Розширення групи

Розши́рення гру́пи — група, що містить задану групу як нормальну підгрупу. У задачі розширення зазвичай задано нормальну підгрупу ${\displaystyle N}$ і факторгрупу ${\displaystyle Q}$, і шукається розширення ${\displaystyle G\supset N}$ таке, що ${\displaystyle G/N\cong Q}$, або, що еквівалентно, така ${\displaystyle G}$ що існує коротка точна послідовність:

${\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1}$.

У цьому випадку кажуть, що ${\displaystyle G}$ є розширенням ${\displaystyle Q}$ за допомогою ${\displaystyle N}$ (іноді використовується інше формулювання: група ${\displaystyle G}$ є розширенням ${\displaystyle N}$ за допомогою ${\displaystyle Q}$).

Розширення називають центральним розширенням, якщо підгрупа ${\displaystyle N}$ лежить у центрі групи ${\displaystyle G}$.

Приклади

Групи ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ так само як ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ є розширеннями ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ за допомогою ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Очевидне розширення — прямий добуток: якщо ${\displaystyle G=K\times H}$, то ${\displaystyle G}$ є як розширенням ${\displaystyle H}$, так і ${\displaystyle K}$. Якщо ${\displaystyle G}$ є напівпрямим добутком груп ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle G=K\rtimes H}$), то ${\displaystyle G}$ є розширенням ${\displaystyle H}$ за допомогою ${\displaystyle K}$.

^[en] дають інші приклади розширень.

Властивості

Якщо вимагати, щоб ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle Q}$ були абелевими групами, то множина класів ізоморфізмів розширення групи ${\displaystyle Q}$ за допомогою заданої (абелевої) групи ${\displaystyle N}$, фактично, є групою, яка ізоморфна:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}$

(функтор Ext). Деякі інші загальні класи розширень відомі, але немає теорії, яка розглядає всі можливі розширення одночасно, у цьому сенсі задача розширення групи зазвичай вважається складною.

Оскільки будь-яка скінченна група ${\displaystyle G}$ має максимальну нормальну підгрупу ${\displaystyle N}$ із простою фактор-групою ${\displaystyle G/N}$, усі скінченні групи можна побудувати як композиційні ряди ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ де кожна група ${\displaystyle A_{i+1}}$ є розширенням ${\displaystyle A_{i}}$ за допомогою деякої простої групи. Цей факт став одним із важливих стимулів для розв'язання задачі класифікації простих скінченних груп.

Класифікація розширень

Розв'язання задачі розширення означає класифікацію всіх розширень групи ${\displaystyle H}$ за допомогою ${\displaystyle K}$, або, конкретніше, вираження всіх таких розширень у термінах математичних об'єктів, які в якомусь сенсі простіші (легко обчислювані або добре вивчені). У загальному випадку ця задача дуже складна, і всі найкорисніші результати класифікують розширення, які задовольняють деяким додатковим умовам.

Для задачі класифікації важливим поняттям є еквівалентність розширень; кажуть, що розширення:

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

і

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

еквівалентні (або конгруентні), якщо існує ізоморфізм групи ${\displaystyle T:G\to G'}$, що робить комутативною діаграму:

Фактично, достатньо мати групу гомоморфізмів. Внаслідок передбачуваної комутативності діаграми відображення обов'язково буде ізоморфізмом за ^[en].

Може статися, що розширення ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$ і ${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$ не еквівалентні, але ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle G'}$ ізоморфні як групи. Наприклад, є ${\displaystyle 8}$ нееквівалентних розширень 4-групи Кляйна за допомогою ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ але існують, з точністю до ізоморфізму, тільки чотири групи порядку 8, що містять нормальну підгрупу порядку ${\displaystyle 2}$ з фактор-групою, ізоморфною 4-групі Кляйна.

Тривіальні розширення

Тривіальне розширення — це розширення:

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$,

яке еквівалентне розширенню:

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$,

де ліва і права стрілки є відповідно включенням та проєкцією кожного множника ${\displaystyle K\times H}$.

Класифікації розщеплюваних розширень

Розщеплюване розширення — це розширення:

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

з гомоморфізмом ${\displaystyle s\colon H\to G}$, таким що перехід від ${\displaystyle H}$ до ${\displaystyle G}$ за допомогою ${\displaystyle s}$, а потім назад до ${\displaystyle H}$ за фактор-відображенням короткої точної послідовності породжує тотожне відображення на ${\displaystyle H}$, тобто ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$. У цій ситуації зазвичай кажуть, що ${\displaystyle s}$ розщеплює згадану вище точну послідовність.

Розщеплювані розширення дуже легко класифікувати, оскільки розширення розщеплюване тоді й лише тоді, коли група ${\displaystyle G}$ є напівпрямим добутком ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle H}$. Самі напівпрямі добутки легко класифікувати, оскільки вони взаємно однозначно відповідають гомоморфізмам ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$, де ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K)}$ є групою автоморфізмів ${\displaystyle K}$.

