Лема Шаунеля

У абстрактній алгебрі лемою Шаунеля називається твердження про властивості проективних модулів.

Твердження

Нехай ${\displaystyle R}$ є кільцем і послідовності ${\displaystyle R}$-модулів нижче є точними:

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow P{\xrightarrow {\ \varphi \ }}M\rightarrow 0}$

${\displaystyle 0\rightarrow K'\rightarrow P'{\xrightarrow {\ \varphi '\ }}M\rightarrow 0}$

Якщо ${\displaystyle P,P'}$ є проективними модулями то існує ізоморфізм ${\displaystyle P'\oplus K\cong P\oplus K'}$, між прямими сумами модулів.

Доведення

У попередніх позначеннях введемо підмодуль:

${\displaystyle X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\varphi (p)=\varphi ^{\prime }(q)\}.}$

Відображення π : X → P, де π є проєкцією першої координати X на P, є сюр'єктивним. Оскільки φ' є сюр'єктивним, для будь-якого ${\displaystyle p\in P}$ існує ${\displaystyle q\in P'}$для якого φ(p) = φ '(q). Таким чином одержується елемент ${\displaystyle (p,q)\in X}$ для якого π (p,q) = p. Для ядра відображення π маємо:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker \pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi ^{\prime }(q)=0\}\\&\cong \ker \phi ^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{aligned}}}$

Тому існує коротка точна послідовність

${\displaystyle 0\rightarrow K^{\prime }\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.}$

Оскільки P є проективним модулем, ця послідовність розщеплюється, тобто X ≅ K' ⊕ P . Також можна розглянути інше відображення π : X → P'. Як і вище звідси одержується коротка точна послідовність:

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P^{\prime }\rightarrow 0,}$

і тому X ≅ P' ⊕ K. Разом із цих двох результатів випливає твердження теореми.

Примітки

1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Vol 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, (Pure and Applied Mathematics 127), Proposition 2.8.26

Див. також

• Проективний модуль

Література

• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Rowen, Louis H. (1988), Ring theory. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, т. 127, Boston, MA: Academic Press Inc., с. xxiv+538, ISBN , MR 0940245