SL(2,R)

У математиці, (спеціальна лінійна група) ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ або ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ — це група дійсних ${\displaystyle :2\times 2}$ матриць, з детермінантом ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\colon a,b,c,d\in \mathbb {R} \ {\text{і}}\ ad-bc=1\right\}.}$

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle 2\times 2}$ спеціальна проєктивна група над ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Більш конкретно,

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\{\pm I\}}$,

де ${\displaystyle I}$ — ${\displaystyle 2\times 2}$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна ^[en]${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbb {R} )}$, або ^[en] (вважаючи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )}$, група дійсних ${\displaystyle 2\times 2}$ матриць з детермінантом ${\displaystyle \pm 1}$; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

Опис

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ це група всіх лінійних перетворень у ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$, яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )}$і спеціальній унітарній групі ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1)}$.Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2,\mathbb {R} )}$ не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ допускає декілька цікавих означень:

• Це група проєктивних перетворень на ^[en]${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$, що зберігає орієнтацію.
• Це група конформних автоморфізмів одиничного круга.
• Це група ізометрій гіперболічної площини, що зберігає орієнтацію.
• Це обмежена група Лоренца тривимірного простору Мінковского. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна невизначеній ортогональній групі ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,2)}$. З цього випливає, що ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ізоморфна спінорній групі ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,1)^{+}}$.

Елементи модулярної групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$.

Проєктивні перетворення

Елементи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ є проєктивними перетвореннями на ^[en]${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$:

${\displaystyle [x,1]\longmapsto [x,1]\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)=[ax+b,cx+d]=\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},1\right].}$

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$, яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ описує ^[en].

Перетворення Мебіуса

Елементи групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

${\displaystyle z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\ ({\text{де}}\ a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки з геометрією Лобачевського.

Приєднане представлення

Група ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ діє на свою алгебру Лі ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є ${\displaystyle 2\times 2}$ матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$. Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$. Як результат матимемо наступне представлення:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]\longmapsto \left[{\begin{matrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{matrix}}\right]}$.

Форма Кіллінга алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ має сигнатуру ${\displaystyle (2,1)}$ і встановлює ізоморфізм між групою ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ і групою Лоренца ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1)}$. Така дія групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Класифікація елементів

Власні значення елемента ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ задовольняють характеристичний многочлен

${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\lambda +1=0}$,

звідси

${\displaystyle \lambda ={\frac {\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\operatorname {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}}$.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

• Якщо ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A)|<2}$, то ${\displaystyle A}$ називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
• Якщо ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A)|=2}$, то ${\displaystyle A}$ називається параболічним і є відображенням зсуву.
• Якщо ${\displaystyle |\operatorname {tr} (A)|>2}$, то ${\displaystyle A}$ називається гіперболічним і є ^[en].

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду (${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} }$; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти ${\displaystyle \pm 1}$, як і при роботі з групою ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$), тоді це приводить до наступних випадків: ${\displaystyle \epsilon <1}$, еліптичний; ${\displaystyle \epsilon =1}$, параболічний; ${\displaystyle \epsilon >1}$, гіперболічний.

Одиничний елемент ${\displaystyle 1}$ і від'ємний одиничний елемент ${\displaystyle -1}$ (у випадку групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ вони співпадають) мають слід ${\displaystyle \pm 2}$, і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ і ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$(дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; (аналогічні класифікації) використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, ^[en], гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т.п.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на ${\displaystyle \pm 1}$), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи ${\displaystyle \pm 1}$) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи ${\displaystyle \pm 1}$), у той час як параболічні елементи (включаючи ${\displaystyle \pm 1}$) є замкнутими множинами.

Еліптичні елементи

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-}\}}$, де ${\displaystyle \omega }$ це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями ${\displaystyle \pm i}$ і є спряженими до поворотів на ${\displaystyle 90^{\circ }}$, а також є квадратами до ${\displaystyle -I}$: вони є нетотожними інволюціями у групі ${\displaystyle \operatorname {PSL(2)} }$.

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу ${\displaystyle \operatorname {SO(2)} }$; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі ${\displaystyle \operatorname {GL(2)} }$, але не у групі ${\displaystyle \operatorname {SL(2)} }$.)

Див. також

• Лінійна група
• (Спеціальна лінійна група)
• Проєктивна лінійна група
• Модулярна група
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ (Перетворення Мебіуса)
• Проєктивне перетворення
• Група Фукса
• ^[en]
• Дифеоморфізм Аносова

Примітки

1. Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$. London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi:10.1142/p835 [ 24 вересня 2019 у Wayback Machine.]. . MR 2977041 [ 11 травня 2017 у Wayback Machine.].

Література

• Valentine Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics. — 1947. — Т. 48, вип. 3. — С. 568–640. — DOI:10.2307/1969129. — JSTOR 1969129.
• Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления группы Лоренца // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1947. — Т. 11, вип. 5. — С. 411–504.
• Harish-Chandra. Plancherel formula for the ${\displaystyle 2\times 2}$ real unimodular group // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1952. — Т. 38. — С. 337–342. — DOI:10.1073/pnas.38.4.337. — PMID 16589101.
• Ленг С. ${\displaystyle \operatorname {SL_{2}(R)} }$ / Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова. — Москва, 1977.