Центральне розширення

Центральне розширення групи ${\displaystyle G}$ є короткою точною послідовністю груп

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

такою, що ${\displaystyle A}$ лежить у ${\displaystyle Z(E)}$ (центрі групи ${\displaystyle E}$). Множина класів ізоморфізмів центральних розширень групи ${\displaystyle G}$ за допомогою ${\displaystyle A}$ (де ${\displaystyle G}$ діє тривіально на ${\displaystyle A}$) є взаємно-однозначною відповідністю з групою когомологій ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$.

Приклади центральних розширень можна побудувати, взявши будь-яку групу ${\displaystyle G}$ та будь-яку абелеву групу ${\displaystyle A}$, вважаючи ${\displaystyle E}$ рівним ${\displaystyle A\times G}$. Цей вид розщеплюваного прикладу, (розщеплюване розширення в сенсі задачі розширення, оскільки ${\displaystyle G}$ є підгрупою ${\displaystyle E}$) не становить особливого інтересу, оскільки він відповідає елементу ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ згідно зі згаданою вище відповідністю. Серйозніші приклади знайдено в теорії ^[en] у випадках, коли проєктивні представлення неможливо підняти до звичайних лінійних представлень.

У разі скінченних досконалих груп є ^[en].

Аналогічно, центральне розширення алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є точною послідовністю

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,}$

такою що ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ міститься в центрі ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$.

Існує загальна теорія центральних розширень у .

Групи Лі

У теорії груп Лі центральні розширення виникають у зв'язку з алгебричною топологією. Грубо кажучи, центральні розширення груп Лі за допомогою дискретних груп це те саме, що ^[en]. Точніше, зв'язний накривний простір ${\displaystyle G^{\ast }}$ зв'язної групи Лі ${\displaystyle G}$ є природним центральним розширенням групи ${\displaystyle G}$, при цьому проєкція

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

є групою гомоморфізмів та сюр'єктивна. (Структура групи на ${\displaystyle G^{\star }}$ залежить від вибору відображення тотожного елемента в тотожний елемент ${\displaystyle G}$.) Наприклад, коли ${\displaystyle G^{\star }}$ є універсальним накриттям групи ${\displaystyle G}$, ядро ${\displaystyle \pi }$ є фундаментальною групою групи ${\displaystyle G}$, яке, як відомо, абелеве (H-простір). І навпаки, якщо дано групу Лі ${\displaystyle G}$ та дискретну центральну підгрупу ${\displaystyle Z}$, факторгрупа ${\displaystyle G/Z}$ є групою Лі, а ${\displaystyle G}$ є її накривним простором.

Загальніше, якщо групи ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle G}$ в центральному розширенні є групами Лі та відображення між ними є гомоморфізмами групи Лі, то, якщо алгеброю Лі групи ${\displaystyle G}$ є ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, алгеброю ${\displaystyle A}$ є ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, а алгеброю ${\displaystyle E}$ є ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$, то ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ є ^[en] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ за допомогою ${\displaystyle \mathbf {a} }$. У термінології теоретичної фізики генератори алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ називають ^[en]. Ці генератори лежать у центрі алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$. За теоремою Нетер генератори груп симетрії відповідають величинам, що зберігаються. Їх називають зарядами.

Основні приклади центральних розширень як накривних груп:

• спінорні групи, які двічі накривають спеціальні ортогональні групи, які (в парній розмірності) двічі накривають ^[en];
• ^[en], які двічі накривають симплектичні групи.

Випадок ${\displaystyle SL_{2}(\mathbf {R} )}$ залучає фундаментальну групу, яка є нескінченною циклічною групою; тут центральне розширення добре відоме з теорії модулярних форм для випадку форм з вагою ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Відповідне проєктивне представлення є ^[en], побудованим з перетворення Фур'є, у цьому разі, на дійсній осі. Метаплектичні групи з'являються також у квантовій механіці.

Див. також

• ^[en]
• ^[en]
• ^[en]
• ^[en]
• ^[en]

Примітки

1. У загальній алгебрі найчастіше під розширенням структури ${\displaystyle K}$ мають на увазі структуру ${\displaystyle L\supset K}$, в якій ${\displaystyle K}$ є підструктурою, таким чином, зокрема, визначають розширення поля; але в теорії груп (можливо, через позначення ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$) склалася інша термінологія, і фокус зосереджено не на ${\displaystyle N\subset G}$, а на фактор-групі ${\displaystyle Q}$, тому вважається, що розширюється саме ${\displaystyle Q}$ за допомогою ${\displaystyle N}$.
2. Remark 2.2. оригіналу за 26 травня 2019. Процитовано 15 березня 2019.
3. Brown, Porter, 1996, с. 213–227.
4. Dummit, Foote, 2004, с. 830.
5. Janelidze, Kelly, 2000.

Література

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ : John Wiley & Sons, Inc, 2004. — .
• Маклейн С. Гомология. — М. : Мир, 1966.
• Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
• Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
• Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
• Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
• Morandi P. J. Group Extensions and ${\displaystyle H^{3}}$.
• Group extensions. Group​Names. Процитовано 14 червня 2019.