В математиці, функтор Ext є похідним функтором функтора Hom. Разом із функтором Tor, Ext є одним із головних понять гомологічної алгебри. За допомогою цього функтора можна дати означення когомології груп, когомології алгебр Лі і когомології Хохшильда.
У випадку абелевих груп, Ext був введений Рейнхольдом Бером у 1934 році. Термін Ext був запропонований у 1942 році Ейленбергом і МакЛейном, які застосували це поняття у топології. Для модулів над довільним кільцем, означення функтора Ext було дане Картаном і Ейленбергом у 1956 році в книзі Homological Algebra.
Означення
Нехай R — кільце і R-Mod позначає категорію модулів над R. (Для некомутативних кілець це може бути категорія лівих R-модулів чи правих R-модулів.) Для деякого R-модуля A, позначимо T(B) = HomR(A, B) де B належить категорії R-Mod. Цей функтор є точним зліва функтором із категорії R-Mod у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує правий похідний функтор RiT. Групами Ext є абелеві групи за означенням рівні
для цілих чисел i.
Більш детально, нехай маємо деяку ін'єктивну резольвенту:
Відкинемо в ній елемент B, і утворимо коланцюговий комплекс:
Для кожного цілого числа i, ExtiR(A, B) є когомологією цього комплексу по порядку i. Для від'ємних i когомологія вважається рівною нулю. Наприклад, Ext0R(A, B) є ядром відображення HomR(A, I0) → HomR(A, I1), яке є ізоморфним HomR(A, B).
Еквівалентне означення використовує функтор G(A)=HomR(A, B), для деякого R-модуля B. У даному випадку маємо контраваріантний функтор, який можна розглядати як точний зліва функтор із оберненої категорії (R-Mod)op у категорію Ab. Групи Ext за означеннями є похідними функторами RiG:
В цьому випадку спершу вводиться проєктивна резольвента
Після вилучення A і утворення коланцюгового комплекса:
можна означити ExtiR(A, B) як когомологію цього комплексу в позиції i.
Описані вище побудови не залежать від вибору проєктивної чи ін'єктивної резольвенти і у всіх випадках отримуються однакові групи.
Для комутативного кільця R і R-модулів A і B, ExtiR(A, B) є R-модулем (використовуючи те, що HomR(A, B) є R-модулем у цьому випадку). Для некомутативного кільця R, ExtiR(A, B) є загалом лише абелевою групою. Якщо R є алгеброю над кільцем S (що, зокрема, означає, що S є комутативним кільцем), тоді ExtiR(A, B) є принаймні S-модулем.
Властивості Ext
- Ext0R(A, B) ≅ HomR(A, B).
- Exti
R(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо R-модуль A є проєктивним (наприклад, вільним) або якщо B є ін'єктивним.
- виконуються і обернені твердження:
- Якщо Ext1
R(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є проєктивним (і тому Exti
R(A, B) = 0 для всіх i > 0). - Якщо Ext1
R(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є ін'єктивним (і тому Exti
R(A, B) = 0 для всіх i > 0).
- Якщо Ext1
для всіх i ≥ 2 і всіх абелевих груп A і B.
- Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді
- для кожного R-модуля B. Тут B[u] позначає підгрупу у B, задану як {x ∈ B: ux = 0}. Якщо R є кільцем цілих чисел
за допомогою цих обчислень можна порахувати
для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.
- Згідно загальних властивостей похідних функторів, для Ext існують дві основні довгі точні послідовності. Спершу, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 R-модулів породжує довгу точну послідовність виду
- для будь-якого R-модуля A. Також, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 породжує довгу точну послідовність
- для будь-якого R-модуля B.
