}$ в елемент ${\displaystyle 0_{S}}$. Ядро зазвичай позначають як ${\displaystyle \ker f}$ (або інші варіації цього позначення). У символьній формі:

${\displaystyle \ker f=\{r\in R\colon f(r)=0_{S}\}.}$

Оскільки гомоморфізм кільця зберігає нульові елементи, нульовий елемент ${\displaystyle 0_{R}}$ кільця ${\displaystyle r}$ повинен належати ядру. Гомоморфізм ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним тоді і лише тоді, коли його ядром є лише одноелементна множина ${\displaystyle \{0_{R}\}}$. Це завжди має місце, якщо кільце ${\displaystyle R}$ є полем, а кільце ${\displaystyle S}$ не є ^[en].

Оскільки ${\displaystyle \ker f}$ містить мультиплікативну одиницю лише тоді, коли ${\displaystyle S}$ є нульовим кільцем, то ядро у загальному випадку не є підкільцем кільця ${\displaystyle R}$. Ядро є ^[en], а точніше, двостороннім ідеалом кільця ${\displaystyle R}$. Таким чином, має сенс говорити про фактор-кільце ${\displaystyle R/(\ker f)}$. Перша теорема про ізоморфізм кілець стверджує, що це фактор-кільце природно ізоморфне образу гомоморфізму ${\displaystyle f}$ (який є підкільцем кільця ${\displaystyle S}$). (Зауважте, що кільця не обов'язково повинні бути унітарними для визначення ядра).

У деякій мірі це можна розглядати як частинний випадок ситуації з модулями, оскільки всі вони є бімодулями над кільцем ${\displaystyle R}$:

• саме ${\displaystyle R}$,
• двосторонній ідеал кільця ${\displaystyle R}$ (наприклад, ${\displaystyle \ker f}$),
• будь-яке фактор-кільце кільця ${\displaystyle R}$ (наприклад, ${\displaystyle R/\ker f}$),
• ^[en] будь-якого гомоморфізму кільця областю якого є ${\displaystyle R}$ (наприклад, кільце ${\displaystyle S}$ — кообласть гомоморфізму ${\displaystyle f}$).

Однак теорема про ізоморфізм дає сильніший результат, оскільки ізоморфізми кілець зберігають множення, а ізоморфізми модулів (навіть між кільцями) взагалі ні. Цей приклад розкриває суть ядер у загальних алгебрах Мальцева.

Гомоморфізми моноїдів

Нехай ${\displaystyle M}$ та ${\displaystyle N}$ — моноїди, та нехай ${\displaystyle f}$ — ^[en] з ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle N}$. Тоді ядро гомоморфізму ${\displaystyle f}$ — це підмножина прямого добутку ${\displaystyle M\times M}$, що складається з усіх впорядкованих пар елементів з ${\displaystyle M}$, обидві компоненти яких відображаються за допомогою ${\displaystyle f}$ у один і той самий елемент з ${\displaystyle N}$. Ядро зазвичай позначають ${\displaystyle \ker f}$. У символьній формі:

${\displaystyle \ker f=\{(m,m')\in M\times M\colon f(m)=f(m')\}.}$

Оскільки ${\displaystyle f}$ є функцією, то елементи виду ${\displaystyle (m,m)}$ повинні належати ядру. Гомоморфізм ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли його ядром є лише діагональна множина ${\displaystyle \{(m,m)\colon m\in M\}}$.

Виявляється, що ${\displaystyle \ker f}$ є відношенням еквівалентності на ${\displaystyle M}$, і фактично відношенням конгруентності. Таким чином, має сенс говорити про фактор-моноїд ${\displaystyle M/(\ker f)}$. Перша теорема про ізоморфізм для моноїдів стверджує, що цей фактор-моноїд природно ізоморфний образу гомоморфізму ${\displaystyle f}$ (який є підмоноїдом моноїда ${\displaystyle N}$; для відношення конгруентності). Це суттєво відрізняється від наведених вище прикладів. Зокрема, прообразу нейтрального елементу з ${\displaystyle N}$ недостатньо для визначення ядра гомоморфізму ${\displaystyle f}$.

Універсальні алгебри

Усі вищезазначені випадки можуть бути уніфіковані й узагальнені в універсальній алгебрі.

Загальний випадок

Нехай ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — алгебраїчні структури заданого типу і ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм цього типу з ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Тоді ядро ${\displaystyle f}$ — це підмножина прямого добутку ${\displaystyle A\times A}$, що складається з усіх тих упорядкованих пар елементів з ${\displaystyle A}$, обидва компоненти яких відображаються за допомогою ${\displaystyle f}$ у один і той самий елемент з ${\displaystyle B}$. Ядро зазвичай позначається ${\displaystyle \ker f}$. У символьній формі:

${\displaystyle \ker f=\{(a,a')\in A\times A\colon f(a)=f(a')\}.}$

Оскільки ${\displaystyle f}$ є функцією, то елементи виду ${\displaystyle (a,a)}$ повинні належати ядру. Гомоморфізм ${\displaystyle f}$ є ін’єктивним тоді й лише тоді, коли його ядро є діагональною множиною ${\displaystyle \{(a,a)\colon a\in A\}}$.

