У абстрактній алгебрі лемою Шаунеля називається твердження про властивості проективних модулів.
Твердження
Нехай є кільцем і послідовності
-модулів нижче є точними:
Якщо є проективними модулями то існує ізоморфізм
, між прямими сумами модулів.
Доведення
У попередніх позначеннях введемо підмодуль:
Відображення π : X → P, де π є проєкцією першої координати X на P, є сюр'єктивним. Оскільки φ' є сюр'єктивним, для будь-якого існує
для якого φ(p) = φ '(q). Таким чином одержується елемент
для якого π (p,q) = p. Для ядра відображення π маємо:
Тому існує коротка точна послідовність
Оскільки P є проективним модулем, ця послідовність розщеплюється, тобто X ≅ K' ⊕ P . Також можна розглянути інше відображення π : X → P'. Як і вище звідси одержується коротка точна послідовність:
і тому X ≅ P' ⊕ K. Разом із цих двох результатів випливає твердження теореми.
Примітки
- Louis H. Rowen: Ring Theory. Vol 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, (Pure and Applied Mathematics 127), Proposition 2.8.26
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U abstraktnij algebri lemoyu Shaunelya nazivayetsya tverdzhennya pro vlastivosti proektivnih moduliv TverdzhennyaNehaj R displaystyle R ye kilcem i poslidovnosti R displaystyle R moduliv nizhche ye tochnimi 0 K P f M 0 displaystyle 0 rightarrow K rightarrow P xrightarrow varphi M rightarrow 0 0 K P f M 0 displaystyle 0 rightarrow K rightarrow P xrightarrow varphi M rightarrow 0 Yaksho P P displaystyle P P ye proektivnimi modulyami to isnuye izomorfizm P K P K displaystyle P oplus K cong P oplus K mizh pryamimi sumami moduliv DovedennyaU poperednih poznachennyah vvedemo pidmodul X p q P P f p f q displaystyle X p q in P oplus P prime varphi p varphi prime q Vidobrazhennya p X P de p ye proyekciyeyu pershoyi koordinati X na P ye syur yektivnim Oskilki f ye syur yektivnim dlya bud yakogo p P displaystyle p in P isnuye q P displaystyle q in P dlya yakogo f p f q Takim chinom oderzhuyetsya element p q X displaystyle p q in X dlya yakogo p p q p Dlya yadra vidobrazhennya p mayemo ker p 0 q 0 q X 0 q ϕ q 0 ker ϕ K displaystyle begin aligned ker pi amp 0 q 0 q in X amp 0 q phi prime q 0 amp cong ker phi prime cong K prime end aligned Tomu isnuye korotka tochna poslidovnist 0 K X P 0 displaystyle 0 rightarrow K prime rightarrow X rightarrow P rightarrow 0 Oskilki P ye proektivnim modulem cya poslidovnist rozsheplyuyetsya tobto X K P Takozh mozhna rozglyanuti inshe vidobrazhennya p X P Yak i vishe zvidsi oderzhuyetsya korotka tochna poslidovnist 0 K X P 0 displaystyle 0 rightarrow K rightarrow X rightarrow P prime rightarrow 0 i tomu X P K Razom iz cih dvoh rezultativ viplivaye tverdzhennya teoremi PrimitkiLouis H Rowen Ring Theory Vol 1 Academic Press Inc Boston u a 1988 ISBN 0 12 599841 4 Pure and Applied Mathematics 127 Proposition 2 8 26Div takozhProektivnij modulLiteraturaGopalakrishnan N S 1984 Commutative Algebra Oxonian Press s 290 Rowen Louis H 1988 Ring theory Vol I Pure and Applied Mathematics t 127 Boston MA Academic Press Inc s xxiv 538 ISBN 0 12 599841 4 MR 0940245