- Ext відображає прямі суми (можливо нескінченні) по першій змінній і прямі добутки по другій змінній у прямі добутки. Тобто,
- Нехай A скінченнопороджений модуль над комутативним нетеровим кільцем R. Тоді Ext комутує із операцією локалізації, тобто для кожної мультиплікативно замкнутої множини S у R, довільного R-модуля B і цілого числа i,
Ext і розширення
Еквівалентність розширень
Назва Ext походить від зв'язку із розширеннями модулів. Для R-модулів A і B, розширенням A за допомогою B називається коротка точна послідовність R-модулів
Два розширення
називаються еквівалентними (як розширення A за допомогою B) якщо існує комутативна діаграма
Середня стрілка при цьому є ізоморфізмом. Розширення A за допомогою B розщеплюється якщо воно є еквівалентним тривіальному розширенню
Існує бієкція між класами еквівалентності розширень A за допомогою B і елементами Ext0R(A, B). При цій бієкції тривіальні розширення відповідають нульовим елементам груп Ext1R(A, B).
Суми Бера розширень
Сума Бера є описом абелевої структури Ext1R(A, B), якщо її розглядати як клас еквівалентності розширення A за допомогою B. А саме, для двох розширень
і
спершу розглядається розшарований добуток над ,
Тоді можна взяти фактор-модуль
Сумою Бера E і E′ є розширення
де першим відображенням є а другим
.
Сума Бера є визначеною з точністю до еквівалентності, комутативною і нейтральним елементом є тривіальне розширення. Оберненим розширенням до розширення 0 → B → E → A → 0 є розширення із тим самим модулем E але із заміною гомоморфізму E → A на від'ємний.
Побудова Ext для абелевих категорій
Нобуо Йонеда ввів абелеві групи Extn
C(A, B) для об'єктів A і B в довільній абелевій категорії C; його означення узгоджується із означення в термінах резольвент якщо C має достатньо проєктивних чи ін'єктивних об'єктів. Спершу, Ext0R(A,B) = HomC(A, B). Далі, Ext1
C(A, B) є множиною класів еквівалентності розширення A за допомогою B, що є абелевою групою відносно суми Бера. Нарешті, групи Ext вищих порядків Extn
C(A, B) за означенням є класами еквівалентності n-розширень, тобто точними послідовностями
згідно відношення еквівалентності породженого рівностями між розширеннями виду
якщо існують відображення Xm → X′m для всіх m із {1, 2, ..., n} такі, що всі відповідні квадрати комутують, тобто якщо існує ланцюгове відображення ξ → ξ', що є рівним одиничному на A і B.
Сума Бера таких двох n-розширень утворюються введенням як розшарованого добутку
і
над A, і
як розшарованого кодобутку
і
під B. Тоді сума Бера розширень є рівною
Важливі окремі випадки
- Когомологія груп є рівною
, де G є групою, M є представлення G над цілими числами, і
є груповим кільцем G.
- Для алгебри A над кільцем k і A-бімодуля M, когомологія Хохшильда є рівною
- Когомологія алгебр Лі є рівною
, де
є алгеброю Лі над комутативним кільцем k, M є
-модуль, і
є універсальною обгортуючою алгеброю.
- Для топологічного простору X, когомологія пучків є рівною
Тут Ext розглядається у абелевій категорії пучків абелевих груп на X, і
є пучком локально сталих функцій із значенням у
(із дискретною топологією).
- Для локального кільця Нетер R із полем лишків k,
має структуру кокомутативної градуйованої алгебри Хопфа над k. Коли характеристика k є рівною 0, то ця алгебра є універсальною обгортуючою алгеброю когомології Андре — Квіллена D*(k/R,k) (що є градуйованою алгеброю Лі).
Див. також
Примітки
- Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.
- Weibel (1994), sections 2.4 і 2.5 і Theorem 2.7.6.
- Weibeil (1994), Lemma 3.3.1.
- Weibel (1994), означення 2.1.1.
- Weibel (1994), Proposition 3.3.4.
- Weibel (1994), Lemma 3.3.8.
- Weibel (1994), Theorem 3.4.3.
- Weibel (1994), Corollary 3.4.5.
