Когомологія пучків — результат використання гомологічної алгебри для дослідження глобальних перетинів пучків. Грубо кажучи, когомології пучків описують перешкоди до глобального вирішення геометричної проблеми, коли вона може бути вирішена локально.
Пучки, когомології пучків і були винайдені Жаном Лере, коли він перебував у таборі військовополонених в Австрії. Означення Лере були спрощені і переосмислені в 50-і роки. Стало зрозуміло, що когомології пучків не лише дають новий підхід до побудови теорії когомологій в алгебричній топології але є потужним методом у комплексній геометрії і алгебричній геометрії. У цих областях часто потрібно побудувати глобальні функції з заданими локальними властивостями, і когомології пучків прекрасно пристосовані для таких завдань. Багато більш ранніх результатів, таких як теорема Рімана — Роха і теорема Ходжа були узагальнені завдяки когомології пучків.
Означення
Категорія пучків абелевих груп на топологічному просторі X є абелевою категорією, тому має зміст питання, коли морфізм пучків f: B → C є ін'єктивним (мономорфізмом) або сюр'єктивним (епіморфізмом). Одна з можливих відповідей полягає в тому, що f є ін'єктивним (відповідно, є сюр'єктивним) тоді і тільки тоді, коли індукований гомоморфізм шарів Bx → Cx є ін'єктивним (відповідно, є сюр'єктивним) для кожної точки x в X. З цього випливає, що f є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли гомоморфізм B (U) → C (U) груп перетинів над U є ін'єктивним для кожної відкритої множини U в X. Ситуація з сюр'єктивністю є складнішою: морфізм f є сюр'єктивним тоді і тільки тоді, коли для кожної відкритої множини U в X, кожного перетину s пучка C над U і кожної точки x в U існує відкритий окіл V точки x в U, такий, що s, обмежений на V є образом деякого перетину B над V.
Виникає питання: для даної сюр'єкції f: B → C і перетину s пучка C над X, коли s є образом перетину B над X? Це питання є типовим для всіх глобальних задач в геометрії. Когомології пучків дають задовільну загальну відповідь. А саме, нехай A — ядро сюр'єкції B → C, що включається в коротку точну послідовність
пучків на X. Тоді існує довга точна послідовність абелевих груп, що називаються групами когомологій пучка:
де H0(X, A) — група A(X) глобальних перетинів A над X. Наприклад, якщо група H1(X, A) є нульовою, то з цієї точної послідовності випливає, що кожен глобальний перетин C піднімається до глобального перетину B. Більш загально, ця точна послідовність робить вивчення вищих груп когомологій основним інструментом для розуміння перетинів пучків.
Означення когомологій пучків, дане Гротендіком, що стало стандартним, використовує мову гомологічної алгебри. Його істотний момент полягає в тому, щоб зафіксувати топологічний простір X і розглядати когомології як функтором із категорії пучків абелевих груп на X в категорію абелевих груп. А саме, розглянемо функтор E ↦ E(X) з пучків абелевих груп на X в абелеві групи. Цей функтор є точним зліва, але, в загальному випадку, не точним справа. Групи Hi(X, E) для цілих j за означенням є правими похідними функторами функтора E ↦ E(X). З цього автоматично випливає, що Hi(X, E) є рівною нулю при i < 0, і що H0(X,E) — група глобальних перетинів E(X).
Означення похідних функторів використовує той факт, що в категорії пучків абелевих груп на довільному топологічному просторі X є досить багато ін'єктивних об'єктів; іншими словами, для будь-якого пучка E існує ін'єктивний пучок I і ін'єктивний морфізм E → I. З цього випливає, що для будь-якого пучка E існує ін'єктивна резольвента:
Групи когомологій пучка H i (X, E) — групи когомологій (ядро гомоморфізму по модулю образу попереднього гомоморфізму) комплексу абелевих груп:
Стандартними міркуваннями з гомологічної алгебри доводиться, що ці групи когомологій не залежать від вибору ін'єктивної резольвенти E.
Це означення рідко використовується безпосередньо для обчислення когомологій пучків. Проте, воно є досить загальним (будь-який пучок на будь-якому топологічному просторі) і з нього легко випливають формальні властивості когомоолгій пучків, такі як наведена вище довга точна послідовність. Для конкретних класів просторів або пучків існує безліч інструментів для обчислення когомологій, деякі з яких описані нижче.