Легко побачити, що ${\displaystyle \ker f}$ є відношенням еквівалентності на ${\displaystyle A}$, і фактично відношенням конгруентності. Таким чином, має сенс говорити про фактор-алгебру ${\displaystyle A/(\ker f)}$. Перша теорема про ізоморфізм в загальній універсальній алгебри стверджує, що ця фактор-алгебра природно ізоморфна образу гомоморфізму ${\displaystyle f}$ (який є підалгеброю в ${\displaystyle B}$). Зауважимо, що означення ядра тут (як у моноїдному прикладі) не залежить від алгебраїчної структури; це суто теоретико-множинне поняття. Докладніше про це загальне поняття, за межами абстрактної алгебри, дивись ^[en].

Алгебри Мальцева

У випадку алгебр Мальцева цю конструкцію можна спростити. Кожна алгебра Мальцева має спеціальний нейтральний елемент (нульовий вектор у випадку векторних просторів, одиничний елемент у випадку комутативних груп і нульовий елемент у випадку кілець або модулів). Характерною особливістю алгебри Мальцева є те, що можна відновити всі відношення еквівалентності ${\displaystyle \ker f}$ з класу еквівалентності нейтрального елемента.

Точніше, нехай ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — алгебраїчні структури Мальцева даного типу, а ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм цього типу з ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Якщо ${\displaystyle e_{B}}$ — нейтральний елемент з ${\displaystyle B}$, то ядро гомоморфізму ${\displaystyle f}$ — прообраз одноелементної множини ${\displaystyle \{e_{B}\}}$; тобто підмножина множини ${\displaystyle A}$, що складається з усіх тих елементів множини ${\displaystyle A}$, які відображаються за допомогою ${\displaystyle f}$ в елемент ${\displaystyle e_{B}}$. Ядро зазвичай позначають ${\displaystyle \ker f}$ (або його варіація). У символьній формі:

${\displaystyle \ker f=\{a\in A\colon f(a)=e_{B}\}.}$

Оскільки гомоморфізм алгебри Мальцева зберігає нейтральні елементи, то нейтральний елемент ${\displaystyle e_{A}}$ множини ${\displaystyle A}$ повинен належати ядру. Гомоморфізм ${\displaystyle f}$ є ін’єкивним тоді й лише тоді, коли його ядром є лише одноелементна множина ${\displaystyle \{e_{A}\}}$.

Поняття ідеалу узагальнюється на будь-яку алгебру Мальцева (як лінійний підпростір у випадку векторних просторів, нормальна підгрупа у випадку груп, двосторонні ідеали у випадку кілець, і підмодуль у випадку модулів). Виявляється, що ${\displaystyle \ker f}$ не є підалгеброю в ${\displaystyle A}$, а є ідеалом. Тоді є сенс говорити про фактор-алгебру ${\displaystyle G/(\ker f)}$. Перша теорема про ізоморфізм для алгебр Мальцева стверджує, що ця фактор-алгебра природно ізоморфна образу відображення ${\displaystyle f}$ (який є підалгеброю в ${\displaystyle B}$).

Зв’язок між цим і відношенням конгруентності для більш загальних типів алгебр полягає в наступному. По-перше, ядро як ідеал є класом еквівалентності нейтрального елемента ${\displaystyle e_{A}}$ відносно ядра як конгруенції. Для зворотного напрямку потрібне поняття фактору в алгебрі Мальцева (яке є діленням з обох сторін для груп і відніманням для векторних просторів, модулів і кілець). Використовуючи це, елементи ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ з ${\displaystyle A}$ є еквівалентними відносно ядра як конгруенції тоді й лише тоді, коли їх відношення ${\displaystyle a/b}$ є елементом ядра як ідеалу.

Алгебри з неалгебраїчними струкутрами

Іноді алгебри оснащені неалгебраїчною структурою на додаток до їх алгебраїчних операцій. Наприклад, можна розглядати топологічні групи або топологічні векторні простори оснащені топологією. У цьому випадку можна очікувати, що гомоморфізм ${\displaystyle f}$ збереже цю додаткову структуру; у топологічних прикладах вимагаємо, щоб ${\displaystyle f}$ було неперервним відображенням. Процес може зіткнутися з проблемою фактор-алгебр, які можуть поводитися не дуже добре. У топологічних прикладах можна уникнути проблем, вимагаючи, щоб топологічні алгебраїчні структури були гаусдорфовими (як це зазвичай робиться); тоді ядро (як би воно не було побудовано) буде замкненою множиною, а фактор-простір працюватиме нормально (а також буде хаусдорфовим).

Ядро в теорії категорій

Поняття ядра в теорії категорій є узагальненням ядра абелевих алгебр; дивись ядро (теорія категорій). Категоріальним узагальненням ядра як відношення конгруентності є ^[en]. (Існує також поняття ^[en] або бінарного ^[en].)

Властивості

Основні властивості ядра гомоморфізму в статтях:

• Ядро та образ гомоморфізму
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми (перша теорема)

Див. також

• Ядро (математика)
• Ядро інтегрального оператора
• Ядро лінійного оператора
• Ядро (лінійна алгебра)
• Нульова множина

Література

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. .
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. .