Теорема Рімана — Роха

Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.

Допоміжні визначення

Нехай X — компактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів ${\displaystyle \operatorname {div} (X)}$ цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами ${\displaystyle \operatorname {div} (X)}$ є скінченні суми ${\displaystyle \sum n_{i}P_{i},\,n_{1}\in \mathbb {Z} ,P_{i}\in X}$. Дивізор ${\displaystyle D=\sum n_{i}P_{i}}$ називається додатним (позначається ${\displaystyle D\geq 0}$), якщо всі ${\displaystyle n_{i}\geq 0}$. Також використовується позначення ${\displaystyle D\geq D_{1}}$ якщо ${\displaystyle D-D_{1}\geq 0}$. Порядок дивізора ${\displaystyle \deg(D)}$ визначається як ${\displaystyle \deg(D)=\sum n_{i}}$. Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор ${\displaystyle \operatorname {div} (f)=\sum n_{i}P_{i}}$, де ${\displaystyle P_{i}}$ — нулі і полюси функції f і ${\displaystyle n_{i}=a}$, якщо ${\displaystyle P_{i}}$ — нуль порядку a і ${\displaystyle n_{i}=-a}$, якщо ${\displaystyle P_{i}}$ — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що ${\displaystyle D=\operatorname {div} (f)}$ називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо ${\displaystyle \omega }$ — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки ${\displaystyle \operatorname {div} (f\omega )=\operatorname {div} (f)+\operatorname {div} (\omega )}$ то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер

${\displaystyle L(D):=\left\{f\in M(X)\,|\,\operatorname {div} (f)+D\geq \;0\right\}}$.

Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається ${\displaystyle \ell (D)}$.

Твердження теореми

З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg D+1-g}$

Література

• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag,
• Shigeru Mukai; William Oxbury (translator) (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics. 81. New York: Cambridge University Press. .
• Misha Kapovich [ 8 серпня 2009 у Wayback Machine.], The Riemann-Roch Theorem [ 7 жовтня 2008 у Wayback Machine.]