В геометрії та комплексному аналізі перетворення Мебіуса комплексної площини є раціональною функцією однієї комплексної змінної вигляду
Ця стаття є сирим з іншої мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. |
де — змінна, коефіцієнти , , , — комплексні числа, що задовольняють умову .
Геометрично перетворення Мебіуса можна отримати наступним шляхом:
- Виконати стереографічну проєкцію одиничної сфери у тривимірному просторі на площину.
- Повернути та перемістити сферу в нове положення та змінити орієнтацію в просторі.
- Виконати стереографічну проєкцію (з нового положення сфери) на площину.
Ці перетворення зберігають кути, відображають будь-яку пряму у пряму або коло, відображають будь-яке коло у пряму або коло.
Перетворення Мебіуса — це проєктивні перетворення комплексної проєктивної прямої. Вони утворюють групу, яка називається групою Мебіуса, що є проєктивною групою . Група Мебіуса разом з її підгрупами має численні застосування в математиці та фізиці.
Перетворення Мебіуса названо на честь Августа Фердинанда Мебіуса. Проте, для нього також використовують такі назви як: проєктивне перетворення, дробово-лінійне перетворення, або ж білінійне перетворення.
Загальний огляд
Перетворення Мебіуса визначаються на розширеній комплексній площині (тобто, комплексній площині, доповненій нескінченно віддаленою точкою).
Стереографічна проєкція ототожнює із сферою, яку прийнято називати сферою Рімана. Також можна розглядати як комплексну проєктивну лінію . Перетворення Мебіуса — це бієктивне конформне відображення сфери Рімана самої на себе, тобто автоморфізм сфери Рімана як комплексного многовиду. Також ці перетворення є автоморфізмами як алгебраїчного многовиду. Отже, сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює групу відносно композиції. Ця група називається групою Мебіуса і іноді позначається як .
Група Мебіуса є ізоморфною до групи ізометрій, що зберігають орієнтацію, гіперболічного простору (простору Лобачевського, а тому відіграє важливу роль при вивченні [en].
У фізиці [en]групи Лоренца діє на небесну сферу так само, як група Мебіуса діє на сферу Рімана. Насправді ж ці дві групи є ізоморфними. Спостерігач, який прискорюється до релятивістичних швидкостей, побачить візерунок із сузір'їв, який можна споглядати поблизу Землі, та який неперервно змінюється відповідно до інфінітезимальних перетворень Мебіуса. Це спостереження часто приймають як вихідну точку теорії твісторів.
Певні підгрупи групи Мебіуса утворюють групи автоморфізмів інших однозв'язних поверхонь Рімана (комплексна площина та гіперболічна площина). Таким чином, перетворення Мебіуса відіграють важливу роль у теорії поверхонь Рімана. Фундаментальна група кожної поверхні Рімана — це дискретна підгрупа групи Мебіуса (див. група Фукса та [en]). Особливо важливою дискретною підгрупою групи Мебіуса є модулярна група, що займає центральне місце в теорії багатьох фракталів, модулярних форм, еліптичних кривих та рівнянь Пелля.
Перетворення Мебіуса можна більш загально визначити в просторах розмірності більшої за 2 як бієктивні конформні відображення n-сфери на n-сферу, які зберігають орієнтацію. Таке перетворення є найбільш загальною формою конформного відображення сфери. Відповідно до теореми Ліувілля, перетворення Мебіуса можна виразити як композицію зсувів, подібностей, ортогональних перетворень та інверсій.
Означення
Загальний вигляд перетворення Мебіуса задається формулою
де , , , — будь-які комплексні числа, що задовольняють умову . Якщо , то визначена вище раціональна функція є константою, оскільки
a, отже, не розглядається у цьому випадку як перетворення Мебіуса.
У випадку це означення розширюється на всю сферу Рімана наступним чином:
Якщо , то вважаємо
Таким чином, перетворення Мебіуса завжди є бієктивною голоморфною функцією, що відображає точки сфери Рімана у точки сфери Рімана.
Сукупність усіх перетворень Мебіуса утворює групу відносно композиції. На цій групі можна задати структуру комплексного многовиду таким чином, щоб композиція та інверсія були голоморфними відображеннями. Тоді група Мебіуса є групою Лі над комплексним полем. Групу Мебіуса зазвичай позначають як , оскільки вона є групою автоморфізмів сфери Рімана.
Нерухомі точки
Кожне перетворення Мебіуса, що не є тотожним, має дві нерухомі точки й на сфері Рімана. Слід звернути увагу на те, що нерухомі точки враховуються з урахуванням кратності; параболічними перетвореннями є ті, для яких нерухомі точки збігаються. Будь-яка (або обидві) з цих нерухомих точок може бути нескінченно віддаленою точкою.
Означення нерухомих точок
Нерухомі точки перетворення
знаходяться як розв'язки рівняння . При це рівняння має два корені, які отримуємо за допомогою його зведення до рівняння вигляду
що є квадратним рівнянням відносно , корені якого можна знайти за [en]
з дискримінантом рівним
Параболічні перетворення мають співпадаючі нерухомі точки при нульовому дискримінанті. При та ненульовому дискримінанті перетворення є еліптичним або гіперболічним.
При квадратне рівняння вироджується у лінійне, а перетворення у свою чергу є лінійним. Це відповідає ситуації, коли одна з нерухомих точок є нескінченно віддаленою точкою. При друга нерухома точка є скінченною і визначається як
У цьому випадку перетворення буде простим, тобто таким, що утворюється композицією з зсувів, поворотів та [en]:
Якщо і , то обидві нерухомі точки є нескінченно віддаленими, і перетворення Мебіуса відповідає чистим зсувам:
- .
Топологічне доведення
Топологічно той факт, що (нетотожні) перетворення Мебіуса фіксують 2 точки (з урахуванням кратності), відповідає характеристиці Ейлера-Пуанкаре сфери, що дорівнює
По-перше, проєктивна лінійна група є точно -транзитивною: для будь-яких двох упорядкованих трійок різних точок існує єдине відображення, яке змінює одну трійку на іншу, як і для перетворень Мебіуса, і з тим самим алгебраїчним доведенням (особливо, врахування розмірності, оскільки група є тривимірною). Таким чином, будь-яке відображення, що фіксує принаймні точки, є тотожним.
Далі, ототожнюючи групу Мебіуса з групою , можна побачити, що будь-яка функція Мебіуса є гомотопічною до тотожної функції. Дійсно, будь-який елемент загальної лінійної групи може бути зведений до тотожного відображення за допомогою методу Жордана-Гауса. Це показує, що проєктивна лінійна група також є лінійно-зв'язною, забезпечуючи гомотопію до тотожного відображення. Теорема Лефшеца про нерухому точку стверджує, що сума індексів (у цьому контексті, кратності) нерухомих точок відображення з скінченною кількістю нерухомих точок дорівнює числу Лефшеца відображення, що в цьому випадку є слідом тотожного відображення на гомологічних групах, який є просто характеристикою Ейлера.
Зауважимо, що проєктивна лінійна група дійсної проєктивної прямої може не фіксувати жодних точок. Наприклад, не має (дійсних) нерухомих точок: хоча як комплексне перетворення воно фіксує точки , ; тоді як відображення фіксує дві точки і . Це відповідає тому факту, що характеристика Ейлера кола (дійсної проєктивної прямої) дорівнює , і, отже, теорема Лефшеца про нерухому точку говорить лише про те, що воно повинно фіксувати принаймні точок, але, можливо, і більше.
