Фуксова група — дискретна підгрупа групи PSL(2,R). Групу можна розглядати як групу рухів гіперболічної площини або конформні відображення одиничного диска, або конформні відображення верхньої півплощини. Відповідно, фуксову групу можна розглядати як групу, що діє на будь-якому з цих просторів. В інших трактуваннях фуксову групу визначають як групу зі [en] або як підгрупу , що містить елементи, які зберігають орієнтацію. Також прийнятне визначення фуксової групи як (дискретна група ), яка спряжена з підгрупою групи .
Фуксові групи використовують для створення фуксової моделі ріманових поверхонь. У цьому випадку групу можна назвати групою фуксової поверхні. У певному сенсі фуксові групи роблять для неевклідової геометрії те саме, що кристалографічні групи роблять для евклідової геометрії. Деякі малюнки Ешера побудовано на основі фуксових груп (для дискової моделі геометрії Лобачевського).
Загальні фуксові групи першим вивчав Анрі Пуанкаре, зацікавившись статтею Лазаруса Фукса, від чийого імені й походить назва.
Фуксові групи на верхній півплощині
Нехай — верхня напівплощиною. Тоді є моделлю гіперболічної площини, яка має метрику
Група PSL(2,R) діє над дробово-лінійним перетворенням (яке відоме як перетворення Мебіуса):
Ця дія ефективна та фактично ізоморфна групі усіх рухів, що зберігають орієнтацію.
Фуксову групу можна визначити як підгрупу групи , яка діє розривно на . Тобто
- Для будь-якого z в орбіти не мають граничних точок у .
Еквівалентне визначення — група фуксова, коли дискретна. Це означає, що:
- будь-яка послідовність елементів , що збігається до тотожного елемента в звичайній топології поточкової збіжності, зрештою константна, тобто є ціле число N, таке, що для будь-якого n > N де E — одинична матриця.
Хоча розривність і дискретність еквівалентні в даному випадку, це хибне для довільних груп конформних гомеоморфізмів, що діють на повній сфері Рімана (на противагу ). Більш того, фуксова група дискретна, але має граничні точки на дійсній прямій Im z = 0 — елементи матимуть z = 0 для будь-якого раціонального числа, а раціональні числа щільні в .
Основне визначення
Дробово-лінійне перетворення, визначене матрицею з , зберігає сферу Рімана , але посилає верхню півплощину у деякий відкритий диск . Перетворення, спряжене з таким перетворенням, посилає дискретну підгрупу у дискретну підгрупу групи , зберігаючи .
Це зумовлює таке визначення фуксової групи. Нехай діє інваріантно на свій відкритий диск , тобто, . Тоді є фуксовою тоді й лише тоді, коли виконується будь-яка з таких еквівалентних властивостей:
- є дискретною групою (з урахуванням стандартної топології на ).
- діє [en] в кожній точці .
- множина є підмножиною області розривності .
Тобто, будь-яку з цих трьох властивостей можна використати як визначення фуксової групи, інші випливають з вибраного визначення як теореми. Поняття власної інваріантної розривної підмножини важливе. Так звана [en] дискретна, але не зберігає будь-якого диска в сфері Рімана. Більш того, навіть модулярна група , яка є фуксовою групою, не діє розривно на дійсній прямій. Вона має граничні точки в раціональних числах. Аналогічно, ідея, що є власною підмножиною області розривності важлива. Якщо цього немає, підгрупу називають [en].
Зазвичай як інваріантну область беруть або відкритий одиничний диск, або верхню півплощину.
Граничні множини
Зважаючи на дискретність дії орбіта точки z у верхній півплощині під дією не має точок згущення у верхній півплощині. Можуть, однак, існувати граничні точки на дійсній осі. Нехай — гранична множина групи тобто множина граничних точок для . Тоді . Гранична множина може бути порожньою або складатися з однієї чи двох точок, а може складатися і з нескінченного числа. В останньому випадку є два варіанти:
Фуксова група першого типу — це група, для якої гранична множина є замкненою дійсною прямою . Це трапляється, коли фактор-простір має скінченний об'єм, але є фуксові групи першого роду з нескінченним кооб'ємом.
