Простір модулів

Простір модулів у алгебричній геометрії — геометричний простір (наприклад, схема, ^[en] або ^[en] простір), точки якого відповідають деякому класу алгебро-геометричних об'єктів ${\displaystyle A}$, факторизованому за деяким відношенням еквівалентності ${\displaystyle R}$. Такі простори часто виникають як розв'язки класифікаційних задач: якщо множина об'єктів, що цікавлять нас (наприклад, гладких кривих алгебраїчних роду ${\displaystyle g}$, що розглядаються з точністю до ізоморфізму), можна забезпечити структурою геометричного простору, можна параметризувати дані об'єкти, ввівши координати на цьому просторі. У цьому контексті термін «модулі» синонімічний терміну «параметри»: простори модулів спочатку розумілися як простори параметрів, а не простори об'єктів.

Історія

Теорія модулів виникла під час вивчення еліптичних функцій: існує сімейство різних полів еліптичних функцій (або їх моделей — неізоморфних еліптичних кривих над ${\displaystyle \mathbb {C} }$), параметризоване комплексними числами. Бернгард Ріман, якому належить і сам термін «модулі», показав, що компактні ріманові поверхні роду ${\displaystyle g\geqslant 2}$ залежать від ${\displaystyle 3g-3}$ комплексних параметрів — модулів.

Визначення

Нехай ${\displaystyle S}$ — деяка схема (комплексний або алгебричний простір). Сімейство об'єктів, параметризоване схемою ${\displaystyle S}$ (або, як часто кажуть, над ${\displaystyle S}$ або з базою ${\displaystyle S}$) — це набір об'єктів ${\displaystyle \{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\}}$, з додатковою структурою, узгодженою зі структурою бази ${\displaystyle S}$. Цю структуру в кожному конкретному випадку задають явно. Функтор модулів (або функтор сімейств) — це контраваріантний функтор ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ із категорії схем (або просторів) у категорію множин, що визначається так: ${\displaystyle {\mathcal {M}}(S)}$ — множина класів ізоморфних сімейств над ${\displaystyle S}$, а морфізму ${\displaystyle f:S\to T}$ зіставляється відображення ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)}$ за допомогою взяття індукованого сімейства.

Якщо функтор модулів ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ зображуваний за допомогою схеми (або простору) ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle M}$ називають тонким простором модулів для функтора ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. У цьому випадку існує універсальне сімейство ${\displaystyle U}$ з базою ${\displaystyle M}$, тобто довільне сімейство ${\displaystyle T}$ з базою ${\displaystyle S}$ індукується сімейством ${\displaystyle U}$ за допомогою єдиного відображення ${\displaystyle f:S\to M}$.

Функтор модулів є зображуваним у дуже небагатьох випадках, тому запроваджено також поняття грубого простору модулів. Схему ${\displaystyle M}$ називають грубим простором модулів для функтора ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, якщо існує натуральне перетворення ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)}$, таке, що

1. якщо ${\displaystyle K}$ — алгебрично замкнуте поле, то відображення ${\displaystyle \varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K,M)}$ бієктивне;
2. для довільної схеми ${\displaystyle M'}$ та природного перетворення ${\displaystyle \varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle \pi :M\to M'}$, такий, що для асоційованого природного перетворення ${\displaystyle \Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')}$ виконується ${\displaystyle \varphi =\Pi \circ \varphi '}$.

Інтуїтивно, замкнуті точки грубої схеми модулів відповідають елементам ${\displaystyle A/R}$, а геометрія цієї схеми відбиває те, як об'єкти класу ${\displaystyle A}$ можуть змінюватись у сімействах. З іншого боку, над грубою схемою модулів може не існувати універсального сімейства.

Приклади

Криві

Нехай ${\displaystyle A/R=\mathbf {M} _{g}}$ (відповідно, ${\displaystyle {\overline {\mathbf {M} _{g}}}}$) — множина класів ізоморфних проєктивних гладких зв'язних кривих (відповідно, ^[en]) роду ${\displaystyle g\geqslant 2}$ над алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle K}$. Сімейство над ${\displaystyle S}$ — це гладкий (плоский) власний морфізм ${\displaystyle f:X\to S}$, шарами якого є гладкі (стабільні) криві роду ${\displaystyle g}$. Тоді існує груба схема модулів ${\displaystyle M_{g}}$ (відповідно, ${\displaystyle {\overline {M_{g}}}}$), що є квазіпроєктивним (проєктивним) незвідним і нормальним многовидом над ${\displaystyle K}$.

Векторні розшарування

Нехай ${\displaystyle A/R}$ — множина класів ізоморфних векторних розшарувань рангу ${\displaystyle n}$ на алгебричному многовиді ${\displaystyle X}$. Сімейство над ${\displaystyle S}$ — це векторне розшарування на ${\displaystyle X\times S}$. У випадку, коли ${\displaystyle X}$ — це неособлива проєктивна крива над алгебрично замкнутим полем, існує нормальний проєктивний многовид ${\displaystyle {\overline {M_{d,n}}}}$, який є грубим простором модулів напівстабільних векторних розшарувань рангу ${\displaystyle n}$ та степеня ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle X}$. Стабільні векторні розшарування параметризуються відкритим гладким многовидом ${\displaystyle M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n}}}}$. Якщо ${\displaystyle d}$ і ${\displaystyle n}$ взаємно прості, ${\displaystyle M_{d,n}}$ збігається з ${\displaystyle {\overline {M_{d,n}}}}$ і є тонким простором модулів.

Примітки

1. Deligne, Pierre; Mumford, David. The irreducibility of the space of curves of given genus // Publications Mathématiques de l'IHÉS. — Paris, 1969. — Т. 36 (28 червня). — С. 75-109.
2. P. E. Newstead. Introduction to moduli problems and orbit spaces. — Springer-Verlag, 1978.

Література

• Модулей теория — стаття з МЭ. 
• Дж. Харрис, Я. Моррисон. Модули кривых. Вводный курс / пер. с англ. под ред. С. К. Ландо. — М. : Мир, 2004.
• К. Оконек, М. Шнайдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — М. : Мир, 1984.