Когомології з постійними коефіцієнтами
Для топологічного простору X і абелевої групи A сталим пучком A X називається пучок локально постійних функцій зі значеннями в A. Групи когомологій пучків Hj(X, AX) часто позначають просто як Hj(X,A), якщо це не викликає плутанини з іншими видами когомологій, такими як сингулярні когомології. Когомології пучків зі сталими коефіцієнтами утворюють контраваріантний функтор з топологічних просторів в абелеві групи.
Для будь-яких просторів X і Y і абелевої групи A, гомотопні відображення f і g з X в Y індукують однакові гомоморфізми когомологій пучків:
З цього випливає, що гомотопно еквівалентні простори мають ізоморфні пучкові когомології з постійними коефіцієнтами.
Нехай X — паракомпактний гаусдорфів простір, що є локально стягуваним, в тому сенсі, що кожен відкритий окіл U довільної точки x містить відкритий окіл V точки x, для якого вкладення V → U є гомотопним постійному відображенню. Тоді сингулярні когомології X з коефіцієнтами в абелевій групі A є ізоморфними когомології пучків H*(X,AX). Зокрема, це вірно, якщо X — топологічний многовид або CW-комплекс.
В'ялі і м'які пучки
Пучок абелевих груп E на топологічному просторі X називається ациклічним, якщо Hj(X, E) = 0 для всіх j > 0. З довгої точної послідовності когомологій пучків випливає, що когомології будь-якого пучка можна обчислювати за допомогою ациклічної резольвенти (замість ін'єктивної резольвенти). Ін'єктивні пучки є ациклічними але для обчислень корисно мати інші приклади ациклічних пучків.
Пучок E на X називається в'ялим, якщо будь-який перетин E на відкритій підмножині X може бути продовженим до перетину на всьому X. В'ялі пучки є ациклічними. Роже Годеман визначав когомології пучків за допомогою так званої канонічної резольвенти, що складається з в'ялих пучків. Оскільки в'ялі пучки є ациклічними, означення Годемана узгоджується з означенням, даним вище.
Пучок E на паракомпактному гаусдорфовому просторі X називається м'яким, якщо будь-який перетин обмеження E на замкнуту підмножину X може бути продовженим до перетину E на усьому X. М'які пучки є ациклічними.
Прикладами м'якого пучка є пучок дійснозначних неперервних функцій на паракомпактному гаусдорфовому просторі і пучок гладких (C∞) функцій на диференційовному многовиді. Більш загально, будь-який пучок модулів над м'яким пучком комутативних кілець є м'яким, наприклад пучок гладких перетинів векторного розшарування над гладким многовидом є м'яким.
Ці результати, зокрема, утворюють частину доведення теореми де Рама. Для гладкого многовиду X лема Пуанкаре стверджує, що комплекс де Рама є резольвентою постійного пучка RX :
де Ω X j — пучок гладких диференціальних j-форм і відображення ΩXj → ΩXj + 1 — зовнішній диференціал d. З наведених вище результатів випливає, що пучки ΩXj є м'якими і, отже, ациклічними. З цього випливає, що пучкові когомології X з дійсними коефіцієнтами є ізоморфними когомологіям де Рама X, заданим як когомології комплексу дійсних векторних просторів:
Інша частина теореми де Рама ідентифікує пучкові і сингулярні когомології X з дійсними коефіцієнтами: це є справедливим і в більш загальному випадку.
Когомології Чеха
когомологій Чеха — наближення до когомологій пучків, часто корисне для обчислень. А саме, нехай — відкрите покриття простору X попарно різними множинами
,
— пучок на X. Позначимо
. Коланцюг
зіставляє впорядкованого набору
елемент
. Кограничний гомоморфізм задається формулою
Проста стандартна перевірка показує, що . Це дозволяє ввести групу когомологій
— когомологій Чеха покриття
з коефіцієнтами в пучку
.
Існує природний гомоморфізм . Таким чином, когомологій Чеха є наближенням до когомологій пучків, що використовують тільки перетини
на перетинах скінченних підмножин відкритих множин
.
