Теорема Лефшеца про нерухому точку — результат у алгебричній топології про існування нерухомих точок неперервного відображення в себе для досить широких класів топологічних просторів.
Число Лефшеца
Нехай — зв'язний компактний орієнтовний топологічний многовид або скінченний CW-комплекс (зокрема поліедр — простір гомеоморфний скінченному симпліційному комплексу). У цих випадках сингулярні гомологічні групи (для поліедрів еквівалентно симпліційні гомологічні групи) над полем є скінченновимірними векторними просторами. Нехай — стандартні позначення для n-их компонент елементів відповідних ланцюгових комплексів, циклів, границь і гомологічних груп (деталі у статті Ланцюговий комплекс).
Якщо — неперервне відображення, то воно задає лінійні відображення Нехай — слід лінійного перетворення.
За означенням, числом Лефшеца відображення називається число
Властивості числа Лефшеца
- Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то
- У випадку, наприклад, скінченного симпліційного комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення задає лінійні відображення на скінченновимірних просторах елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліційного комплексу. Відображення одержуються, наприклад композицією відображень на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліційних і сингулярних гомологій. Тоді:
-
- Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліційного випадку. Для доведення позначимо відображення і . Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що . Але граничний гомоморфізм задає ізоморфізми і , а тому . Остаточний результат одержується підстановкою виразу через і у формулу числа Лефшеца і скороченням і які будуть мати різні знаки.
- Якщо у випадку скінченного симпліційного комплексу взяти (одиничне відображення на просторі ) то є одиничними відображеннями на гомологічних групах і є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліційні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому , тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.
Теорема Лефшеца
Найпростіший варіант теореми Лефшеца стверджує, що якщо то неперервне відображення має хоча б одну нерухому точку, тобто елемент , для якого .
Формула Лефшеца
Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення ізольовані.
Для кожної нерухомої точки , позначимо через її індекс Кронекера (локальний в околі точки ). Тоді формула Лефшеца для і має вигляд
Доведення
Нижче подано доведення для поліедрів — просторів гомеоморфних скінченному симпліційному комплексу.
Припустимо, що є підмножиною деякого евклідового простору , і — стандартна метрика у . Оскільки простір є компактним і не має нерухомих точок, досягає свого мінімального значення , у деякій точці . Нехай — ціле число, для якого , і — (симпліційне наближення) до відображення (деталі щодо позначень і термінології у статті Симпліційний комплекс).
Якщо є симпліційним наближенням до одиничного відображення, то , тож . Але є оберненим ізоморфізмом до , де є гомоморфізмом барицентричного підрозбиття ланцюгових комплексів; звідси , тож є гомоморфізмом ланцюгових комплексів, що породжує .
Зважаючи на еквівалентне означення числа Лефшеца достатньо довести, що для кожного симплекса , значенням є лінійна комбінація симплексів жоден з яких не є рівним , бо у цьому випадку очевидно . Припустимо, що є симплексом для якого містить . Тоді оскільки є лінійною комбінацією симплексів, що містяться у , отримуємо, що образом хоча б одного з них при відображенні є , а тому існує точка для якої також і тому . Але з властивостей (симпліційного наближення) випливає, що і належать деякому спільному симплексу і тому . Звідси , що суперечить означенню числа .
Застосування
Властивості просторів зі скінченними гомологічними групами
Для скінченного лінійно зв'язного симпліційного комплексу K, для якого гомологічні групи є скінченними для всіх , то будь-яке неперервне відображення має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується (тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору і для будь-якого неперервного відображення породжений гомоморфізм є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно і тому
Наслідками цього твердження є:
- Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то для всіх то будь-яке неперервне відображення має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
- Для дійсного проективного простору де є парним числом для всіх гомологічні групи є рівними або і тому будь-яке неперервне відображення має нерухомі точки.
Неперервні відображення на сферах
Нехай тепер — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є і є одиничним лінійним відображенням, а задається як для деякого раціонального числа d. Тоді і тому .
- Наслідком цього твердження є те, що для парного числа для довільного неперервного відображення гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер .
Компактні групи Лі
Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного відображення
є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.
З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення має нерухому точку для якої . Тоді зокрема , тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент такий, що множина степенів є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.