- Weibel (1994), Vists 3.4.6. Some minor corrections is in errata.
- Quillen (1970), section 7.
Література
- Baer, Reinhold (1934), Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen, Mathematische Zeitschrift, 38(1): 375—416, doi:10.1007/BF01170643, Zbl 0009.01101
- Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN , MR 0077480
- Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), Group extensions and homology, Annals of Mathematics, 43: 757—931, MR 0007108
- Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings, Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Mat., т. 17, American Mathematical Society, с. 65—87, MR 0257068
- Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN , MR 1269324
- Weibel, Charles A. (1999), History of homological algebra, History of topology (PDF), Amsterdam: North-Holland, с. 797—836, MR 1721123
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici funktor Ext ye pohidnim funktorom funktora Hom Razom iz funktorom Tor Ext ye odnim iz golovnih ponyat gomologichnoyi algebri Za dopomogoyu cogo funktora mozhna dati oznachennya kogomologiyi grup kogomologiyi algebr Li i kogomologiyi Hohshilda U vipadku abelevih grup Ext buv vvedenij Rejnholdom Berom u 1934 roci Termin Ext buv zaproponovanij u 1942 roci Ejlenbergom i MakLejnom yaki zastosuvali ce ponyattya u topologiyi Dlya moduliv nad dovilnim kilcem oznachennya funktora Ext bulo dane Kartanom i Ejlenbergom u 1956 roci v knizi Homological Algebra OznachennyaNehaj R kilce i R Mod poznachaye kategoriyu moduliv nad R Dlya nekomutativnih kilec ce mozhe buti kategoriya livih R moduliv chi pravih R moduliv Dlya deyakogo R modulya A poznachimo T B HomR A B de B nalezhit kategoriyi R Mod Cej funktor ye tochnim zliva funktorom iz kategoriyi R Mod u kategoriyu abelevih grup Ab i tomu dlya nogo isnuye pravij pohidnij funktor RiT Grupami Ext ye abelevi grupi za oznachennyam rivni ExtRi A B RiT B displaystyle operatorname Ext R i A B R i T B dlya cilih chisel i Bilsh detalno nehaj mayemo deyaku in yektivnu rezolventu 0 B I0 I1 displaystyle 0 to B to I 0 to I 1 to cdots Vidkinemo v nij element B i utvorimo kolancyugovij kompleks 0 HomR A I0 HomR A I1 displaystyle 0 to operatorname Hom R A I 0 to operatorname Hom R A I 1 to cdots Dlya kozhnogo cilogo chisla i ExtiR A B ye kogomologiyeyu cogo kompleksu po poryadku i Dlya vid yemnih i kogomologiya vvazhayetsya rivnoyu nulyu Napriklad Ext0R A B ye yadrom vidobrazhennya HomR A I0 HomR A I1 yake ye izomorfnim HomR A B Ekvivalentne oznachennya vikoristovuye funktor G A HomR A B dlya deyakogo R modulya B U danomu vipadku mayemo kontravariantnij funktor yakij mozhna rozglyadati yak tochnij zliva funktor iz obernenoyi kategoriyi R Mod op u kategoriyu Ab Grupi Ext za oznachennyami ye pohidnimi funktorami RiG ExtRi A B RiG A displaystyle operatorname Ext R i A B R i G A V comu vipadku spershu vvoditsya proyektivna rezolventa P1 P0 A 0 displaystyle cdots to P 1 to P 0 to A to 0 Pislya viluchennya A i utvorennya