Якщо будь-який скінченний перетин V відкритих множин не має вищих когомологій з коефіцієнтами в E, тобто Hj (V, E) = 0 для всіх j> 0, то гомоморфізм з когомологій Чеха
в когомології пучків є ізоморфізмом.
Інший підхід до зв'язку когомологій Чеха з когомологіями пучків полягає в наступному. Групи когомологій Чеха визначаються як індуктивна границя
за всіма відкритими покриттями
(де покриття впорядковані по відношенню подрібнення). Існує гомоморфізм
з когомологій Чеха в когомології пучків, який є ізоморфізмом при j ≤ 1. для довільних топологічних просторів когомології Чеха можуть відрізнятися від когомологій пучків для вищих ступенів. Однак вони є ізоморфними для будь-якого пучка на паракомпактному гаусдорфовому просторі.
Примітки
- Miller, Haynes. «Leray in Oflag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences» [ 9 Вересня 2006 у Wayback Machine.], 2000..
- Iversen, 1986, Theorem II.3.1.
- Iversen та одна тисяча дев'ятсот вісімдесят шість, Theorem IV.1.1.
- Iversen, 1986, Theorem II.3.5.
- Iversen, 1986, Theorem II.3.6.
- Бредон, 1988, Теорема II.9.8.
- Прасолов, 2006.
- Годеман, 1961, розділ II.5.4.
- Годеман, 1961, розділ II.5.10.
Див. також
Література
- Г. Э. Бредон. Теория пучков. — Москва : Наука, 1988.
- Р. Годеман. Алгебраическая топология и теория пучков. — Москва : ИН.
- В. В. Прасолов. Элементы теории гомологий. — Москва : МЦНМО.
- Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — Москва : Мир, 1981.
- Iversen, Birger. Cohomology of Sheaves. — Springer-Verlag, 1986. — .
- Grothendieck, A. Sur quelques points d’algèbre homologique. — Т. 9, № 2. — С. 119–221.
- Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kogomologiya puchkiv rezultat vikoristannya gomologichnoyi algebri dlya doslidzhennya globalnih peretiniv puchkiv Grubo kazhuchi kogomologiyi puchkiv opisuyut pereshkodi do globalnogo virishennya geometrichnoyi problemi koli vona mozhe buti virishena lokalno Puchki kogomologiyi puchkiv i buli vinajdeni Zhanom Lere koli vin perebuvav u tabori vijskovopolonenih v Avstriyi Oznachennya Lere buli sprosheni i pereosmisleni v 50 i roki Stalo zrozumilo sho kogomologiyi puchkiv ne lishe dayut novij pidhid do pobudovi teoriyi kogomologij v algebrichnij topologiyi ale ye potuzhnim metodom u kompleksnij geometriyi i algebrichnij geometriyi U cih oblastyah chasto potribno pobuduvati globalni funkciyi z zadanimi lokalnimi vlastivostyami i kogomologiyi puchkiv prekrasno pristosovani dlya takih zavdan Bagato bilsh rannih rezultativ takih yak teorema Rimana Roha i teorema Hodzha buli uzagalneni zavdyaki kogomologiyi puchkiv OznachennyaKategoriya puchkiv abelevih grup na topologichnomu prostori X ye abelevoyu kategoriyeyu tomu maye zmist pitannya koli morfizm puchkiv f B C ye in yektivnim monomorfizmom abo syur yektivnim epimorfizmom Odna z mozhlivih vidpovidej polyagaye v tomu sho f ye in yektivnim vidpovidno ye syur yektivnim todi i tilki todi koli indukovanij gomomorfizm shariv Bx Cx ye in yektivnim vidpovidno ye syur yektivnim dlya kozhnoyi tochki x v X Z cogo viplivaye sho f ye in yektivnim todi i tilki todi koli gomomorfizm B U C U grup peretiniv nad U ye in yektivnim dlya kozhnoyi vidkritoyi mnozhini U v X Situaciya z syur yektivnistyu ye skladnishoyu morfizm f ye syur