Див. також
Література
- Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Lefsheca pro neruhomu tochku rezultat u algebrichnij topologiyi pro isnuvannya neruhomih tochok neperervnogo vidobrazhennya v sebe dlya dosit shirokih klasiv topologichnih prostoriv Chislo LefshecaNehaj X displaystyle X zv yaznij kompaktnij oriyentovnij topologichnij mnogovid abo skinchennij CW kompleks zokrema poliedr prostir gomeomorfnij skinchennomu simplicijnomu kompleksu U cih vipadkah singulyarni gomologichni grupi H X Q displaystyle H X mathbb Q dlya poliedriv ekvivalentno simplicijni gomologichni grupi nad polem Q displaystyle mathbb Q ye skinchennovimirnimi vektornimi prostorami Nehaj C n X Q Z n X Q B n X Q H n X Q displaystyle C n X mathbb Q Z n X mathbb Q B n X mathbb Q H n X mathbb Q standartni poznachennya dlya n ih komponent elementiv vidpovidnih lancyugovih kompleksiv cikliv granic i gomologichnih grup detali u statti Lancyugovij kompleks Yaksho f X X displaystyle f X to X neperervne vidobrazhennya to vono zadaye linijni vidobrazhennya f n H n X Q H n X Q displaystyle f n H n X mathbb Q to H n X mathbb Q Nehaj T r f n displaystyle mathrm Tr f n slid linijnogo peretvorennya Za oznachennyam chislom Lefsheca vidobrazhennya f displaystyle f nazivayetsya chislo L f i 0 1 n T r f n displaystyle Lambda f sum i 0 infty 1 n mathrm Tr f n Vlastivosti chisla Lefsheca Yaksho funkciyi f i g ye gomotopno ekvivalentnimi to L f L g displaystyle Lambda f Lambda g U vipadku napriklad skinchennogo simplicijnogo kompleksu chislo Lefsheca mozhna vvesti v inshij sposib Todi vidobrazhennya f X X displaystyle f X to X zadaye linijni vidobrazhennya f n S n X Q S n X Q displaystyle f n S n X mathbb Q to S n X mathbb Q na skinchennovimirnih prostorah S n X Q displaystyle S n X mathbb Q elementi bazisa yakih ye u biyektivnij vidpovidnosti iz n simpleksami simplicijnogo kompleksu Vidobrazhennya f n displaystyle f n oderzhuyutsya napriklad kompoziciyeyu vidobrazhen f n C n X Q C n X Q displaystyle f n C n X mathbb Q to C n X mathbb Q na singulyarnomu kompleksi iz lancyugovimi vidobrazhennyami sho zadayut ekvivalentnist simplicijnih i singulyarnih gomologij Todi L f i 0 1 n T r f n displaystyle Lambda f sum i 0 infty 1 n mathrm Tr f n Nizhche cikli granici i gomologiyi podani dlya simplicijnogo vipadku Dlya dovedennya poznachimo vidobrazhennya f n B n X Q B n X Q displaystyle f n B n X mathbb Q to B n X mathbb Q i f n S n X Q Z n X Q S n X Q Z n X Q displaystyle bar f n S n X mathbb Q Z n X mathbb Q to S n X mathbb Q Z n X mathbb Q Iz elementarnih vlastivostej slidu linijnih vidobrazhen nad skinchennovimirnimi vektornimi prostorami viplivaye sho T r f n T r f n T r f n T r f n displaystyle mathrm Tr f n mathrm Tr f n mathrm Tr f n mathrm Tr bar f n Ale granichnij gomomorfizm displaystyle partial zadaye izomorfizmi n C n X Q Z n X Q B n 1 X Q displaystyle bar partial n C n X mathbb Q Z n X mathbb Q to B n 1 X mathbb Q i f n n 1 f n n displaystyle bar f n bar partial n 1 circ f n circ bar partial n a tomu T r f n T r f n 1 displaystyle mathrm Tr bar f n mathrm Tr f n 1 Ostatochnij rezultat oderzhuyetsya pidstanovkoyu virazu T r f n displaystyle mathrm Tr f n cherez T r f n T r f n displaystyle mathrm Tr f n mathrm Tr f n i T r f n displaystyle mathrm Tr bar f n u formulu chisla Lefsheca i skorochennyam T r f n displaystyle mathrm Tr bar f n i T r f n 1 displaystyle mathrm Tr f n 1 yaki budut mati rizni znaki dd Yaksho u vipadku skinchennogo simplicijnogo kompleksu vzyati f 1 X displaystyle f 1 X odinichne vidobrazhennya na prostori X displaystyle X to 1 n H n X Q H n X Q displaystyle 1 n H n X mathbb Q to H n X mathbb Q ye odinichnimi vidobrazhennyami na gomologichnih grupah i T r 1 n displaystyle mathrm Tr 1 n ye rivnim kilkosti simpleksiv rozmirnosti n oskilki singulyarni i simplicijni gomologiyi u comu vipadku ye ekvivalentnimi Tomu