kolancyugovogo kompleksa 0 HomR P0 B HomR P1 B displaystyle 0 to operatorname Hom R P 0 B to operatorname Hom R P 1 B to cdots mozhna oznachiti ExtiR A B yak kogomologiyu cogo kompleksu v poziciyi i Opisani vishe pobudovi ne zalezhat vid viboru proyektivnoyi chi in yektivnoyi rezolventi i u vsih vipadkah otrimuyutsya odnakovi grupi Dlya komutativnogo kilcya R i R moduliv A i B ExtiR A B ye R modulem vikoristovuyuchi te sho HomR A B ye R modulem u comu vipadku Dlya nekomutativnogo kilcya R ExtiR A B ye zagalom lishe abelevoyu grupoyu Yaksho R ye algebroyu nad kilcem S sho zokrema oznachaye sho S ye komutativnim kilcem todi ExtiR A B ye prinajmni S modulem Vlastivosti ExtExt0R A B HomR A B Exti R A B 0 dlya vsih i gt 0 yaksho R modul A ye proyektivnim napriklad vilnim abo yaksho B ye in yektivnim vikonuyutsya i oberneni tverdzhennya Yaksho Ext1 R A B 0 dlya vsih B todi A ye proyektivnim i tomu Exti R A B 0 dlya vsih i gt 0 Yaksho Ext1 R A B 0 dlya vsih A todi B ye in yektivnim i tomu Exti R A B 0 dlya vsih i gt 0 ExtZi A B 0 displaystyle operatorname Ext mathbb Z i A B 0 dlya vsih i 2 i vsih abelevih grup A i B Yaksho R ye komutativnim kilcem i element u ne ye dilnikom nulya todiExtRi R u B B u i 0B uBi 10otherwise displaystyle operatorname Ext R i R u B cong begin cases B u amp i 0 B uB amp i 1 0 amp text otherwise end cases dd dlya kozhnogo R modulya B Tut B u poznachaye pidgrupu u B zadanu yak x B ux 0 Yaksho R ye kilcem cilih chisel Z displaystyle mathbb Z za dopomogoyu cih obchislen mozhna porahuvati ExtZ1 A B displaystyle operatorname Ext mathbb Z 1 A B dlya bud yakoyi skinchennoporodzhenoyi abelevoyi grupi A Zgidno zagalnih vlastivostej pohidnih funktoriv dlya Ext isnuyut dvi osnovni dovgi tochni poslidovnosti Spershu korotka tochna poslidovnist 0 K L M 0 R moduliv porodzhuye dovgu tochnu poslidovnist vidu0 HomR A K HomR A L HomR A M ExtR1 A K ExtR1 A L displaystyle 0 to mathrm Hom R A K to mathrm Hom R A L to mathrm Hom R A M to mathrm Ext R 1 A K to mathrm Ext R 1 A L to cdots dd dlya bud yakogo R modulya A Takozh korotka tochna poslidovnist 0 K L M 0 porodzhuye dovgu tochnu poslidovnist0 HomR M B HomR L B HomR K B ExtR1 M B ExtR1 L B displaystyle 0 to mathrm Hom R M B to mathrm Hom R L B to mathrm Hom R K B to mathrm Ext R 1 M B to mathrm Ext R 1 L B to cdots dd dlya bud yakogo R modulya B Ext vidobrazhaye pryami sumi mozhlivo neskinchenni po pershij zminnij i pryami dobutki po drugij zminnij u pryami dobutki Tobto ExtRi aMa N aExtRi Ma N ExtRi M aNa aExtRi M Na displaystyle begin aligned operatorname Ext R i left bigoplus alpha M alpha N right amp cong prod alpha operatorname Ext R i M alpha N operatorname Ext R i left M prod alpha N alpha right amp cong prod alpha operatorname Ext R i M N alpha end aligned dd Nehaj A skinchennoporodzhenij modul nad komutativnim neterovim kilcem R Todi Ext komutuye iz operaciyeyu lokalizaciyi tobto dlya kozhnoyi multiplikativno zamknutoyi mnozhini S u R dovilnogo R modulya B i cilogo