Нормальна форма
Перетворення Мебіуса також іноді записують через їхні нерухомі точки, тобто у так званій нормальній формі. Спочатку розглянемо непараболічний випадок, для якого існує дві різні нерухомі точки.
Непараболічний випадок:
Будь-яке непараболічне перетворення є спряженим до розтягу/повороту, тобто перетворенням вигляду:
з нерухомими точками та . Щоб показати це, розглянемо відображення
яке відображає точки і у точки та . Припускаємо, що точки і є різними та скінченними. Якщо одна з них є нескінченно віддаленою точкою, то можна змінити так, щоб зафіксувати нескінченність і відобразити іншу точку у .
Якщо має різні нерухомі точки і , то перетворення має нерухомі точки в та , а тому є розтягом: . Тоді рівняння для нерухомих точок перетворення можна записати наступним чином:
- .
Розв'язавши відносно отримуємо (у матричній формі):
- ,
або якщо одна з нерухомих точок є нескінченно віддаленою:
З наведених вище виразів можна обчислити значення похідної у нерухомих точках:
- .
Зауважимо, що фіксуючи порядок нерухомих точок, можемо виокремити один із множників відображення як характеристичну константу . Зміна порядку нерухомих точок еквівалентна до використання оберненого множника як характеристичної константи:
- .
Для локсодромних перетворень, при , говорять, що — відштовхувальна нерухома точка, а — притягальна нерухома точка. Для , ролі точок змінюються.
Параболічний випадок:
У параболічному випадку існує лише одна нерухома точка . Перетворення, що ставить цій точці у відповідність , має вигляд
- ,
або є тотожним, якщо вже є нескінченно віддаленою точкою. Перетворення фіксує нескінченність, а, отже, є зсувом:
- .
Тут називається довжиною зсуву. Тоді формула для нерухомої точки параболічного перетворення має вигляд
- .
Розв'язавши відносно отримуємо (у матричній формі):
або якщо :
Зауважимо, що не є характеристичною константою , яка завжди дорівнює для параболічного перетворення. З наведених співвідношень знаходимо:
- .
Полюси перетворень
Точка , яку відображає у нескінченно віддалену точку, називається полюсом . Обернений полюс — це точка, в яку відображається нескінченно віддалена точка. Точка, що знаходиться на однаковій відстані від двох полюсів, завжди збігається з точкою, що лежить рівно посередині між двома нерухомими точками:
- .
Ці чотири точки є вершинами паралелограма, який іноді називають характеристичним паралелограмом перетворення.
Перетворення можна визначити за допомогою двох нерухомих точок , та полюса :
- .
Це дозволяє нам отримати формулу для перетворення між та з урахуванням , :
що зводиться до вигляду
- .
Останнє співвідношення співпадає з однією (взаємнообернених) з часток власних значень матриці
- ,
що визначає перетворення (зверніть увагу на інформацію, наведену в попередньому розділі щодо характеристичних констант перетворення). Характеристичний поліном даного перетворення дорівнює
- ,
та має два корені
Прості перетворення Мебіуса та композиція
Перетворення Мебіуса можна представити як композицію послідовності простих перетворень. Нижченаведені прості перетворення також є перетвореннями Мебіуса:
- — паралельне перенесення;
- — комбінацією гомотетії та обертання; якщо , то перетворення є поворотом, а якщо — гомотетією;
- — інверсія та відбиття відносно дійсної осі.
Композиція простих перетворень
Якщо , то
- — паралельне перенесення на відстань ;
- — інверсія та відбиття відносно дійсної осі;
- — гомотетія та поворот;
- — паралельне перенесення на відстань .
Тоді композиція цих визначає перетворення Мебіуса:
Тобто
За допомогою цього представлення стають очевидними багато властивостей перетворень Мебіуса.
Елементарні властивості
Перетворення Мебіуса еквівалентні послідовності більш простих перетворень. З огляду на таку композиція багато властивостей перетворень Мебіуса є очевидними.
Формула для оберненого перетворення
Існування оберненого перетворення Мебіуса та його запис у явній формі можна легко вивести за допомогою композиції обернених функцій простіших перетворень. Тобто, визначимо функції , , , таким чином, щоб кожна була оберненою до . Тоді композиція
є формулою оберненого перетворення.
Збереження кутів та узагальнених кіл
З цього розкладу бачимо, що перетворення Мебіуса мають усі нетривіальні властивості інверсії кола. Наприклад, доведення властивості про збереження кутів зводиться до доведення того, що інверсія кола зберігає кути, оскільки інші типи перетворень — розтяги й ізометрії (паралельне перенесення, відбиття, поворот), які тривіально зберігають кути.
Крім того, перетворення Мебіуса відображають [en] в узагальнені кола, оскільки інверсія кола має цю властивість. Узагальнене коло — це або коло, або пряма; пряма розглядається як коло за рахунок точки на нескінченності. Зуважимо, що перетворення Мебіуса не обов'язково відображає кола у кола, а лінії у лінії: воно може перетворювати їх одне на одне. Навіть якщо перетворення відображає коло в інше коло, воно не обов'язково відображає центр першого кола у центр другого кола.
Збереження подвійного відношення
Подвійні відношення є інваріантними щодо перетворень Мебіуса. Тобто, якщо перетворення Мебіуса відображає чотири різні точки , , , відповідно у чотири різні точки , , , , то
Якщо одна з точок , , , є нескінченно віддаленою точкою, то подвійне відношення можна визначити, взявши відповідну границю; наприклад, подвійне відношення , , , буде дорівнювати
Подвійне відношення чотирьох різних точок є дійсним тоді і тільки тоді, коли через них проходить пряма або коло. Це інший шлях доведення того, що перетворення Мебіуса зберігають узагальнені кола.
Спряження
Дві точки і називаються спряженими відносно узагальненого кола , якщо задане узагальнене коло проходить через точки і , а також перетинає у двох точках та , так що точки перебувають у подвійному гармонійному відношенні (тобто їх подвійне відношення дорівнює ). Дана властивість не залежить від вибору кола , і іноді її називають симетричною відносно прямої чи кола.
Дві точки , є спряженими відносно деякої прямої, якщо вони є симетричними відносно неї. Дві точки є спряженими відносно кола, якщо вони відображаються одна в одну при інверсії відносно цього кола.
Точку , спряжену до , коли пряма визначається на основі вектора у точці , можна задати наступним чином:
Точку , спряжену до , коли є колом радіуса з центром у точці , можна визначити як
Оскільки перетворення Мебіуса зберігають узагальнені кола та подвійні відношення, вони зберігають також і спряження.
Проєктивні матричні представлення
Звичайна дія групи на комплексну проєктивну пряму це те ж саме, що і звичайна дія групи Мебіуса на сферу Рімана, де проективна лінія та сфера Рімана визначаються наступним чином:
Тут — однорідні координати на ; точка відповідає точці сфери Рімана. Використовуючи однорідні координати, можна спростити багато конкретних обчислень, що включають в себе перетворення Мебіуса, оскільки не потрібно розрізняти випадки, що стосуються .
З кожною невиродженою комплексною матрицею розміру
можемо пов'язати перетворення Мебіуса
Умова еквівалентна тому, що визначник вищезазначеної матриці не дорівнює нулю, тобто для матриці існує обернена.
Неважко перевірити, що в такому випадку добуток двох матриць можна ототожнити з композицією двох відповідних перетворень Мебіуса. Іншими словами, відображення
загальної лінійної групи на групу Мебіуса, що ставить у відповідність матриці перетворення , є гомоморфізмом груп.