yektivnim todi i tilki todi koli dlya kozhnoyi vidkritoyi mnozhini U v X kozhnogo peretinu s puchka C nad U i kozhnoyi tochki x v U isnuye vidkritij okil V tochki x v U takij sho s obmezhenij na V ye obrazom deyakogo peretinu B nad V Vinikaye pitannya dlya danoyi syur yekciyi f B C i peretinu s puchka C nad X koli s ye obrazom peretinu B nad X Ce pitannya ye tipovim dlya vsih globalnih zadach v geometriyi Kogomologiyi puchkiv dayut zadovilnu zagalnu vidpovid A same nehaj A yadro syur yekciyi B C sho vklyuchayetsya v korotku tochnu poslidovnist 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 puchkiv na X Todi isnuye dovga tochna poslidovnist abelevih grup sho nazivayutsya grupami kogomologij puchka 0 H 0 X A H 0 X B H 0 X C H 1 X A displaystyle 0 to H 0 X A to H 0 X B to H 0 X C to H 1 X A to cdots de H0 X A grupa A X globalnih peretiniv A nad X Napriklad yaksho grupa H1 X A ye nulovoyu to z ciyeyi tochnoyi poslidovnosti viplivaye sho kozhen globalnij peretin C pidnimayetsya do globalnogo peretinu B Bilsh zagalno cya tochna poslidovnist robit vivchennya vishih grup kogomologij osnovnim instrumentom dlya rozuminnya peretiniv puchkiv Oznachennya kogomologij puchkiv dane Grotendikom sho stalo standartnim vikoristovuye movu gomologichnoyi algebri Jogo istotnij moment polyagaye v tomu shob zafiksuvati topologichnij prostir X i rozglyadati kogomologiyi yak funktorom iz kategoriyi puchkiv abelevih grup na X v kategoriyu abelevih grup A same rozglyanemo funktor E E X z puchkiv abelevih grup na X v abelevi grupi Cej funktor ye tochnim zliva ale v zagalnomu vipadku ne tochnim sprava Grupi Hi X E dlya cilih j za oznachennyam ye pravimi pohidnimi funktorami funktora E E X Z cogo avtomatichno viplivaye sho Hi X E ye rivnoyu nulyu pri i lt 0 i sho H0 X E grupa globalnih peretiniv E X Oznachennya pohidnih funktoriv vikoristovuye toj fakt sho v kategoriyi puchkiv abelevih grup na dovilnomu topologichnomu prostori X ye dosit bagato in yektivnih ob yektiv inshimi slovami dlya bud yakogo puchka E isnuye in yektivnij puchok I i in yektivnij morfizm E I Z cogo viplivaye sho dlya bud yakogo puchka E isnuye in yektivna rezolventa 0 E I 0 I 1 I 2 displaystyle 0 to E to I 0 to I 1 to I 2 to cdots Grupi kogomologij puchka H i X E grupi kogomologij yadro gomomorfizmu po modulyu obrazu poperednogo gomomorfizmu kompleksu abelevih grup 0 I 0 X I 1 X I 2 X displaystyle 0 to I 0 X to I 1 X to I 2 X to cdots Standartnimi mirkuvannyami z gomologichnoyi algebri dovoditsya sho ci grupi kogomologij ne zalezhat vid viboru in yektivnoyi rezolventi E Ce oznachennya ridko vikoristovuyetsya bezposeredno dlya obchislennya kogomologij puchkiv Prote vono ye dosit zagalnim bud yakij puchok na bud yakomu topologichnomu prostori i z nogo legko viplivayut formalni vlastivosti kogomoolgij puchkiv taki yak navedena vishe dovga tochna poslidovnist Dlya konkretnih klasiv prostoriv abo puchkiv isnuye bezlich instrumentiv dlya obchislennya kogomologij deyaki z yakih opisani nizhche Kogomologiyi z postijnimi koeficiyentamiDlya topologichnogo prostoru X i abelevoyi grupi A stalim puchkom A X nazivayetsya puchok lokalno postijnih funkcij zi znachennyami v A Grupi kogomologij puchkiv Hj X AX chasto poznachayut prosto yak Hj X A yaksho ce ne