Інакше кажуть, що фуксова група має другий тип. Еквівалентно, це група, для якої гранична множина є досконалою множиною, тобто ніде не щільною множиною на . Оскільки це ніде не щільна множина, то будь-яка гранична точка довільно близька до деякої відкритої множини, що не належить граничній множині. Іншими словами, гранична множина є множиною Кантора.
Тип фуксової групи не обов'язково має бути тим самим, якщо розглядати її як кляйнову групу — фактично, всі фуксові групи є кляйновими групами другого типу, оскільки їхні граничні множини (як кляйнові групи) є власними підмножинами сфери Рімана, що містяться в деякому колі.
Приклади
Приклад фуксової групи — це модулярна група . Вона є підгрупою групи , що складається з дробово-лінійних перетворень
де a, b, c, d — цілі числа. Фактор-простір є простором модулів еліптичних кривих.
Фуксові групи включають також групи для кожного n > 0. Тут складається з дробово-лінійних перетворень наведеного вище вигляду, де елементи матриці
порівнянні з елементами одиничної матриці за модулем n.
Кокомпактним прикладом є (звичайна) [en] (за обертаннями), що містить всі фуксові групи [en] та поверхні Макбіта, як і інші . Загальніше, будь-яка гіперболічна (підгрупа з індексом 2, відповідна рухам, що зберігають орієнтацію) є фуксовою групою.
Усі вони є фуксовими групами першого роду.
- Усі (гіперболічні) та (параболічні) циклічні підгрупи групи фуксові.
- Будь-яка (еліптична) циклічна підгрупа фуксова тоді й лише тоді, коли вона скінченна.
- Будь-яка абелева фуксова група циклічна.
- Жодна фуксова група не ізоморфна .
- Нехай — неабелева фуксова група. Тоді нормалізатор групи в фуксів.
Метричні властивості
Якщо h — гіперболічний елемент, то довжина перенесення L дії групи у верхній півплощині пов'язана зі слідом h як матриці відношенням
Аналогічна властивість має місце для [en] відповідної ріманової поверхні, якщо фуксова група не має кручення та кокомпактна.
Див. також
- [en]
- [en]
- [en]
Примітки
Література
- Lazarus Fuchs. Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Math.. — 1880. — Т. 89. — С. 151–169.
- Hershel M. Farkas, Irwin Kra. See section 1.6 // Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group. — Providence RI : American Mathematical Society. — .
- Henryk Iwaniec. See Chapter 2. // Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition. — Providence, RI : America Mathematical Society, 2002. — Т. 53. — () — .
- Svetlana Katok. Fuchsian Groups. — Chicago : University of Chicago Press, 1992. — .
- David Mumford, Caroline Series, David Wright. . — Cambridge University Press, 2002. — ..
- Peter J. Nicholls. The Ergodic Theory of Discrete Groups. — Cambridge : Cambridge University Press, 1989. — Т. 143. — (London Mathematical Society Lecture Note Series) — .
- Henri Poincaré. Théorie des groupes fuchsiens // . — Springer Netherlands, 1882. — Т. 1. — С. 1–62. — ISSN 0001-5962. — DOI: .