Зауважимо, що будь-яка матриця, яка отримана шляхом множення матриці на комплексне число , визначає одне і те ж перетворення, тому перетворення Мебіуса визначає свою матрицю з точністю до сталих множників. Іншими словами: ядро складається з усіх скалярних множників одиничної матриці , і перша теорема про ізоморфізми теорії груп стверджує, що фактор-група є ізоморфною до групи Мебіуса. Ця фактор-група відома як проєктивна лінійна група і зазвичай позначається як ,
Те саме ототожнення групи з групою дробових лінійних перетворень та з групою проєктивних лінійних автоморфізмів проєктивної лінії має місце над будь-яким полем . Це цікаво з алгебраїчної точки зору, зокрема для скінченних полів, хоча випадок комплексних чисел є найбільш цікавим з геометричної точки зору).
Якщо обмежитися матрицями з визначниками рівними одиниці, то відображення в свою чергу обмежуватиметься сюр'єктивним відображенням (спеціальної лінійної групи) на групу Мебіуса; за цих обмежень ядро формується з плюс та мінус одиниці, а фактор-група , яка позначається як , також є ізоморфною групі Мебіуса:
Звідси випливає, що група Мебіуса — це тривимірна комплексна група Лі (або -вимірна дійсна група Лі). Це напівпроста [en] група Лі.
Зауважимо, що є рівно дві матриці з одиничним визначником, які можна використовувати для представлення будь-якого перетворення Мебіуса. Тобто є [en] для групи . Оскільки група є однозв'язною, то вона є [[Накриття (топологія) |універсальним накриттям]] для групи Мебіуса. Отже, для групи Мебіуса фундаментальною групою є група .
Визначення перетворення за трьома точками
Нехай задано набір з трьох різних точок , , на сфері Рімана й другий набір з різних точок , , , то існує лише одне перетворення Мебіуса таке, що для . (Іншими словами, дія групи Мебіуса на сферу Рімана є точно 3-транзитивною). Існує декілька способів визначити за заданим набором точок.
Відображення в , ,
Неважко перевірити, що перетворення Мебіуса
з матрицею
відображає , , в , та відповідно. Якщо одна з точок рівна , то правильну формулу для отримуємо з наведеної вище, поділивши спочатку всі елементи на , а потім перейшовши до границі при .
Якщо визначено аналогічно для відображення , , в , та , то матриця , яка відображає в , визначається як
Стабілізатор для (як невпорядкований набір) — це підгрупа, також відома як ангармонічна група.
Явна формула визначника
Рівняння
еквівалентне рівнянню звичайної гіперболи
на -площині. Таким чином, проблема побудови перетворення Мебіуса , що відображає трійку в іншу трійку , еквівалентна знаходженню коефіцієнтів , , , гіперболи, що проходить через точки . Явну формулу можна знайти, обчисливши визначник
застосовуючи теорему Лапласа до першого рядка. У результаті, отримуємо формули
для коефіцієнтів , , , , що утворюють матрицю
Побудована матриця має визначник, що дорівнює
який не рівний нулю, якщо (відповідно ) є попарно різними, тоді перетворення Мебіуса є добре визначеним. Якщо одна з точок або дорівнює , то спочатку ділимо всі чотири визначника на цю змінну, а потім переходимо до границі при прямувані цієї змінної до .
Підгрупи групи Мебіуса
Якщо накласти вимогу, що коефіцієнти , , , перетворення Мебіуса є дійсними числами та задовольняють умову , то в результаті отримаємо підгрупу групи Мебіуса, яка позначається як . Це група тих перетворень Мебіуса, які відображають верхню півплощину в саму себе; ці перетворення є еквівалентними групі всіх [en] (іншими словами: бієктивних, конформних та тих, що зберігають орієнтацію) відображень . Якщо ввести відповідну метрику, то верхня півплощина перетворюється на модель гіперболічної площини , модель Пуанкаре у верхній півплощині, а є групою всіх ізометрій у цій моделі, що зберігають орієнтацію.
Підгрупа групи всіх перетворень Мебіуса, що відображає відкритий диск в себе, складається з усіх перетворень вигляду
де , і . Ці перетворення еквівалентні групі всіх біголоморфних (іншими словами: бієктивних та тих, що зберігають орієнтацію й кути) відображень . Якщо ввести відповідну метрику, відкритий диск перетвориться на іншу модель гіперболічної площини, конформно-евклідову модель, а ця група є групою всіх ізометрій у цій моделі, що зберігають орієнтацією.
Оскільки обидві вищезазначені підгрупи є групами ізометрій
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi ta kompleksnomu analizi peretvorennya Mebiusa kompleksnoyi ploshini ye racionalnoyu funkciyeyu odniyeyi kompleksnoyi zminnoyi viglyaduPeretvorennya na kompleksnij ploshini sirim ta sferi Rimana chornim Cya stattya ye sirim perekladom z inshoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad f z az bcz d displaystyle f z frac az b cz d de z displaystyle z zminna koeficiyenti a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c d displaystyle d kompleksni chisla sho zadovolnyayut umovu ad bc 0 displaystyle ad bc neq 0 Geometrichno peretvorennya Mebiusa mozhna otrimati nastupnim shlyahom Vikonati stereografichnu proyekciyu odinichnoyi sferi u trivimirnomu prostori na ploshinu Povernuti ta peremistiti sferu v nove polozhennya ta zminiti oriyentaciyu v prostori Vikonati stereografichnu proyekciyu z novogo polozhennya sferi na ploshinu Ci peretvorennya zberigayut kuti vidobrazhayut bud yaku pryamu u pryamu abo kolo vidobrazhayut bud yake kolo u pryamu abo kolo Peretvorennya Mebiusa ce proyektivni peretvorennya kompleksnoyi proyektivnoyi pryamoyi Voni utvoryuyut grupu yaka nazivayetsya grupoyu Mebiusa sho ye proyektivnoyu grupoyu PGL 2 C displaystyle rm PGL 2 mathbb C Grupa Mebiusa razom z yiyi pidgrupami maye chislenni zastosuvannya v matematici ta fizici Peretvorennya Mebiusa nazvano na chest Avgusta Ferdinanda Mebiusa Prote dlya nogo takozh vikoristovuyut taki nazvi yak proyektivne peretvorennya drobovo linijne peretvorennya abo zh bilinijne peretvorennya Zagalnij oglyadPeretvorennya Mebiusa viznachayutsya na rozshirenij kompleksnij ploshini C C displaystyle