viklikaye plutanini z inshimi vidami kogomologij takimi yak singulyarni kogomologiyi Kogomologiyi puchkiv zi stalimi koeficiyentami utvoryuyut kontravariantnij funktor z topologichnih prostoriv v abelevi grupi Dlya bud yakih prostoriv X i Y i abelevoyi grupi A gomotopni vidobrazhennya f i g z X v Y indukuyut odnakovi gomomorfizmi kogomologij puchkiv f g H j Y A H j X A displaystyle f g H j Y A to H j X A Z cogo viplivaye sho gomotopno ekvivalentni prostori mayut izomorfni puchkovi kogomologiyi z postijnimi koeficiyentami Nehaj X parakompaktnij gausdorfiv prostir sho ye lokalno styaguvanim v tomu sensi sho kozhen vidkritij okil U dovilnoyi tochki x mistit vidkritij okil V tochki x dlya yakogo vkladennya V U ye gomotopnim postijnomu vidobrazhennyu Todi singulyarni kogomologiyi X z koeficiyentami v abelevij grupi A ye izomorfnimi kogomologiyi puchkiv H X AX Zokrema ce virno yaksho X topologichnij mnogovid abo CW kompleks V yali i m yaki puchkiPuchok abelevih grup E na topologichnomu prostori X nazivayetsya aciklichnim yaksho Hj X E 0 dlya vsih j gt 0 Z dovgoyi tochnoyi poslidovnosti kogomologij puchkiv viplivaye sho kogomologiyi bud yakogo puchka mozhna obchislyuvati za dopomogoyu aciklichnoyi rezolventi zamist in yektivnoyi rezolventi In yektivni puchki ye aciklichnimi ale dlya obchislen korisno mati inshi prikladi aciklichnih puchkiv Puchok E na X nazivayetsya v yalim yaksho bud yakij peretin E na vidkritij pidmnozhini X mozhe buti prodovzhenim do peretinu na vsomu X V yali puchki ye aciklichnimi Rozhe Godeman viznachav kogomologiyi puchkiv za dopomogoyu tak zvanoyi kanonichnoyi rezolventi sho skladayetsya z v yalih puchkiv Oskilki v yali puchki ye aciklichnimi oznachennya Godemana uzgodzhuyetsya z oznachennyam danim vishe Puchok E na parakompaktnomu gausdorfovomu prostori X nazivayetsya m yakim yaksho bud yakij peretin obmezhennya E na zamknutu pidmnozhinu X mozhe buti prodovzhenim do peretinu E na usomu X M yaki puchki ye aciklichnimi Prikladami m yakogo puchka ye puchok dijsnoznachnih neperervnih funkcij na parakompaktnomu gausdorfovomu prostori i puchok gladkih C funkcij na diferencijovnomu mnogovidi Bilsh zagalno bud yakij puchok moduliv nad m yakim puchkom komutativnih kilec ye m yakim napriklad puchok gladkih peretiniv vektornogo rozsharuvannya nad gladkim mnogovidom ye m yakim Ci rezultati zokrema utvoryuyut chastinu dovedennya teoremi de Rama Dlya gladkogo mnogovidu X lema Puankare stverdzhuye sho kompleks de Rama ye rezolventoyu postijnogo puchka RX 0 R X W X 0 W X 1 displaystyle 0 to mathbf R X to Omega X 0 to Omega X 1 to cdots de W X j puchok gladkih diferencialnih j form i vidobrazhennya WXj WXj 1 zovnishnij diferencial d Z navedenih vishe rezultativ viplivaye sho puchki WXj ye m yakimi i otzhe aciklichnimi Z cogo viplivaye sho puchkovi kogomologiyi X z dijsnimi koeficiyentami ye izomorfnimi kogomologiyam de Rama X zadanim yak kogomologiyi kompleksu dijsnih vektornih prostoriv 0 W X 0 X W X 1 X displaystyle 0 to Omega X 0 X to Omega X 1 X to cdots Insha chastina teoremi de Rama identifikuye puchkovi i singulyarni kogomologiyi X z dijsnimi koeficiyentami ce ye spravedlivim i v bilsh zagalnomu vipadku Kogomologiyi ChehaDokladnishe Kogomologiya Cheha kogomologij Cheha nablizhennya do