- Эрнест Б. Винберг. Математическая энциклопедия / главный редактор И.М. Виноградов. — Советсткая энциклопедия, 1977. — Т. 5.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Fuksova grupa diskretna pidgrupa grupi PSL 2 R Grupu PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R mozhna rozglyadati yak grupu ruhiv giperbolichnoyi ploshini abo konformni vidobrazhennya odinichnogo diska abo konformni vidobrazhennya verhnoyi pivploshini Vidpovidno fuksovu grupu mozhna rozglyadati yak grupu sho diye na bud yakomu z cih prostoriv V inshih traktuvannyah fuksovu grupu viznachayut yak grupu zi en abo yak pidgrupu PGL 2 R displaystyle mathrm PGL 2 mathbb R sho mistit elementi yaki zberigayut oriyentaciyu Takozh prijnyatne viznachennya fuksovoyi grupi yak diskretna grupa yaka spryazhena z pidgrupoyu grupi PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R Fuksovi grupi vikoristovuyut dlya stvorennya fuksovoyi modeli rimanovih poverhon U comu vipadku grupu mozhna nazvati grupoyu fuksovoyi poverhni U pevnomu sensi fuksovi grupi roblyat dlya neevklidovoyi geometriyi te same sho kristalografichni grupi roblyat dlya evklidovoyi geometriyi Deyaki malyunki Eshera pobudovano na osnovi fuksovih grup dlya diskovoyi modeli geometriyi Lobachevskogo Zagalni fuksovi grupi pershim vivchav Anri Puankare zacikavivshis statteyu Lazarusa Fuksa vid chijogo imeni j pohodit nazva Fuksovi grupi na verhnij pivploshiniNehaj H z C Im z gt 0 displaystyle mathbb H z in mathbb C mathrm Im z gt 0 verhnya napivploshinoyu Todi H displaystyle mathbb H ye modellyu giperbolichnoyi ploshini yaka maye metriku ds 1ydx2 dy2 displaystyle ds frac 1 y sqrt dx 2 dy 2 Grupa PSL 2 R diye nad H displaystyle mathbb H drobovo linijnim peretvorennyam yake vidome yak peretvorennya Mebiusa abcd z az bcz d displaystyle begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix cdot z frac az b cz d Cya diya efektivna ta faktichno PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R izomorfna grupi H displaystyle mathbb H usih ruhiv sho zberigayut oriyentaciyu Fuksovu grupu G displaystyle Gamma mozhna viznachiti yak pidgrupu grupi PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R yaka diye rozrivno na H displaystyle mathbb H Tobto Dlya bud yakogo z v H displaystyle mathbb H orbiti Gz gz g G displaystyle Gamma z gamma z colon gamma in Gamma ne mayut granichnih tochok u H displaystyle mathbb H Ekvivalentne viznachennya grupa G displaystyle Gamma fuksova koli G displaystyle Gamma diskretna Ce oznachaye sho bud yaka poslidovnist gn displaystyle gamma n elementiv G displaystyle Gamma sho zbigayetsya do totozhnogo elementa v zvichajnij topologiyi potochkovoyi zbizhnosti zreshtoyu konstantna tobto ye cile chislo N take sho dlya bud yakogo n gt N gn E displaystyle gamma n E de E odinichna matricya Hocha rozrivnist i diskretnist ekvivalentni v danomu vipadku ce hibne dlya dovilnih grup konformnih gomeomorfizmiv sho diyut na povnij sferi Rimana na protivagu H displaystyle mathbb H Bilsh togo fuksova grupa PSL 2 Z displaystyle mathrm PSL 2 mathbb Z diskretna ale maye granichni tochki na dijsnij pryamij Im z 0 elementi PSL 2 Z displaystyle mathrm PSL 2 mathbb Z matimut z 0 dlya bud yakogo racionalnogo chisla a racionalni chisla Q displaystyle mathbb Q shilni v R displaystyle mathbb R Osnovne viznachennyaDrobovo linijne peretvorennya viznachene matriceyu z PSL 