mathbb widehat C mathbb C cup left infty right tobto kompleksnij ploshini dopovnenij neskinchenno viddalenoyu tochkoyu Stereografichna proyekciya ototozhnyuye C displaystyle mathbb widehat C iz sferoyu yaku prijnyato nazivati sferoyu Rimana Takozh C displaystyle mathbb widehat C mozhna rozglyadati yak kompleksnu proyektivnu liniyu CP1 displaystyle operatorname CP 1 Peretvorennya Mebiusa ce biyektivne konformne vidobrazhennya sferi Rimana samoyi na sebe tobto avtomorfizm sferi Rimana yak kompleksnogo mnogovidu Takozh ci peretvorennya ye avtomorfizmami CP1 displaystyle operatorname CP 1 yak algebrayichnogo mnogovidu Otzhe sukupnist usih peretvoren Mebiusa utvoryuye grupu vidnosno kompoziciyi Cya grupa nazivayetsya grupoyu Mebiusa i inodi poznachayetsya yak Aut C displaystyle operatorname Aut mathbb widehat C Grupa Mebiusa ye izomorfnoyu do grupi izometrij sho zberigayut oriyentaciyu giperbolichnogo prostoru prostoru Lobachevskogo a tomu vidigraye vazhlivu rol pri vivchenni en U fizici en grupi Lorenca diye na nebesnu sferu tak samo yak grupa Mebiusa diye na sferu Rimana Naspravdi zh ci dvi grupi ye izomorfnimi Sposterigach yakij priskoryuyetsya do relyativistichnih shvidkostej pobachit vizerunok iz suzir yiv yakij mozhna spoglyadati poblizu Zemli ta yakij neperervno zminyuyetsya vidpovidno do infinitezimalnih peretvoren Mebiusa Ce sposterezhennya chasto prijmayut yak vihidnu tochku teoriyi tvistoriv Pevni pidgrupi grupi Mebiusa utvoryuyut grupi avtomorfizmiv inshih odnozv yaznih poverhon Rimana kompleksna ploshina ta giperbolichna ploshina Takim chinom peretvorennya Mebiusa vidigrayut vazhlivu rol u teoriyi poverhon Rimana Fundamentalna grupa kozhnoyi poverhni Rimana ce diskretna pidgrupa grupi Mebiusa div grupa Fuksa ta en Osoblivo vazhlivoyu diskretnoyu pidgrupoyu grupi Mebiusa ye modulyarna grupa sho zajmaye centralne misce v teoriyi bagatoh fraktaliv modulyarnih form eliptichnih krivih ta rivnyan Pellya Peretvorennya Mebiusa mozhna bilsh zagalno viznachiti v prostorah rozmirnosti bilshoyi za 2 yak biyektivni konformni vidobrazhennya n sferi na n sferu yaki zberigayut oriyentaciyu Take peretvorennya ye najbilsh zagalnoyu formoyu konformnogo vidobrazhennya sferi Vidpovidno do teoremi Liuvillya peretvorennya Mebiusa mozhna viraziti yak kompoziciyu zsuviv podibnostej ortogonalnih peretvoren ta inversij OznachennyaZagalnij viglyad peretvorennya Mebiusa zadayetsya formuloyu f z az bcz d displaystyle f z frac az b cz d de a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c d displaystyle d bud yaki kompleksni chisla sho zadovolnyayut umovu ad bc 0 displaystyle ad bc neq 0 Yaksho ad bc displaystyle ad bc to viznachena vishe racionalna funkciya ye konstantoyu oskilki f z az bcz d a cz d c cz d ad bcc cz d ac displaystyle f z frac az b cz d frac a cz d c cz d frac ad bc c cz d frac a c a otzhe ne rozglyadayetsya u comu vipadku yak peretvorennya Mebiusa U vipadku c 0 displaystyle c neq 0 ce oznachennya rozshiryuyetsya na vsyu sferu Rimana nastupnim chinom f dc if ac displaystyle f left frac d c right infty qquad text i qquad f infty frac a c Yaksho c 0 displaystyle c 0 to vvazhayemo f displaystyle f infty infty Takim chinom peretvorennya Mebiusa zavzhdi ye biyektivnoyu golomorfnoyu funkciyeyu sho vidobrazhaye tochki sferi Rimana u tochki sferi Rimana Sukupnist usih peretvoren Mebiusa utvoryuye grupu vidnosno kompoziciyi Na cij grupi mozhna zadati strukturu kompleksnogo mnogovidu takim chinom shob kompoziciya ta inversiya buli golomorfnimi vidobrazhennyami Todi grupa Mebiusa ye grupoyu Li nad kompleksnim polem Grupu Mebiusa zazvichaj poznachayut yak Aut C displaystyle operatorname Aut mathbb widehat C oskilki vona ye grupoyu avtomorfizmiv sferi Rimana Neruhomi tochkiKozhne peretvorennya Mebiusa sho ne ye totozhnim maye dvi neruhomi tochki g1 displaystyle gamma 1 j g2 displaystyle gamma 2 na sferi Rimana Slid zvernuti uvagu na te sho neruhomi tochki vrahovuyutsya z urahuvannyam kratnosti parabolichnimi peretvorennyami ye ti dlya yakih neruhomi tochki zbigayutsya Bud yaka abo obidvi z cih neruhomih tochok mozhe buti neskinchenno viddalenoyu tochkoyu Oznachennya neruhomih tochok Neruhomi tochki peretvorennya f z az bcz d displaystyle f z frac az b cz d znahodyatsya yak rozv yazki rivnyannya f g g displaystyle f gamma gamma Pri c 0 displaystyle c neq 0 ce rivnyannya maye dva koreni yaki otrimuyemo za dopomogoyu jogo zvedennya do rivnyannya viglyadu cg2 a d g b 0 displaystyle c gamma 2 a d gamma b 0 sho ye kvadratnim rivnyannyam vidnosno g displaystyle gamma koreni yakogo mozhna znajti za en g1 2 a d a d 2 4bc2c a d D2c displaystyle gamma 1 2 frac a d pm sqrt a d 2 4bc 2c frac a d pm sqrt Delta 2c z diskriminantom rivnim D tr H 2 4detH a d 2 4 ad bc displaystyle Delta operatorname tr mathfrak H 2 4 det mathfrak H a d 2 4 ad bc Parabolichni peretvorennya mayut spivpadayuchi neruhomi tochki pri nulovomu diskriminanti Pri c 0 displaystyle c neq 0 ta nenulovomu diskriminanti peretvorennya ye eliptichnim abo giperbolichnim Pri c 0 displaystyle c 0 kvadratne rivnyannya virodzhuyetsya u linijne a peretvorennya u svoyu chergu ye linijnim Ce vidpovidaye situaciyi koli odna z neruhomih tochok ye neskinchenno viddalenoyu tochkoyu Pri a d displaystyle a neq d druga neruhoma tochka ye skinchennoyu i viznachayetsya yak g ba d displaystyle gamma frac b a d U comu vipadku peretvorennya bude prostim tobto takim sho utvoryuyetsya kompoziciyeyu z zsuviv povorotiv ta en z az b displaystyle z longmapsto alpha z beta Yaksho c 0 displaystyle c 0 i a d displaystyle a d to obidvi neruhomi tochki ye neskinchenno viddalenimi i peretvorennya Mebiusa vidpovidaye chistim zsuvam z z b displaystyle z longmapsto z beta Topologichne dovedennya Topologichno toj fakt sho netotozhni peretvorennya Mebiusa fiksuyut 2 tochki z urahuvannyam kratnosti vidpovidaye harakteristici Ejlera Puankare sferi