Гіперболічна площина

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Титульний аркуш книги Лобачевського

Евклідова аксіома про паралельні твердить:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.

Історія

Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про паралельні прямі, котра відома також як п'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:

• давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл Діадох (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двома паралельними),
• Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує прямую лінію),
• іранський математик Омар Хаям (друга половина XI — початок XII ст.),
• азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хаям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
• німецький математик Христофор Клавій (1574),
• італійські математики
  • ^[en] (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
  • Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),
• англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Волліс ґрунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.

Моделі геометрії Лобачевського

Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.

Оскільки всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні, твердження, доведене в одній моделі геометрії Лобачевського, буде дійсне в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

Модель Кляйна

Докладніше: Проєктивна модель

Прямі в моделі Кляйна. Через точку P проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають пряму a.

Точками моделі Кляйна є внутрішні точки круга одиничного радіуса з центром у початку координат. Відстань між точками ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left|\ln {\left({\frac {x-a}{x-b}}:{\frac {y-a}{y-b}}\right)}\right|}$

для інтервалу ${\displaystyle (x,y)}$, де ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ — точки перетину прямої ${\displaystyle ab}$ з граничним колом круга.

Зазначимо, що точки граничного кола будуть нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського. Граничне коло називають абсолютом або ідеальною межею.

У моделі Кляйна прямими є хорди кола. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з опуклими множинами геометрії Лобачевського.

Перша фундаментальна форма площини Лобачевського в моделі Кляйна має вигляд

${\displaystyle ds^{2}={\frac {(1-y^{2})\,dx^{2}+2xy\,dx\,dy+(1-x^{2})\,dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.}$

Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть внутрішні точки кулі одиничного радіуса, та точно так само, як і на площині, задається відстань подвійним відношенням.

Модель Пуанкаре в кулі

Через точку площини проходять прямі, паралельні заданій прямій

Точками в моделі Пуанкаре в кулі ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які лежать в кулі ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).

Це конформна модель геометрії Лобачевського, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4(dx_{1}^{2}+\dots +dx_{n}^{2})}{(1-x_{1}^{2}-\dots -x_{n}^{2})^{2}}}.}$

Модель Пуанкаре у півпросторі

Точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ будуть внутрішні точки півпростору ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|\ x_{n}>0\}}$, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина ${\displaystyle x=0\cup \infty }$. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цій моделі будуть звичайні евклідові сфери.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx_{1}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}.}$

Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель геометрії Лобачевського. Існує конформне перетворення, яке перетворює одну модель в іншу.

Див. також

• Орисфера
• Орицикл
• Сферична геометрія
• Простір Лобачевського
• Ідеальний трикутник
• Кут паралельності

Примітки

1. Погорелов А. В., с. 84
2. Прасолов В. В., Тихомиров В. М., с. 184
3. Ефимов Н. В., с. 525
4. Бердон А., с. 118

Література

• Лаптев Борис Лукич. Геометрия Лобачевского, её история и значение. — Москва : «Знание», 1976. — Т. 9. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика») — 45 250 прим. (рос.)

Джерела

• Бердон А. Геометрія дискретних груп = Геометрия дискретных групп: Пер. з англ.. — Москва : Наука, 1986. — 304 с.
• Ефимов Н.В. Вища геометрія = Высшая геометрия. — Москва : Наука, 1978. — 576 с.
• Погорелов А.В. Лекції з основ геометрії = Лекции по основаниям геометрии. — Харків : ХДУ, 1964. — 138 с.
• Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрія = Геометрия. — Москва : МЦНМО, 1997. — 352 с. (Книга в *.pdf та *.ps форматі. [ 9 січня 2015 у Wayback Machine.])

Посилання

• А. С. Смогоржевский, «Про геометрію Лобачевського» [ 16 травня 2013 у Wayback Machine.], Популярні лекції з математики [ 21 січня 2022 у Wayback Machine.], Випуск 23, Гостехиздат 1957 г., 68 ст. (рос.)
• Ф. Клейн, «Неевклідова геометрія.» [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.], М.-Л., ОНТИ, 1936, 356 с. (рос.)
• Н. Н. Іовлев, «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского» [ 5 жовтня 2014 у Wayback Machine.], М. -Л., Гиз, 1930 г., 67 с. (рос.)