2 C displaystyle mathrm PSL 2 mathbb C zberigaye sferu Rimana P1 C C displaystyle mathbf P 1 mathbb C mathbb C cup infty ale posilaye verhnyu pivploshinu H displaystyle mathbb H u deyakij vidkritij disk D displaystyle Delta Peretvorennya spryazhene z takim peretvorennyam posilaye diskretnu pidgrupu PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R u diskretnu pidgrupu grupi PSL 2 C displaystyle mathrm PSL 2 mathbb C zberigayuchi D displaystyle Delta Ce zumovlyuye take viznachennya fuksovoyi grupi Nehaj G PSL 2 C displaystyle Gamma subset mathrm PSL 2 mathbb C diye invariantno na svij vidkritij disk D C displaystyle Delta subset mathbb C cup infty tobto G D D displaystyle Gamma Delta Delta Todi G displaystyle Gamma ye fuksovoyu todi j lishe todi koli vikonuyetsya bud yaka z takih ekvivalentnih vlastivostej G displaystyle Gamma ye diskretnoyu grupoyu z urahuvannyam standartnoyi topologiyi na PSL 2 C displaystyle mathrm PSL 2 mathbb C G displaystyle Gamma diye en v kozhnij tochci z D displaystyle z in Delta mnozhina D displaystyle Delta ye pidmnozhinoyu oblasti rozrivnosti W G displaystyle Omega Gamma G displaystyle Gamma Tobto bud yaku z cih troh vlastivostej mozhna vikoristati yak viznachennya fuksovoyi grupi inshi viplivayut z vibranogo viznachennya yak teoremi Ponyattya vlasnoyi invariantnoyi rozrivnoyi pidmnozhini D displaystyle Delta vazhlive Tak zvana en PSL 2 Z i displaystyle mathrm PSL 2 mathbb Z i diskretna ale ne zberigaye bud yakogo diska v sferi Rimana Bilsh togo navit modulyarna grupa PSL 2 Z displaystyle mathrm PSL 2 mathbb Z yaka ye fuksovoyu grupoyu ne diye rozrivno na dijsnij pryamij Vona maye granichni tochki v racionalnih chislah Analogichno ideya sho D displaystyle Delta ye vlasnoyu pidmnozhinoyu oblasti rozrivnosti vazhliva Yaksho cogo nemaye pidgrupu nazivayut en Zazvichaj yak invariantnu oblast D displaystyle Delta berut abo vidkritij odinichnij disk abo verhnyu pivploshinu Granichni mnozhiniZvazhayuchi na diskretnist diyi orbita Gz displaystyle Gamma z tochki z u verhnij pivploshini pid diyeyu G displaystyle Gamma ne maye tochok zgushennya u verhnij pivploshini Mozhut odnak isnuvati granichni tochki na dijsnij osi Nehaj L G displaystyle Lambda Gamma granichna mnozhina grupi G displaystyle Gamma tobto mnozhina granichnih tochok Gz displaystyle Gamma z dlya z H displaystyle z in mathbb H Todi L G R displaystyle Lambda Gamma subseteq mathbb R cup infty Granichna mnozhina mozhe buti porozhnoyu abo skladatisya z odniyeyi chi dvoh tochok a mozhe skladatisya i z neskinchennogo chisla V ostannomu vipadku ye dva varianti Fuksova grupa pershogo tipu ce grupa dlya yakoyi granichna mnozhina ye zamknenoyu dijsnoyu pryamoyu R displaystyle mathbb R cup infty Ce traplyayetsya koli faktor prostir H G displaystyle mathbb H Gamma maye skinchennij ob yem ale ye fuksovi grupi pershogo rodu z neskinchennim koob yemom Inakshe kazhut sho fuksova grupa maye drugij tip Ekvivalentno ce grupa dlya yakoyi granichna mnozhina ye doskonaloyu mnozhinoyu tobto nide ne shilnoyu mnozhinoyu na R displaystyle mathbb R cup infty Oskilki ce nide ne shilna mnozhina to bud yaka granichna tochka dovilno blizka do deyakoyi vidkritoyi mnozhini sho ne nalezhit granichnij mnozhini Inshimi slovami granichna mnozhina ye mnozhinoyu Kantora Tip fuksovoyi grupi ne obov yazkovo maye buti tim samim yaksho rozglyadati yiyi yak klyajnovu