sho dorivnyuye 2 displaystyle 2 x C 2 displaystyle chi big widehat mathbb C big 2 Po pershe proyektivna linijna grupa PGL 2 K displaystyle rm PGL 2 K ye tochno 3 displaystyle 3 tranzitivnoyu dlya bud yakih dvoh uporyadkovanih trijok riznih tochok isnuye yedine vidobrazhennya yake zminyuye odnu trijku na inshu yak i dlya peretvoren Mebiusa i z tim samim algebrayichnim dovedennyam osoblivo vrahuvannya rozmirnosti oskilki grupa ye trivimirnoyu Takim chinom bud yake vidobrazhennya sho fiksuye prinajmni 3 displaystyle 3 tochki ye totozhnim Dali ototozhnyuyuchi grupu Mebiusa z grupoyu PGL 2 C displaystyle rm PGL 2 mathbb C mozhna pobachiti sho bud yaka funkciya Mebiusa ye gomotopichnoyu do totozhnoyi funkciyi Dijsno bud yakij element zagalnoyi linijnoyi grupi mozhe buti zvedenij do totozhnogo vidobrazhennya za dopomogoyu metodu Zhordana Gausa Ce pokazuye sho proyektivna linijna grupa takozh ye linijno zv yaznoyu zabezpechuyuchi gomotopiyu do totozhnogo vidobrazhennya Teorema Lefsheca pro neruhomu tochku stverdzhuye sho suma indeksiv u comu konteksti kratnosti neruhomih tochok vidobrazhennya z skinchennoyu kilkistyu neruhomih tochok dorivnyuye chislu Lefsheca vidobrazhennya sho v comu vipadku ye slidom totozhnogo vidobrazhennya na gomologichnih grupah yakij ye prosto harakteristikoyu Ejlera Zauvazhimo sho proyektivna linijna grupa dijsnoyi proyektivnoyi pryamoyi PGL 2 R displaystyle rm PGL 2 mathbb R mozhe ne fiksuvati zhodnih tochok Napriklad 1 x1 x displaystyle frac 1 x 1 x ne maye dijsnih neruhomih tochok hocha yak kompleksne peretvorennya vono fiksuye tochki i displaystyle pm rm i todi yak vidobrazhennya 2x displaystyle 2x fiksuye dvi tochki 0 displaystyle 0 i displaystyle infty Ce vidpovidaye tomu faktu sho harakteristika Ejlera kola dijsnoyi proyektivnoyi pryamoyi dorivnyuye 0 displaystyle 0 i otzhe teorema Lefsheca pro neruhomu tochku govorit lishe pro te sho vono povinno fiksuvati prinajmni 0 displaystyle 0 tochok ale mozhlivo i bilshe Normalna forma Peretvorennya Mebiusa takozh inodi zapisuyut cherez yihni neruhomi tochki tobto u tak zvanij normalnij formi Spochatku rozglyanemo neparabolichnij vipadok dlya yakogo isnuye dvi rizni neruhomi tochki Neparabolichnij vipadok Bud yake neparabolichne peretvorennya ye spryazhenim do roztyagu povorotu tobto peretvorennyam viglyadu z kz displaystyle z longmapsto kz k C displaystyle k in mathbb C z neruhomimi tochkami 0 displaystyle 0 ta displaystyle infty Shob pokazati ce rozglyanemo vidobrazhennya g z z g1z g2 displaystyle g z frac z gamma 1 z gamma 2 yake vidobrazhaye tochki g1 displaystyle gamma 1 i g2 displaystyle gamma 2 u tochki 0 displaystyle 0 ta displaystyle infty Pripuskayemo sho tochki g1 displaystyle gamma 1 i g2 displaystyle gamma 2 ye riznimi ta skinchennimi Yaksho odna z nih ye neskinchenno viddalenoyu tochkoyu to g displaystyle g mozhna zminiti tak shob zafiksuvati neskinchennist i vidobraziti inshu tochku u 0 displaystyle 0 Yaksho f displaystyle f maye rizni neruhomi tochki g1 displaystyle gamma 1 i g2 displaystyle gamma 2 to peretvorennya gfg 1 displaystyle gfg 1 maye neruhomi tochki v 0 displaystyle 0 ta displaystyle infty a tomu ye roztyagom gfg 1 z kz displaystyle gfg 1 z kz Todi rivnyannya dlya neruhomih tochok peretvorennya f displaystyle f mozhna zapisati nastupnim chinom f z g1f z g2 k z g1z g2 displaystyle frac f z gamma 1 f z gamma 2 k cdot frac z gamma 1 z gamma 2 Rozv yazavshi vidnosno f displaystyle f otrimuyemo u matrichnij formi H k g1 g2 g1 kg2 k 1 g1g21 kkg1 g2 displaystyle mathfrak H k gamma 1 gamma 2 begin pmatrix gamma 1 k gamma 2 amp k 1 gamma 1 gamma 2 1 k amp k gamma 1 gamma 2 end pmatrix abo yaksho odna z neruhomih tochok ye neskinchenno viddalenoyu H k g k 1 k g01 displaystyle mathfrak H k gamma infty begin pmatrix k amp 1 k gamma 0 amp 1 end pmatrix Z navedenih vishe viraziv mozhna obchisliti znachennya pohidnoyi f displaystyle f u neruhomih tochkah f g1 kif g2 1k displaystyle f gamma 1 k qquad text i qquad f gamma 2 frac 1 k Zauvazhimo sho fiksuyuchi poryadok neruhomih tochok mozhemo viokremiti odin iz mnozhnikiv k displaystyle k vidobrazhennya f displaystyle f yak harakteristichnu konstantu f displaystyle f Zmina poryadku neruhomih tochok ekvivalentna do vikoristannya obernenogo mnozhnika yak harakteristichnoyi konstanti H k g1 g2 H 1k g2 g1 displaystyle mathfrak H k gamma 1 gamma 2 mathfrak H left frac 1 k gamma 2 gamma 1 right Dlya loksodromnih peretvoren pri k gt 1 displaystyle k gt 1 govoryat sho g1 displaystyle gamma 1 vidshtovhuvalna neruhoma tochka a g2 displaystyle gamma 2 prityagalna neruhoma tochka Dlya k lt 1 displaystyle k lt 1 roli tochok zminyuyutsya Parabolichnij vipadok U parabolichnomu vipadku isnuye lishe odna neruhoma tochka g displaystyle gamma Peretvorennya sho stavit cij tochci u vidpovidnist displaystyle infty maye viglyad g z 1z g displaystyle g z frac 1 z gamma abo ye totozhnim yaksho g displaystyle gamma vzhe ye neskinchenno viddalenoyu tochkoyu Peretvorennya gfg 1 displaystyle gfg 1 fiksuye neskinchennist a otzhe ye zsuvom gfg 1 z z b displaystyle gfg 1 z z beta Tut b displaystyle beta nazivayetsya dovzhinoyu zsuvu Todi formula dlya neruhomoyi tochki parabolichnogo peretvorennya maye viglyad 1f z g 1z g b displaystyle frac 1 f z gamma frac 1 z gamma beta Rozv yazavshi vidnosno f displaystyle f otrimuyemo u matrichnij formi H b g 1 gb bg2b1 gb displaystyle mathfrak H beta gamma begin pmatrix 1 gamma beta amp beta gamma 2 beta amp 1 gamma beta end pmatrix abo yaksho g displaystyle gamma infty H b 1b01 displaystyle mathfrak H beta infty begin pmatrix 1 amp beta 0 amp 1 end pmatrix Zauvazhimo sho b displaystyle beta ne ye harakteristichnoyu konstantoyu f displaystyle f yaka zavzhdi dorivnyuye 1 displaystyle 1 dlya parabolichnogo peretvorennya Z navedenih spivvidnoshen znahodimo f g 1 displaystyle f gamma 1 Polyusi peretvorenTochka z dc displaystyle