L 1 X x X displaystyle Lambda 1 X chi X tobto chislo Lefsheca dlya odinichnogo vidobrazhennya ye rivnim harakteristici Ejlera danogo prostoru Teorema LefshecaNajprostishij variant teoremi Lefsheca stverdzhuye sho yaksho L f 0 displaystyle Lambda f neq 0 to neperervne vidobrazhennya f X X displaystyle f X to X maye hocha b odnu neruhomu tochku tobto element x X displaystyle x in X dlya yakogo f x x displaystyle f x x Formula Lefsheca Bilsh detalno pripustimo sho vsi neruhomi tochki vidobrazhennya f X X displaystyle f X to X izolovani Dlya kozhnoyi neruhomoyi tochki x X displaystyle x in X poznachimo cherez i x displaystyle i x yiyi indeks Kronekera lokalnij f displaystyle f v okoli tochki x displaystyle x Todi formula Lefsheca dlya X displaystyle X i f displaystyle f maye viglyad x f x x i x L f displaystyle sum x f x x i x Lambda f DovedennyaNizhche podano dovedennya dlya poliedriv prostoriv gomeomorfnih skinchennomu simplicijnomu kompleksu Pripustimo sho K displaystyle K ye pidmnozhinoyu deyakogo evklidovogo prostoru R m displaystyle R m i d displaystyle d standartna metrika u R m displaystyle R m Oskilki prostir K displaystyle K ye kompaktnim i f displaystyle f ne maye neruhomih tochok d x f x displaystyle d x f x dosyagaye svogo minimalnogo znachennya d gt 0 displaystyle delta gt 0 u deyakij tochci K displaystyle K Nehaj n displaystyle n cile chislo dlya yakogo mesh K n lt d 2 displaystyle operatorname mesh K n lt frac delta 2 i g K n t K n displaystyle g K n t to K n simplicijne nablizhennya do vidobrazhennya f K n K n displaystyle f K n to K n detali shodo poznachen i terminologiyi u statti Simplicijnij kompleks Yaksho h K n t K n displaystyle h K n t to K n ye simplicijnim nablizhennyam do odinichnogo vidobrazhennya to g f f h displaystyle g simeq f simeq fh tozh g f h displaystyle g f h Ale h displaystyle h ye obernenim izomorfizmom do ϕ t displaystyle phi t de ϕ displaystyle phi ye gomomorfizmom baricentrichnogo pidrozbittya lancyugovih kompleksiv zvidsi f g ϕ t displaystyle f g phi t tozh g ϕ t C K n C K n displaystyle g phi t C K n to C K n ye gomomorfizmom lancyugovih kompleksiv sho porodzhuye f displaystyle f Zvazhayuchi na ekvivalentne oznachennya chisla Lefsheca dostatno dovesti sho dlya kozhnogo simpleksa s K n displaystyle sigma in K n znachennyam g ϕ t s displaystyle g phi t sigma ye linijna kombinaciya simpleksiv zhoden z yakih ne ye rivnim s displaystyle sigma bo u comu vipadku ochevidno T r f r 0 displaystyle mathrm Tr f r 0 Pripustimo sho s displaystyle sigma ye simpleksom dlya yakogo g ϕ t s displaystyle g phi t sigma mistit s displaystyle sigma Todi oskilki ϕ t s displaystyle phi t sigma ye linijnoyu kombinaciyeyu simpleksiv sho mistyatsya u s displaystyle sigma otrimuyemo sho obrazom hocha b odnogo z nih pri vidobrazhenni g displaystyle g ye s displaystyle sigma a tomu isnuye tochka x s displaystyle x in sigma dlya yakoyi takozh g x s displaystyle g x in sigma i tomu d x g x mesh K n lt d 2 displaystyle d x g x leqslant operatorname mesh K n lt frac delta 2 Ale z vlastivostej simplicijnogo nablizhennya viplivaye sho f x displaystyle f x i g x displaystyle g x nalezhat deyakomu spilnomu simpleksu i tomu d f x g x lt d 2 displaystyle d f x g x lt frac delta 2 Zvidsi d x f x lt d x g x d f x g x lt d displaystyle d x f x lt d x g x d f x g x lt delta sho superechit oznachennyu chisla d displaystyle delta ZastosuvannyaVlastivosti prostoriv zi skinchennimi gomologichnimi grupami Dlya skinchennogo linijno zv yaznogo simplicijnogo kompleksu K dlya yakogo gomologichni grupi H n K H n K Z displaystyle H n K H n K mathbb Z ye skinchennimi dlya vsih n gt 0 displaystyle n gt 0 to bud yake neperervne vidobrazhennya f K K displaystyle f K to K maye neruhomi tochki Dane tverdzhennya ye pravilnim tomu sho H n K Q H n K Z Q displaystyle H n K mathbb Q simeq H n K mathbb Z otimes mathbb Q