grupu faktichno vsi fuksovi grupi ye klyajnovimi grupami drugogo tipu oskilki yihni granichni mnozhini yak klyajnovi grupi ye vlasnimi pidmnozhinami sferi Rimana sho mistyatsya v deyakomu koli PrikladiPriklad fuksovoyi grupi ce modulyarna grupa PSL 2 Z displaystyle mathrm PSL 2 mathbb Z Vona ye pidgrupoyu grupi PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 R sho skladayetsya z drobovo linijnih peretvoren abcd z az bcz d displaystyle begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix cdot z frac az b cz d de a b c d cili chisla Faktor prostir H PSL 2 Z displaystyle mathbb H mathrm PSL 2 mathbb Z ye prostorom moduliv eliptichnih krivih Fuksovi grupi vklyuchayut takozh grupi G n displaystyle Gamma n dlya kozhnogo n gt 0 Tut G n displaystyle Gamma n skladayetsya z drobovo linijnih peretvoren navedenogo vishe viglyadu de elementi matrici abcd displaystyle begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix porivnyanni z elementami odinichnoyi matrici za modulem n Kokompaktnim prikladom ye zvichajna en za obertannyami sho mistit vsi fuksovi grupi en ta poverhni Makbita yak i inshi Zagalnishe bud yaka giperbolichna pidgrupa z indeksom 2 vidpovidna ruham sho zberigayut oriyentaciyu ye fuksovoyu grupoyu Usi voni ye fuksovimi grupami pershogo rodu Usi giperbolichni ta parabolichni ciklichni pidgrupi grupi PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R fuksovi Bud yaka eliptichna ciklichna pidgrupa fuksova todi j lishe todi koli vona skinchenna Bud yaka abeleva fuksova grupa ciklichna Zhodna fuksova grupa ne izomorfna Z Z displaystyle mathbb Z times mathbb Z Nehaj G displaystyle Gamma neabeleva fuksova grupa Todi normalizator grupi G displaystyle Gamma v PSL 2 R displaystyle mathrm PSL 2 mathbb R fuksiv Metrichni vlastivostiYaksho h giperbolichnij element to dovzhina perenesennya L diyi grupi u verhnij pivploshini pov yazana zi slidom h yak 2 2 displaystyle 2 times 2 matrici vidnoshennyam trh 2cosh L2 displaystyle mathrm tr h 2 cosh frac L 2 Analogichna vlastivist maye misce dlya en vidpovidnoyi rimanovoyi poverhni yaksho fuksova grupa ne maye kruchennya ta kokompaktna Div takozh en en en PrimitkiPoincare 1882 Fuchs 1880 LiteraturaLazarus Fuchs Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen welche durch Umkehrung der Integrale von Losungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coeffizienten entstehen J Reine Angew Math 1880 T 89 S 151 169 Hershel M Farkas Irwin Kra See section 1 6 Theta Constants Riemann Surfaces and the Modular Group Providence RI American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 1392 8 Henryk Iwaniec See Chapter 2 Spectral Methods of Automorphic Forms Second Edition Providence RI America Mathematical Society 2002 T 53 ISBN 978 0 8218 3160 1 Svetlana Katok Fuchsian Groups Chicago University of Chicago Press 1992 ISBN 978 0 226 42583 2 David Mumford Caroline Series David Wright Cambridge University Press 2002 ISBN 978 0 521 35253 6 Peter J Nicholls The Ergodic Theory of Discrete Groups Cambridge Cambridge University Press 1989 T 143 London Mathematical Society Lecture Note Series ISBN 978 0 521 37674 7 Henri Poincare Theorie des groupes fuchsiens Springer Netherlands 1882 T 1 S 1 62 ISSN 0001 5962 DOI 10 1007 BF02592124 Ernest B Vinberg Matematicheskaya enciklopediya glavnyj redaktor I M Vinogradov Sovetstkaya enciklopediya 1977 T 5