chisla i S 1ExtRi A B ExtS 1Ri S 1A S 1B displaystyle S 1 operatorname Ext R i A B cong operatorname Ext S 1 R i left S 1 A S 1 B right dd Ext i rozshirennyaEkvivalentnist rozshiren Nazva Ext pohodit vid zv yazku iz rozshirennyami moduliv Dlya R moduliv A i B rozshirennyam A za dopomogoyu B nazivayetsya korotka tochna poslidovnist R moduliv 0 B E A 0 displaystyle 0 to B to E to A to 0 Dva rozshirennya 0 B E A 0 displaystyle 0 to B to E to A to 0 0 B E A 0 displaystyle 0 to B to E to A to 0 nazivayutsya ekvivalentnimi yak rozshirennya A za dopomogoyu B yaksho isnuye komutativna diagrama Serednya strilka pri comu ye izomorfizmom Rozshirennya A za dopomogoyu B rozsheplyuyetsya yaksho vono ye ekvivalentnim trivialnomu rozshirennyu 0 B A B A 0 displaystyle 0 to B to A oplus B to A to 0 Isnuye biyekciya mizh klasami ekvivalentnosti rozshiren A za dopomogoyu B i elementami Ext0R A B Pri cij biyekciyi trivialni rozshirennya vidpovidayut nulovim elementam grup Ext1R A B Sumi Bera rozshiren Suma Bera ye opisom abelevoyi strukturi Ext1R A B yaksho yiyi rozglyadati yak klas ekvivalentnosti rozshirennya A za dopomogoyu B A same dlya dvoh rozshiren 0 B fE gA 0 displaystyle 0 to B xrightarrow f E xrightarrow g A to 0 i 0 B f E g A 0 displaystyle 0 to B xrightarrow f E xrightarrow g A to 0 spershu rozglyadayetsya rozsharovanij dobutok nad A displaystyle A G e e E E g e g e displaystyle Gamma left e e in E oplus E g e g e right Todi mozhna vzyati faktor modul Y G f b f b b B displaystyle Y Gamma f b f b b in B Sumoyu Bera E i E ye rozshirennya 0 B Y A 0 displaystyle 0 to B to Y to A to 0 de pershim vidobrazhennyam ye b f b 0 0 f b displaystyle b mapsto f b 0 0 f b a drugim e e g e g e displaystyle e e mapsto g e g e Suma Bera ye viznachenoyu z tochnistyu do ekvivalentnosti komutativnoyu i nejtralnim elementom ye trivialne rozshirennya Obernenim rozshirennyam do rozshirennya 0 B E A 0 ye rozshirennya iz tim samim modulem E ale iz zaminoyu gomomorfizmu E A na vid yemnij Pobudova Ext dlya abelevih kategorijNobuo Joneda vviv abelevi grupi Extn C A B dlya ob yektiv A i B v dovilnij abelevij kategoriyi C jogo oznachennya uzgodzhuyetsya iz oznachennya v terminah rezolvent yaksho C maye dostatno proyektivnih chi in yektivnih ob yektiv Spershu Ext0R A B HomC A B Dali Ext1 C A B ye mnozhinoyu klasiv ekvivalentnosti rozshirennya A za dopomogoyu B sho ye abelevoyu grupoyu vidnosno sumi Bera Nareshti grupi Ext vishih poryadkiv Extn C A B za oznachennyam ye klasami ekvivalentnosti n rozshiren tobto tochnimi poslidovnostyami 0 B Xn X1 A 0 displaystyle 0 to B to X n to cdots to X 1 to A to 0 zgidno vidnoshennya ekvivalentnosti porodzhenogo rivnostyami mizh rozshirennyami vidu 3 0 B Xn X1 A 03 0 B Xn X1 A 0 displaystyle begin aligned xi 0 amp to B to X n to cdots to X 1 to A to 0 xi 0 amp to B to X n to cdots to X 1 to A to 0 end aligned yaksho isnuyut vidobrazhennya Xm X m dlya vsih m iz 1 2 n taki sho vsi vidpovidni kvadrati komutuyut tobto yaksho isnuye lancyugove