kogomologij puchkiv chasto korisne dlya obchislen A same nehaj U U a displaystyle mathcal U U alpha vidkrite pokrittya prostoru X poparno riznimi mnozhinami U a displaystyle U alpha E displaystyle E puchok na X Poznachimo U a 0 a k U a 0 U a k displaystyle U alpha 0 ldots alpha k U alpha 0 cap ldots cap U alpha k Kolancyug c k C k U E displaystyle c k in C k mathcal U E zistavlyaye vporyadkovanogo naboru U a 0 U a k displaystyle U alpha 0 ldots U alpha k element c k U a 0 U a k E U a 0 a k displaystyle c k U alpha 0 ldots U alpha k in E U alpha 0 ldots alpha k Kogranichnij gomomorfizm zadayetsya formuloyu d c k U a 0 U a k 1 i 0 k 1 1 i c k U a 0 U a i U a k 1 U a 0 a k 1 displaystyle delta c k U alpha 0 ldots U alpha k 1 sum i 0 k 1 1 i c k U alpha 0 ldots hat U alpha i ldots U alpha k 1 U alpha 0 ldots alpha k 1 Prosta standartna perevirka pokazuye sho d d 0 displaystyle delta delta 0 Ce dozvolyaye vvesti grupu kogomologij H k U E displaystyle H k mathcal U E kogomologij Cheha pokrittya U displaystyle mathcal U z koeficiyentami v puchku E displaystyle E Isnuye prirodnij gomomorfizm H j U E H j X E displaystyle H j mathcal U E to H j X E Takim chinom kogomologij Cheha ye nablizhennyam do kogomologij puchkiv sho vikoristovuyut tilki peretini E displaystyle E na peretinah skinchennih pidmnozhin vidkritih mnozhin U a displaystyle U alpha Yaksho bud yakij skinchennij peretin V vidkritih mnozhin U a displaystyle U alpha ne maye vishih kogomologij z koeficiyentami v E tobto Hj V E 0 dlya vsih j gt 0 to gomomorfizm z kogomologij Cheha H j U E displaystyle H j mathcal U E v kogomologiyi puchkiv ye izomorfizmom Inshij pidhid do zv yazku kogomologij Cheha z kogomologiyami puchkiv polyagaye v nastupnomu Grupi kogomologij Cheha H ˇ j X E displaystyle check H j X E viznachayutsya yak induktivna granicya H j U E displaystyle H j mathcal U E za vsima vidkritimi pokrittyami U displaystyle mathcal U de pokrittya vporyadkovani po vidnoshennyu podribnennya Isnuye gomomorfizm H ˇ j X E H j X E displaystyle check H j X E to H j X E z kogomologij Cheha v kogomologiyi puchkiv yakij ye izomorfizmom pri j 1 dlya dovilnih topologichnih prostoriv kogomologiyi Cheha mozhut vidriznyatisya vid kogomologij puchkiv dlya vishih stupeniv Odnak voni ye izomorfnimi dlya bud yakogo puchka na parakompaktnomu gausdorfovomu prostori PrimitkiMiller Haynes Leray in Oflag XVIIA The origins of sheaf theory sheaf cohomology and spectral sequences 9 Veresnya 2006 u Wayback Machine 2000 Iversen 1986 Theorem II 3 1 Iversen ta odna tisyacha dev yatsot visimdesyat shist Theorem IV 1 1 Iversen 1986 Theorem II 3 5 Iversen 1986 Theorem II 3 6 Bredon 1988 Teorema II 9 8 Prasolov 2006 Godeman 1961 rozdil II 5 4 Godeman 1961 rozdil II 5 10 Div takozhKogomologiya Cheha Pohidnij funktor Puchok matematika LiteraturaG E Bredon Teoriya puchkov Moskva Nauka 1988 R Godeman Algebraicheskaya topologiya i teoriya puchkov Moskva IN V V Prasolov Elementy teorii gomologij Moskva MCNMO R Hartshorn Algebraicheskaya geometriya Moskva Mir 1981 Iversen Birger Cohomology of Sheaves Springer Verlag 1986 ISBN 978 3 540 16389 3 Grothendieck A Sur quelques points d algebre homologique T 9 2 S 119 221 Tennison B R 1975 Sheaf theory Cambridge University Press MR 0404390