Скалярна матриця діагональна матриця елементи головної діагоналі якої є рівними між собою Прикладами скалярної матриці є

Скалярна матриця — діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої є рівними між собою. Прикладами скалярної матриці є одинична матриця і нульова матриця.

A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}

Властивості

Скалярна матриця — добуток скаляра і одиничної матриці.

a\cdot E_{n}=A_{n}

Множина скалярних матриц $n\times n$ — це матриці, які комутують з усіма матрицями $n\times n$ , тобто для будь-якої скалярної матриці $S$ і матриці $A$ того ж разміру $AS=SA.$
$\operatorname {det} A_{n}=a^{n}$
$\operatorname {rang} A_{n}={\begin{cases}n,&a\not =0\\0,&a=0.\end{cases}}$
$A_{n}^{-1}={\frac {1}{a}}E_{n}$ , де $E_{n}$ — одинична матриця
Скалярні матриці утворюють поле, ізоморфне полю, якому належать елементи матриці.

Скалярною матрицею над полем Р називають матрицю, яка має на головній діагоналі один і той самий елемент $a$ , а поза головною діагоналлю - нулі. Множина $R_{n}^{*}$ усіх скалярних матриць n-го порядку над полем дійсних чисел є комутативним кільцем.

Приклади

Нехай $Q_{a}={\begin{pmatrix}a&0&...&0\\0&a&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&a\end{pmatrix}}$ та $Q_{b}={\begin{pmatrix}b&0&...&0\\0&b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&b\end{pmatrix}}$ є стихійно вибрані

матриці з множини $R_{n}^{*}$ . Тоді

$Q_{a}+Q_{b}={\begin{pmatrix}a+b&0&...&0\\0&a+b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&b\end{pmatrix}},$ $Q_{a}-Q_{b}={\begin{pmatrix}a-b&0&...&0\\0&a-b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&a-b\end{pmatrix}},$ $Q_{a}Q_{b}={\begin{pmatrix}ab&0&...&0\\0&ab&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&ab\end{pmatrix}}$

також є скалярними матрицями і, відповідно, належать множині $R_{n}^{*}$ .

Див. також

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Weisstein, Eric W. Скалярна матриця(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.