vidobrazhennya 3 3 sho ye rivnim odinichnomu na A i B Suma Bera takih dvoh n rozshiren utvoryuyutsya vvedennyam X1 displaystyle X 1 yak rozsharovanogo dobutku X1 displaystyle X 1 i X1 displaystyle X 1 nad A i Xn displaystyle X n yak rozsharovanogo kodobutku Xn displaystyle X n i Xn displaystyle X n pid B Todi suma Bera rozshiren ye rivnoyu 0 B Xn Xn 1 Xn 1 X2 X2 X1 A 0 displaystyle 0 to B to X n to X n 1 oplus X n 1 to cdots to X 2 oplus X 2 to X 1 to A to 0 Vazhlivi okremi vipadkiKogomologiya grup ye rivnoyu H G M ExtZ G Z M displaystyle H G M operatorname Ext mathbb Z G mathbb Z M de G ye grupoyu M ye predstavlennya G nad cilimi chislami i Z G displaystyle mathbb Z G ye grupovim kilcem G Dlya algebri A nad kilcem k i A bimodulya M kogomologiya Hohshilda ye rivnoyuHH A M ExtA kAop A M displaystyle HH A M operatorname Ext A otimes k A text op A M dd Kogomologiya algebr Li ye rivnoyu H g M ExtUg k M displaystyle H mathfrak g M operatorname Ext U mathfrak g k M de g displaystyle mathfrak g ye algebroyu Li nad komutativnim kilcem k M ye g displaystyle mathfrak g modul i Ug displaystyle U mathfrak g ye universalnoyu obgortuyuchoyu algebroyu Dlya topologichnogo prostoru X kogomologiya puchkiv ye rivnoyu H X A Ext ZX A displaystyle H X A operatorname Ext mathbb Z X A Tut Ext rozglyadayetsya u abelevij kategoriyi puchkiv abelevih grup na X i ZX displaystyle mathbb Z X ye puchkom lokalno stalih funkcij iz znachennyam u Z displaystyle mathbb Z iz diskretnoyu topologiyeyu Dlya lokalnogo kilcya Neter R iz polem lishkiv k ExtR k k displaystyle operatorname Ext R k k maye strukturu kokomutativnoyi gradujovanoyi algebri Hopfa nad k Koli harakteristika k ye rivnoyu 0 to cya algebra ye universalnoyu obgortuyuchoyu algebroyu kogomologiyi Andre Kvillena D k R k sho ye gradujovanoyu algebroyu Li Div takozhPohidnij funktor Funktor HomPrimitkiWeibel 1999 Cartan amp Eilenberg 1956 section VI 1 Weibel 1994 sections 2 4 i 2 5 i Theorem 2 7 6 Weibeil 1994 Lemma 3 3 1 Weibel 1994 oznachennya 2 1 1 Weibel 1994 Proposition 3 3 4 Weibel 1994 Lemma 3 3 8 Weibel 1994 Theorem 3 4 3 Weibel 1994 Corollary 3 4 5 Weibel 1994 Vists 3 4 6 Some minor corrections is in errata Quillen 1970 section 7 LiteraturaBaer Reinhold 1934 Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen Mathematische Zeitschrift 38 1 375 416 doi 10 1007 BF01170643 Zbl 0009 01101 Cartan Henri Eilenberg Samuel 1999 1956 Homological algebra Princeton Princeton University Press ISBN 0 691 04991 2 MR 0077480 Eilenberg Samuel MacLane Saunders 1942 Group extensions and homology Annals of Mathematics 43 757 931 MR 0007108 Quillen Daniel 1970 On the co homology of commutative rings Applications of categorical algebra Proc Symp Pure Mat t 17 American Mathematical Society s 65 87 MR 0257068 Weibel Charles A 1994 An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4 MR 1269324 Weibel Charles A 1999 History of homological algebra History of topology PDF Amsterdam North Holland s 797 836 MR 1721123