z infty frac d c yaku H displaystyle mathfrak H vidobrazhaye u neskinchenno viddalenu tochku nazivayetsya polyusom H displaystyle mathfrak H Obernenij polyus Z ac displaystyle Z infty frac a c ce tochka v yaku vidobrazhayetsya neskinchenno viddalena tochka Tochka sho znahoditsya na odnakovij vidstani vid dvoh polyusiv zavzhdi zbigayetsya z tochkoyu sho lezhit rivno poseredini mizh dvoma neruhomimi tochkami g1 g2 z Z displaystyle gamma 1 gamma 2 z infty Z infty Ci chotiri tochki ye vershinami paralelograma yakij inodi nazivayut harakteristichnim paralelogramom peretvorennya Peretvorennya H displaystyle mathfrak H mozhna viznachiti za dopomogoyu dvoh neruhomih tochok g1 displaystyle gamma 1 g2 displaystyle gamma 2 ta polyusa z displaystyle z infty H Z g1g21 z Z g1 g2 z displaystyle mathfrak H begin pmatrix Z infty amp gamma 1 gamma 2 1 amp z infty end pmatrix qquad Z infty gamma 1 gamma 2 z infty Ce dozvolyaye nam otrimati formulu dlya peretvorennya mizh k displaystyle k ta z displaystyle z infty z urahuvannyam g1 displaystyle gamma 1 g2 displaystyle gamma 2 z kg1 g21 k displaystyle z infty frac k gamma 1 gamma 2 1 k k g2 z g1 z Z g1Z g2 a cg1a cg2 displaystyle k frac gamma 2 z infty gamma 1 z infty frac Z infty gamma 1 Z infty gamma 2 frac a c gamma 1 a c gamma 2 sho zvoditsya do viglyadu k a d a d 2 4bc a d a d 2 4bc displaystyle k frac a d sqrt a d 2 4bc a d sqrt a d 2 4bc Ostannye spivvidnoshennya spivpadaye z odniyeyu vzayemnoobernenih z chastok l1l2 displaystyle frac lambda 1 lambda 2 vlasnih znachen matrici H abcd displaystyle mathfrak H begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix sho viznachaye peretvorennya zvernit uvagu na informaciyu navedenu v poperednomu rozdili shodo harakteristichnih konstant peretvorennya Harakteristichnij polinom danogo peretvorennya dorivnyuye det lI2 H l2 tr Hl detH l2 a d l ad bc displaystyle det lambda I 2 mathfrak H lambda 2 operatorname tr mathfrak H lambda det mathfrak H lambda 2 a d lambda ad bc ta maye dva koreni li a d a d 2 4bc2 a d a d 2 4 ad bc 2 cgi d displaystyle lambda i frac a d pm sqrt a d 2 4bc 2 frac a d pm sqrt a d 2 4 ad bc 2 c gamma i d Prosti peretvorennya Mebiusa ta kompoziciyaPeretvorennya Mebiusa mozhna predstaviti yak kompoziciyu poslidovnosti prostih peretvoren Nizhchenavedeni prosti peretvorennya takozh ye peretvorennyami Mebiusa f z z b a 1 c 0 d 1 displaystyle f z z b a 1 c 0 d 1 paralelne perenesennya f z az b 0 c 0 d 1 displaystyle f z az quad b 0 c 0 d 1 kombinaciyeyu gomotetiyi ta obertannya yaksho a 1 displaystyle a 1 to peretvorennya ye povorotom a yaksho a R displaystyle a in mathbb R gomotetiyeyu f z 1z a 0 b 1 c 1 d 0 displaystyle f z frac 1 z quad a 0 b 1 c 1 d 0 inversiya ta vidbittya vidnosno dijsnoyi osi Kompoziciya prostih peretvoren Yaksho c 0 displaystyle c neq 0 to f1 z z dc displaystyle f 1 z z frac d c paralelne perenesennya na vidstan dc displaystyle frac d c f2 1z displaystyle f 2 frac 1 z inversiya ta vidbittya vidnosno dijsnoyi osi f3 bc adc2 z displaystyle f 3 frac bc ad c 2 cdot z gomotetiya ta povorot f4 z ac displaystyle f 4 z frac a c paralelne perenesennya na vidstan ac displaystyle frac a c Todi kompoziciya cih viznachaye peretvorennya Mebiusa f4 f3 f2 f1 z f z az bcz d displaystyle f 4 circ f 3 circ f 2 circ f 1 z f z frac az b cz d Tobto az bcz d ac ez dc dee bc adc2 displaystyle frac az b cz d frac a c frac e z frac d c qquad text de quad e frac bc ad c 2 Za dopomogoyu cogo predstavlennya stayut ochevidnimi bagato vlastivostej peretvoren Mebiusa Elementarni vlastivostiPeretvorennya Mebiusa ekvivalentni poslidovnosti bilsh prostih peretvoren Z oglyadu na taku kompoziciya bagato vlastivostej peretvoren Mebiusa ye ochevidnimi Formula dlya obernenogo peretvorennya Isnuvannya obernenogo peretvorennya Mebiusa ta jogo zapis u yavnij formi mozhna legko vivesti za dopomogoyu kompoziciyi obernenih funkcij prostishih peretvoren Tobto viznachimo funkciyi g1 displaystyle g 1 g2 displaystyle g 2 g3 displaystyle g 3 g4 displaystyle g 4 takim chinom shob kozhna gi displaystyle g i bula obernenoyu do fi displaystyle f i Todi kompoziciya g1 g2 g3 g4 z f 1 z dz b cz a displaystyle g 1 circ g 2 circ g 3 circ g 4 z f 1 z frac dz b cz a ye formuloyu obernenogo peretvorennya Zberezhennya kutiv ta uzagalnenih kil Z cogo rozkladu bachimo sho peretvorennya Mebiusa mayut usi netrivialni vlastivosti inversiyi kola Napriklad dovedennya vlastivosti pro zberezhennya kutiv zvoditsya do dovedennya togo sho inversiya kola zberigaye kuti oskilki inshi tipi peretvoren roztyagi j izometriyi paralelne perenesennya vidbittya povorot yaki trivialno zberigayut kuti Krim togo peretvorennya Mebiusa vidobrazhayut en v uzagalneni kola oskilki inversiya kola maye cyu vlastivist Uzagalnene kolo ce abo kolo abo pryama pryama rozglyadayetsya yak kolo za rahunok tochki na neskinchennosti Zuvazhimo sho peretvorennya Mebiusa ne obov yazkovo vidobrazhaye kola u kola a liniyi u liniyi vono mozhe peretvoryuvati yih odne na odne Navit yaksho peretvorennya vidobrazhaye kolo v inshe kolo vono ne obov yazkovo vidobrazhaye centr pershogo kola u centr drugogo kola Zberezhennya podvijnogo vidnoshennya Podvijni vidnoshennya ye invariantnimi shodo peretvoren Mebiusa Tobto yaksho peretvorennya Mebiusa vidobrazhaye chotiri rizni tochki z1 displaystyle z 1 z2 displaystyle z 2 z3 displaystyle z 3 z4 displaystyle z 4 vidpovidno u chotiri rizni tochki w1 displaystyle w 1 w2 displaystyle w 2 w3 displaystyle w 3 w4 displaystyle w 4 to z1 z3 z2 z4 z2 z3 z1 z4 w1 w3 w2 w4 w2 w3 w1 w4 displaystyle frac z 1 z 3 z 2 z 4 z 2 z 3 z 1 z 4 frac w 1 w 3 w 2 w 4 w 2 w 3 w 1 w 4 Yaksho odna z tochok z1 displaystyle z 1 z2 displaystyle z 2 z3 displaystyle z 3 z4 displaystyle z 4 ye neskinchenno viddalenoyu tochkoyu to podvijne vidnoshennya mozhna viznachiti vzyavshi vidpovidnu granicyu napriklad podvijne vidnoshennya z1 