i dlya kozhnoyi skinchennoyi abelevoyi grupi G vikonuyetsya G Q 0 displaystyle G otimes Q 0 trivialna grupa natomist dlya kozhnogo linijno zv yaznogo prostoru H n K Q Q displaystyle H n K mathbb Q simeq mathbb Q i dlya bud yakogo neperervnogo vidobrazhennya f K K displaystyle f K to K porodzhenij gomomorfizm f 0 H 0 X Q H 0 X Q displaystyle f 0 H 0 X mathbb Q to H 0 X mathbb Q ye odinichnim vidobrazhennyam odnovimirnogo vektornogo prostoru vidpovidno T r f 0 displaystyle mathrm Tr f 0 i tomu L f 1 displaystyle Lambda f 1 Naslidkami cogo tverdzhennya ye Yaksho K ye styaguvanim prostorom napriklad kuleyu to H n K 0 displaystyle H n K 0 dlya vsih n gt 0 displaystyle n gt 0 to bud yake neperervne vidobrazhennya f K K displaystyle f K to K maye neruhomi tochki Takim chinom teorema Brauera pro neruhomi tochki ye chastkovim vipadkom teoremi Lefsheca Dlya dijsnogo proektivnogo prostoru R P n displaystyle mathbb R mathbb P n de n displaystyle n ye parnim chislom dlya vsih r gt 0 displaystyle r gt 0 gomologichni grupi H r K displaystyle H r K ye rivnimi 0 displaystyle 0 abo Z 2 displaystyle mathbb Z 2 i tomu bud yake neperervne vidobrazhennya f R P n R P n displaystyle f mathbb R mathbb P n to mathbb R mathbb P n maye neruhomi tochki Neperervni vidobrazhennya na sferah Nehaj teper f S n S n displaystyle f S n to S n neperervne vidobrazhennya sferi sho ne maye neruhomih tochok Yedinimi nenulovimi gomologichnim grupami u comu vipadku ye H 0 S n Q H n S n Q Q displaystyle H 0 S n mathbb Q simeq H n S n mathbb Q simeq mathbb Q i f 0 H 0 X Q H 0 X Q displaystyle f 0 H 0 X mathbb Q to H 0 X mathbb Q ye odinichnim linijnim vidobrazhennyam a f n H n X Q H n X Q displaystyle f n H n X mathbb Q to H n X mathbb Q zadayetsya yak f n s d s displaystyle f n sigma d sigma dlya deyakogo racionalnogo chisla d Todi L f 1 1 n d 0 displaystyle Lambda f 1 1 n d 0 i tomu d 1 n 1 displaystyle d 1 n 1 Naslidkom cogo tverdzhennya ye te sho dlya parnogo chisla n displaystyle n dlya dovilnogo neperervnogo vidobrazhennya f S n S n displaystyle f S n to S n gomotopnogo odinichnomu isnuyut neruhomi tochki Zvidsi zokrema otrimuyetsya tverdzhennya pro vidsutnist neperervnih dotichnih vektornih poliv sho ne ye rivni nulyu v usih tochkah dlya sfer S 2 n displaystyle S 2n Kompaktni grupi Li Nehaj teper G linijno zv yazna kompaktna grupa Li i T maksimalnij tor u cij grupi Poznachimo X G T Todi X ye kompaktnim mnogovidom i dlya kozhnogo g G displaystyle g in G vidobrazhennya f g X X f g x T g x T displaystyle f g X to X quad f g xT gxT ye diferencijovnim Oskilki grupa ye linijno zv yaznoyu to vsi vidobrazhennya f g displaystyle f g ye gomotopno ekvivalentnimi odinichnomu vidobrazhennyu i tomu chisla Lefsheca vsih cih vidobrazhen ye rivnimi harakteristici Ejlera prostoru X Mozhna dovesti sho x X N T T displaystyle chi X left N T T right tobto poryadku faktorgrupi normalizatora maksimalnogo tora po samomu maksimalnomu toru Cya faktorgrupa zavzhdi ye skinchennoyu Z teoremi Lefsheca viplivaye sho kozhne vidobrazhennya f g displaystyle f g maye neruhomu tochku dlya yakoyi x T g x T displaystyle xT gxT Todi zokrema x 1 g x T displaystyle x 1 gx in T tobto kozhen element grupi G ye spryazhenim iz deyakim elementom maksimalnogo tora T Yaksho vzyati topologichnij generator yakogos inshogo tora topologichnim generatorom grupi nazivayetsya element g displaystyle g takij sho mnozhina stepeniv g n displaystyle g n ye shilnoyu u grupi dlya maksimalnih toriv u kompaktnih grupah Li topologichni generatori zavzhdi isnuyut to zvidsi viplivaye sho dva maksimalni tori u grupi G ye spryazhenimi Ce tverdzhennya ye vazhlivim u teoriyi predstavlen kompaktnih grup Li Div takozhSimplicijnij kompleks Singulyarni gomologiyi Teorema Brauera pro neruhomu tochkuLiteraturaMaunder Charles Richard Francis 1980 Algebraic topology Cambridge University Press ISBN 9780521231619