У теорії динамічних систем, галузі математики, дифеоморфізми Аносова — введений [ru] клас відображень з хаотичною динамікою, динаміка яких стійка відносно малих збурень.
Визначення
Дифеоморфізм — дифеоморфізм Аносова, якщо він гіперболічний на всьому многовиді M. А саме, існує розклад дотичного розшаровання TM у пряму суму двох неперервних підрозшаровань, Eu і Es, інваріантний відносно динаміки, причому на Eu динаміка експоненційно розтягує, а на Es — експоненційно стискає:
де і — сталі.
Властивість
- Дифеоморфізми Аносова структурно стійкі: для будь-якого аносівського дифеоморфізму f існує такий його окіл у просторі дифеоморфізмів класу C1, будь-який дифеоморфізм g з якого спряжений з f деяким гомеоморфізмом h:
- Іншими словами, Динаміка малого збурення f відрізняється від самого f тільки заміною координат (правда, лише неперервною!).
- Частину визначення, що стосується розтягування, можна переписати як стиснення в зворотному часі:
Приклад
Найвідомішим прикладом дифеоморфізму Аносова є дія відображення на двовимірному торі .
Загальніше, якщо матриця не має власних значень, рівних за модулем одиниці, то спуск дії на тор (коректно визначений, оскільки зберігає ) буде дифеоморфізмом Аносова.
Див. також
Література
- В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Наука, 1978.
- [ru], [de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi dinamichnih sistem galuzi matematiki difeomorfizmi Anosova vvedenij ru klas vidobrazhen z haotichnoyu dinamikoyu dinamika yakih stijka vidnosno malih zburen ViznachennyaDifeomorfizm f M M displaystyle f M rightarrow M difeomorfizm Anosova yaksho vin giperbolichnij na vsomu mnogovidi M A same isnuye rozklad dotichnogo rozsharovannya TM u pryamu sumu dvoh neperervnih pidrozsharovan Eu i Es invariantnij vidnosno dinamiki prichomu na Eu dinamika eksponencijno roztyaguye a na Es eksponencijno stiskaye fn v c1ln v n N v Es displaystyle f n v leq c 1 lambda n v quad forall n in mathbb N v in E s fn v c2mn v n N v Eu displaystyle f n v geq c 2 mu n v quad forall n in mathbb N v in E u de c1 c2 gt 0 displaystyle c 1 c 2 gt 0 i m gt 1 gt l gt 0 displaystyle mu gt 1 gt lambda gt 0 stali VlastivistDifeomorfizmi Anosova strukturno stijki dlya bud yakogo anosivskogo difeomorfizmu f isnuye takij jogo okil u prostori difeomorfizmiv klasu C1 bud yakij difeomorfizm g z yakogo spryazhenij z f deyakim gomeomorfizmom h f h h g displaystyle f circ h h circ g Inshimi slovami Dinamika malogo zburennya f vidriznyayetsya vid samogo f tilki zaminoyu koordinat pravda lishe neperervnoyu Chastinu viznachennya sho stosuyetsya roztyaguvannya mozhna perepisati yak stisnennya v zvorotnomu chasi f n v c3m n v n N v Eu displaystyle f n v leq c 3 mu n v quad forall n in mathbb N v in E u PrikladNajvidomishim prikladom difeomorfizmu Anosova ye diya vidobrazhennya 2111 displaystyle left begin smallmatrix 2 amp 1 1 amp 1 end smallmatrix right na dvovimirnomu tori T2 R2 Z2 displaystyle mathbb T 2 mathbb R 2 mathbb Z 2 Zagalnishe yaksho matricya A SLn Z displaystyle A in SL n mathbb Z ne maye vlasnih znachen rivnih za modulem odinici to spusk diyi A displaystyle A na tor Tn Rn Zn displaystyle mathbb T n mathbb R n mathbb Z n korektno viznachenij oskilki A displaystyle A zberigaye Zn displaystyle mathbb Z n bude difeomorfizmom Anosova Div takozhAtraktor PlikinaLiteraturaV I Arnold Dopolnitelnye glavy teorii obyknovennyh differencialnyh uravnenij M Nauka 1978 ru de Vvedenie v sovremennuyu teoriyu dinamicheskih sistem s obzorom poslednih dostizhenij Per s angl pod red A S Gorodeckogo M MCNMO 2005 464 s ISBN 5 94057 063 1