Перша квадратична форма

Перша квадратична форма або метричний тензор поверхні — квадратична форма від диференціалів координат на поверхні, яка визначає поверхні в околі даної точки. Наявності першої квадратичної форми достатньо для обчислення довжин дуг, кутів між кривими, площі областей на поверхні.

Визначення

Нехай поверхня задана рівнянням

${\displaystyle r=r(u,v),}$

де ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ ― внутрішні координати на поверхні;

${\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}$

― Диференціал радіус-вектора ${\displaystyle r}$ уздовж обраного напрямку зміщення з точки ${\displaystyle M}$ в нескінченно близьку точку ${\displaystyle M'}$. Квадрат головної ліпшицевої частини приросту довжини ${\displaystyle |MM'|}$ виражається квадратом диференціала ${\displaystyle dr}$:

${\displaystyle dr^{2}=r_{u}^{2}du^{2}+2\langle r_{u}r_{v}\rangle dudv+r_{v}^{2}dv^{2}}$

і називається першою основною квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти першої квадратичної форми зазвичай позначають через

${\displaystyle E=|r_{u}|^{2},F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,G=|r_{v}|^{2}.}$

або в тензорних символах

${\displaystyle dr^{2}=g_{1,1}du^{2}+2g_{1,2}dudv+g_{2,2}dv^{2}.}$

Тензор ${\displaystyle g_{i,j}}$ називається основним, або метричним, тензором поверхні.

Що можна обчислити за допомогою першої квадратичної форми?

1. Довжина кривої на поверхні.
2. Кут між кривими на поверхні.
3. Площа поверхні.

Властивості

• Перша квадратична форма є додатно визначеною формою в звичайних точках поверхні:

${\displaystyle EG-F^{2}>0.}$

Обчислення довжини та площі

Перша квадратична форма повністю описує метричні властивості поверхні. Таким чином вона дозволяє обчислити довжини кривих на поверхні та площі областей на поверхні. ds може бути виражений в термінах коефіцієнтів першої квадратичної форми у вигляді

${\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,}$.

Класична площа елемента задається ${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv}$ може бути виражена в термінах першої квадратичної форми за допомогою ,

${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\langle X_{u},X_{v}\rangle ^{2}}}\ du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$

Приклад

Сфера одиничного радіуса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ може бути параметризована як

${\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{pmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ).}$

диференціюючи ${\displaystyle X(u,v)}$ по змінних ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ отримуємо

${\displaystyle X_{u}={\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{pmatrix}},\ X_{v}={\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{pmatrix}}.}$

Коефіцієнти першої квадратичної форми можна знайти за допомогою скалярного добутку часткових похідних

${\displaystyle E=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v}$

${\displaystyle F=X_{u}\cdot X_{v}=0}$

${\displaystyle G=X_{v}\cdot X_{v}=1}$

Довжина кривої на сфері

Екватор сфери є параметризована крива, задана ${\displaystyle (u(t),v(t))=(t,\pi /2)}$ з ${\displaystyle t}$ в діапазоні від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 2\pi }$. Лінійний елемент може бути використаний, щоб обчислити довжину цієї кривої.

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }|{\sin v}|\,dt=2\pi \sin {\frac {\pi }{2}}=2\pi }$

Площа області на сфері

Площа елемента може бути використана для обчислення площі області.

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi .}$

Література

• Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . - 304 с.
• Пришляк О., Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Київський університет, 2004. – 68 с. [ 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]