displaystyle z 1 z2 displaystyle z 2 z3 displaystyle z 3 displaystyle infty bude dorivnyuvati z1 z3 z2 z3 displaystyle frac z 1 z 3 z 2 z 3 Podvijne vidnoshennya chotiroh riznih tochok ye dijsnim todi i tilki todi koli cherez nih prohodit pryama abo kolo Ce inshij shlyah dovedennya togo sho peretvorennya Mebiusa zberigayut uzagalneni kola Spryazhennya Dvi tochki z1 displaystyle z 1 i z2 displaystyle z 2 nazivayutsya spryazhenimi vidnosno uzagalnenogo kola C displaystyle C yaksho zadane uzagalnene kolo D displaystyle D prohodit cherez tochki z1 displaystyle z 1 i z2 displaystyle z 2 a takozh peretinaye C displaystyle C u dvoh tochkah a displaystyle a ta b displaystyle b tak sho tochki z1 z2 a b displaystyle z 1 z 2 a b perebuvayut u podvijnomu garmonijnomu vidnoshenni tobto yih podvijne vidnoshennya dorivnyuye 1 displaystyle 1 Dana vlastivist ne zalezhit vid viboru kola D displaystyle D i inodi yiyi nazivayut simetrichnoyu vidnosno pryamoyi chi kola Dvi tochki z displaystyle z z displaystyle z ye spryazhenimi vidnosno deyakoyi pryamoyi yaksho voni ye simetrichnimi vidnosno neyi Dvi tochki ye spryazhenimi vidnosno kola yaksho voni vidobrazhayutsya odna v odnu pri inversiyi vidnosno cogo kola Tochku z displaystyle z spryazhenu do z displaystyle z koli pryama L displaystyle L viznachayetsya na osnovi vektora ei8 displaystyle rm e rm i theta u tochci z0 displaystyle z 0 mozhna zadati nastupnim chinom z e2i8z z0 z0 displaystyle z e 2i theta overline z z 0 z 0 Tochku z displaystyle z spryazhenu do z displaystyle z koli C displaystyle C ye kolom radiusa r displaystyle r z centrom u tochci z0 displaystyle z 0 mozhna viznachiti yak z r2z z0 z0 displaystyle z frac r 2 overline z z 0 z 0 Oskilki peretvorennya Mebiusa zberigayut uzagalneni kola ta podvijni vidnoshennya voni zberigayut takozh i spryazhennya Proyektivni matrichni predstavlennya Zvichajna diya grupi PGL 2 C displaystyle rm PGL 2 mathbb C na kompleksnu proyektivnu pryamu CP1 displaystyle mathbb CP 1 ce te zh same sho i zvichajna diya grupi Mebiusa na sferu Rimana de proektivna liniya CP1 displaystyle mathbb CP 1 ta sfera Rimana viznachayutsya nastupnim chinom z1 z2 z1 z2 1 displaystyle z 1 z 2 sim z 1 z 2 1 Tut z1 z2 displaystyle z 1 z 2 odnoridni koordinati na CP1 displaystyle mathbb CP 1 tochka 1 0 displaystyle 1 0 vidpovidaye tochci displaystyle infty sferi Rimana Vikoristovuyuchi odnoridni koordinati mozhna sprostiti bagato konkretnih obchislen sho vklyuchayut v sebe peretvorennya Mebiusa oskilki ne potribno rozriznyati vipadki sho stosuyutsya displaystyle infty Z kozhnoyu nevirodzhenoyu kompleksnoyu matriceyu rozmiru 2 2 displaystyle 2 times 2 H acbd displaystyle mathfrak H begin pmatrix a amp c b amp d end pmatrix mozhemo pov yazati peretvorennya Mebiusa z 1 acbd az b cz d az bcz d 1 f z displaystyle z 1 begin pmatrix a amp c b amp d end pmatrix az b cz d left frac az b cz d 1 right f z Umova ad bc 0 displaystyle ad bc neq 0 ekvivalentna tomu sho viznachnik vishezaznachenoyi matrici ne dorivnyuye nulyu tobto dlya matrici isnuye obernena Nevazhko pereviriti sho v takomu vipadku dobutok dvoh matric mozhna ototozhniti z kompoziciyeyu dvoh vidpovidnih peretvoren Mebiusa Inshimi slovami vidobrazhennya p GL 2 C Aut C displaystyle pi colon operatorname GL 2 mathbb C to operatorname Aut widehat mathbb C zagalnoyi linijnoyi grupi GL 2 C displaystyle operatorname GL 2 mathbb C na grupu Mebiusa sho stavit u vidpovidnist matrici H displaystyle mathfrak H peretvorennya f displaystyle f ye gomomorfizmom grup Zauvazhimo sho bud yaka matricya yaka otrimana shlyahom mnozhennya matrici H displaystyle mathfrak H na kompleksne chislo l displaystyle lambda viznachaye odne i te zh peretvorennya tomu peretvorennya Mebiusa viznachaye svoyu matricyu z tochnistyu do stalih mnozhnikiv Inshimi slovami yadro p displaystyle pi skladayetsya z usih skalyarnih mnozhnikiv odinichnoyi matrici I displaystyle I i persha teorema pro izomorfizmi teoriyi grup stverdzhuye sho faktor grupa GL 2 C C 0 I displaystyle operatorname GL 2 mathbb C mathbb C 0 I ye izomorfnoyu do grupi Mebiusa Cya faktor grupa vidoma yak proyektivna linijna grupa i zazvichaj poznachayetsya yak PGL 2 C displaystyle rm PGL 2 mathbb C Aut C PGL 2 C displaystyle operatorname Aut widehat mathbb C cong operatorname PGL 2 mathbb C Te same ototozhnennya grupi PGL 2 K displaystyle rm PGL 2 mathbb K z grupoyu drobovih linijnih peretvoren ta z grupoyu proyektivnih linijnih avtomorfizmiv proyektivnoyi liniyi maye misce nad bud yakim polem K displaystyle mathbb K Ce cikavo z algebrayichnoyi tochki zoru zokrema dlya skinchennih poliv hocha vipadok kompleksnih chisel ye najbilsh cikavim z geometrichnoyi tochki zoru Yaksho obmezhitisya matricyami H displaystyle mathfrak H z viznachnikami rivnimi odinici to vidobrazhennya p displaystyle pi v svoyu chergu obmezhuvatimetsya syur yektivnim vidobrazhennyam specialnoyi linijnoyi grupi SL 2 C displaystyle operatorname SL 2 mathbb C na grupu Mebiusa za cih obmezhen yadro formuyetsya z plyus ta minus odinici a faktor grupa SL 2 C I displaystyle operatorname SL 2 mathbb C pm I yaka poznachayetsya yak PSL 2 C displaystyle operatorname PSL 2 mathbb C takozh ye izomorfnoyu grupi Mebiusa Aut C PSL 2 C displaystyle operatorname Aut widehat mathbb C cong operatorname PSL 2 mathbb C Zvidsi viplivaye sho grupa Mebiusa ce trivimirna kompleksna grupa Li abo 6 displaystyle 6 vimirna dijsna grupa Li Ce napivprosta en grupa Li Zauvazhimo sho ye rivno dvi matrici z odinichnim viznachnikom yaki mozhna vikoristovuvati dlya predstavlennya bud yakogo peretvorennya Mebiusa Tobto SL 2 C displaystyle operatorname SL 2 mathbb C ye en dlya grupi PSL 2 C displaystyle operatorname PSL 2 mathbb C Oskilki grupa SL 2 C displaystyle operatorname SL 2 mathbb C ye odnozv yaznoyu to vona ye Nakrittya topologiya universalnim nakrittyam dlya grupi Mebiusa Otzhe dlya grupi