Регулярний ідеал

В абстрактній алгебрі регулярний ідеал (також модулярний ідеал)— правий (лівий) ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ кільця R з властивістю: у кільці R знайдеться хоч би один такий елемент e, що для всіх елементів ${\displaystyle x\in R}$ виконується ${\displaystyle ex-x\in {\mathfrak {i}}}$ (відповідно ${\displaystyle xe-x\in {\mathfrak {i}}}$). Елемент e називається лівою (правою) одиницею по модулю ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$.

Двосторонній ідеал ${\displaystyle R{\mathfrak {i}}}$ є регулярним тоді і тільки тоді коли фактор-кільце ${\displaystyle A/{\mathfrak {i}}}$ є кільцем з одиницею. У кільці з одиницею e для довільного ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ виконується ${\displaystyle ex-x=0\in {\mathfrak {i}}}$ і ${\displaystyle xe-x=0\in {\mathfrak {i}}}$ для кожного ${\displaystyle x\in R}$, тобто довільний ідеал кільця з одиницею є регулярним.

Довільний власний регулярний правий (лівий) ідеал можна вкласти в максимальний правий (лівий) ідеал, який автоматично буде регулярним.

Перетин усіх максимальних регулярних правих ідеалів асоціативного кільця збігається з перетином усіх максимальних регулярних лівих ідеалів і є радикалом Джекобсона цього кільця.

Приклади

• В кільці парних цілих чисел (кільце без одиниці), ідеал (6) є регулярним (${\displaystyle e=4}$) тоді як ідеал (4) не є регулярним.

Джерела

• Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,М.: 1961.