Mebiusa fundamentalnoyu grupoyu ye grupa Z2 displaystyle mathbb Z 2 Viznachennya peretvorennya za troma tochkami Nehaj zadano nabir z troh riznih tochok z1 displaystyle z 1 z2 displaystyle z 2 z3 displaystyle z 3 na sferi Rimana j drugij nabir z riznih tochok w1 displaystyle w 1 w2 displaystyle w 2 w3 displaystyle w 3 to isnuye lishe odne peretvorennya Mebiusa f z displaystyle f z take sho f zi wi displaystyle f z i w i dlya i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 Inshimi slovami diya grupi Mebiusa na sferu Rimana ye tochno 3 tranzitivnoyu Isnuye dekilka sposobiv viznachiti f z displaystyle f z za zadanim naborom tochok Vidobrazhennya v 0 displaystyle 0 1 displaystyle 1 displaystyle infty Nevazhko pereviriti sho peretvorennya Mebiusa f1 z z z1 z2 z3 z z3 z2 z1 displaystyle f 1 z frac z z 1 z 2 z 3 z z 3 z 2 z 1 z matriceyu H1 z2 z3 z1 z2 z3 z2 z1 z3 z2 z1 displaystyle mathfrak H 1 begin pmatrix z 2 z 3 amp z 1 z 2 z 3 z 2 z 1 amp z 3 z 2 z 1 end pmatrix vidobrazhaye z1 displaystyle z 1 z2 displaystyle z 2 z3 displaystyle z 3 v 0 displaystyle 0 1 displaystyle 1 ta displaystyle infty vidpovidno Yaksho odna z tochok zi displaystyle z i rivna displaystyle infty to pravilnu formulu dlya H1 displaystyle mathfrak H 1 otrimuyemo z navedenoyi vishe podilivshi spochatku vsi elementi na zi displaystyle z i a potim perejshovshi do granici pri zi displaystyle z i rightarrow infty Yaksho H2 displaystyle mathfrak H 2 viznacheno analogichno dlya vidobrazhennya w1 displaystyle w 1 w2 displaystyle w 2 w3 displaystyle w 3 v 0 displaystyle 0 1 displaystyle 1 ta displaystyle infty to matricya H displaystyle mathfrak H yaka vidobrazhaye z1 2 3 displaystyle z 1 2 3 v w1 2 3 displaystyle w 1 2 3 viznachayetsya yak H H2 1H1 displaystyle mathfrak H mathfrak H 2 1 mathfrak H 1 Stabilizator dlya 0 1 displaystyle 0 1 infty yak nevporyadkovanij nabir ce pidgrupa takozh vidoma yak angarmonichna grupa Yavna formula viznachnika Rivnyannya w az bcz d displaystyle w frac az b cz d ekvivalentne rivnyannyu zvichajnoyi giperboli cwz az dw b 0 displaystyle cwz az dw b 0 na z w displaystyle z w ploshini Takim chinom problema pobudovi peretvorennya Mebiusa H z displaystyle mathfrak H z sho vidobrazhaye trijku z1 z2 z3 displaystyle z 1 z 2 z 3 v inshu trijku w1 w2 w3 displaystyle w 1 w 2 w 3 ekvivalentna znahodzhennyu koeficiyentiv a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c d displaystyle d giperboli sho prohodit cherez tochki zi wi displaystyle z i w i Yavnu formulu mozhna znajti obchislivshi viznachnik det zwzw1z1w1z1w11z2w2z2w21z3w3z3w31 displaystyle det begin pmatrix zw amp z amp w amp 1 z 1 w 1 amp z 1 amp w 1 amp 1 z 2 w 2 amp z 2 amp w 2 amp 1 z 3 w 3 amp z 3 amp w 3 amp 1 end pmatrix zastosovuyuchi teoremu Laplasa do pershogo ryadka U rezultati otrimuyemo formuli a det z1w1w11z2w2w21z3w3w31 displaystyle a det begin pmatrix z 1 w 1 amp w 1 amp 1 z 2 w 2 amp w 2 amp 1 z 3 w 3 amp w 3 amp 1 end pmatrix b det z1w1z1w1z2w2z2w2z3w3z3w3 displaystyle b det begin pmatrix z 1 w 1 amp z 1 amp w 1 z 2 w 2 amp z 2 amp w 2 z 3 w 3 amp z 3 amp w 3 end pmatrix c det z1w11z2w21z3w31 displaystyle c det begin pmatrix z 1 amp w 1 amp 1 z 2 amp w 2 amp 1 z 3 amp w 3 amp 1 end pmatrix d det z1w1z11z2w2z21z3w3z31 displaystyle d det begin pmatrix z 1 w 1 amp z 1 amp 1 z 2 w 2 amp z 2 amp 1 z 3 w 3 amp z 3 amp 1 end pmatrix dlya koeficiyentiv a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c d displaystyle d sho utvoryuyut matricyu H abcd displaystyle mathfrak H begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix Pobudovana matricya H displaystyle mathfrak H maye viznachnik sho dorivnyuye z1 z2 z1 z3 z2 z3 w1 w2 w1 w3 w2 w3 displaystyle z 1 z 2 z 1 z 3 z 2 z 3 w 1 w 2 w 1 w 3 w 2 w 3 yakij ne rivnij nulyu yaksho wi displaystyle w i vidpovidno zi displaystyle z i ye poparno riznimi todi peretvorennya Mebiusa ye dobre viznachenim Yaksho odna z tochok zi displaystyle z i abo wi displaystyle w i dorivnyuye displaystyle infty to spochatku dilimo vsi chotiri viznachnika na cyu zminnu a potim perehodimo do granici pri pryamuvani ciyeyi zminnoyi do displaystyle infty Pidgrupi grupi MebiusaYaksho naklasti vimogu sho koeficiyenti a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c d displaystyle d peretvorennya Mebiusa ye dijsnimi chislami ta zadovolnyayut umovu ad bc 1 displaystyle ad bc 1 to v rezultati otrimayemo pidgrupu grupi Mebiusa yaka poznachayetsya yak PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R Ce grupa tih peretvoren Mebiusa yaki vidobrazhayut verhnyu pivploshinu H x iy y gt 0 displaystyle H x rm i y colon y gt 0 v samu sebe ci peretvorennya ye ekvivalentnimi grupi vsih en inshimi slovami biyektivnih konformnih ta tih sho zberigayut oriyentaciyu vidobrazhen H H displaystyle H rightarrow H Yaksho vvesti vidpovidnu metriku to verhnya pivploshina peretvoryuyetsya na model giperbolichnoyi ploshini H2 displaystyle H 2 model Puankare u verhnij pivploshini a PSL 2 R displaystyle operatorname PSL 2 mathbb R ye grupoyu vsih izometrij H2 displaystyle H 2 u cij modeli sho zberigayut oriyentaciyu Pidgrupa grupi vsih peretvoren Mebiusa sho vidobrazhaye vidkritij disk D z z lt 1 displaystyle D z colon z lt 1 v sebe skladayetsya z usih peretvoren viglyadu f z eiϕz bb z 1 displaystyle f z rm e rm i phi frac z b bar b z 1 de ϕ R displaystyle phi in mathbb R b C displaystyle b in mathbb C i b lt 1 displaystyle b lt 1 Ci peretvorennya ekvivalentni grupi vsih bigolomorfnih inshimi slovami biyektivnih ta tih sho zberigayut oriyentaciyu j kuti vidobrazhen D D displaystyle D rightarrow D Yaksho vvesti vidpovidnu metriku vidkritij disk peretvoritsya na inshu model giperbolichnoyi ploshini konformno evklidovu model a cya grupa ye grupoyu vsih izometrij H2 displaystyle H 2 u cij modeli sho zberigayut oriyentaciyeyu Oskilki obidvi vishezaznacheni pidgrupi ye grupami izometrij