Комплексний многовид — гаусдорфів топологічний простір, для якого існує покриття відкритими множинами, кожна з яких є гомеоморфною в -вимірному комплексному векторному просторі . При цьому в перетині двох відкритих множин перетворення локальних координат є комплексно-аналітичним, тобто функції є голоморфними, і визначник Якобі:
- .
не рівний нулю в жодній точці. Набір таких відкритих множин називається голоморфним атласом многовида.
Властивості
Оскільки умова голоморфності є значно сильнішою, ніж нескінченної диференційовності, теорія комплексних многовидів значно відрізняється від теорії гладких многовидів. Зокрема для комплексних многовидів не виконується аналог теореми Вітні про вкладення. Наприклад згідно теореми Ліувіля на компактних зв'язаних комплексних многовидах єдиними голоморфними функціями є константи. Натомість при гіпотетичному вкладенні такого многовида в простір обмеження координатних функцій в були б не сталими голоморфними функціями. Тому для компактних зв'язаних комплексних многовидів, що не є однією точкою таке вкладення є неможливим. Комплексні многовиди, що можуть бути вкладені в називаються многовидами Штейна.
Тоді коли топологічні многовиди, розмірність яких не рівна 4 можуть мати лише скінченну кількість не дифеоморфних гладких структур, комплексні многовиди різних розмірностей можуть мати незліченну кількість не біголоморфних комплексних структур.
Приклади
- Довільна орієнтована двовимірна (дійсна розмірність) поверхня може бути перетвореною на комплексний одновимірний многовид. Комплексні одновимірні многовиди називаються поверхнями Рімана.
- Комплексний -вимірний векторний простір відкрита куля і відкритий полікруг є прикладами нееквівалентних комплексних многовидів. Натомість дані три множини є дифеоморфними як гладкі дійсні многовиди розмірності 2n.
- Комплексний проективний простір .
- Комплексна еліптична крива, що є дифеоморфною двовимірному тору
- Комплексні Грассманіани.
- Комплексні групи Лі, зокрема GL(n, C) і Sp(n, C).
Ермітова метрика
Ермітова метрика на комплексному многовиді — аналог ріманової метрики для дійсного многовида, додатноозначена ермітова форма виду:
- ,
де — комплексні функції.
Многовиди з ермітовою метрикою називаються ермітовими і є аналогами ріманових многовидів. Важливими прикладами ермітових многовидів є келерові многовиди, для яких кососиметрична складова ермітової метрики є замкнутою диференціальною формою. Важливим прикладом келерових многовидів є зокрема многовиди Калабі — Яу, що мають важливі застосування у теоретичній фізиці, зокрема теорії струн.
Див. також
Література
- Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. — Москва : ИЛ, 1961. — 239 с.
- Klaus Fritzsche, Hans Grauert. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, .
- Morrow, James; Kodaira, Kunihiko (2006) [1971], Complex manifolds, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN , MR 0302937
- Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (вид. 2nd). North-Holland Elsevier. ISBN .
- Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kompleksnij mnogovid gausdorfiv topologichnij prostir dlya yakogo isnuye pokrittya vidkritimi mnozhinami kozhna z yakih ye gomeomorfnoyu v n displaystyle n vimirnomu kompleksnomu vektornomu prostori C n displaystyle mathbb C n Pri comu v peretini dvoh vidkritih mnozhin peretvorennya lokalnih koordinat w i u i z 1 z n displaystyle omega i u i z 1 z n ye kompleksno analitichnim tobto funkciyi u i displaystyle u i ye golomorfnimi i viznachnik Yakobi w 1 w n z 1 z n 0 displaystyle frac partial omega 1 dots omega n partial z 1 z n neq 0 ne rivnij nulyu v zhodnij tochci Nabir takih vidkritih mnozhin nazivayetsya golomorfnim atlasom mnogovida VlastivostiOskilki umova golomorfnosti ye znachno silnishoyu nizh neskinchennoyi diferencijovnosti teoriya kompleksnih mnogovidiv znachno vidriznyayetsya vid teoriyi gladkih mnogovidiv Zokrema dlya kompleksnih mnogovidiv ne vikonuyetsya analog teoremi Vitni pro vkladennya Napriklad zgidno teoremi Liuvilya na kompaktnih zv yazanih kompleksnih mnogovidah yedinimi golomorfnimi funkciyami ye konstanti Natomist pri gipotetichnomu vkladenni takogo mnogovida v prostir C N displaystyle mathbb C N obmezhennya koordinatnih funkcij v C N displaystyle mathbb C N buli b ne stalimi golomorfnimi funkciyami Tomu dlya kompaktnih zv yazanih kompleksnih mnogovidiv sho ne ye odniyeyu tochkoyu take vkladennya ye nemozhlivim Kompleksni mnogovidi sho mozhut buti vkladeni v C N displaystyle mathbb C N nazivayutsya mnogovidami Shtejna Todi koli topologichni mnogovidi rozmirnist yakih ne rivna 4 mozhut mati lishe skinchennu kilkist ne difeomorfnih gladkih struktur kompleksni mnogovidi riznih rozmirnostej mozhut mati nezlichennu kilkist ne bigolomorfnih kompleksnih struktur PrikladiDovilna oriyentovana dvovimirna dijsna rozmirnist poverhnya mozhe buti peretvorenoyu na kompleksnij odnovimirnij mnogovid Kompleksni odnovimirni mnogovidi nazivayutsya poverhnyami Rimana Kompleksnij n displaystyle n vimirnij vektornij prostir C n displaystyle mathbb C n vidkrita kulya z C n z lt 1 displaystyle left z in mathbf C n z lt 1 right i vidkritij polikrug ye prikladami neekvivalentnih kompleksnih mnogovidiv Natomist dani tri mnozhini ye difeomorfnimi yak gladki dijsni mnogovidi rozmirnosti 2n Kompleksnij proektivnij prostir C P n displaystyle mathbb C P n Kompleksna eliptichna kriva sho ye difeomorfnoyu dvovimirnomu toru S 1 S 1 displaystyle mathbb S 1 times mathbb S 1 Kompleksni Grassmaniani Kompleksni grupi Li zokrema GL n C i Sp n C Ermitova metrikaErmitova metrika na kompleksnomu mnogovidi analog rimanovoyi metriki dlya dijsnogo mnogovida dodatnooznachena ermitova forma vidu d s 2 j k h j k d z j d z k displaystyle ds 2 sum j k h j overline k dz j d overline z k de h j k h j k displaystyle h j overline k h overline j k kompleksni funkciyi Mnogovidi z ermitovoyu metrikoyu nazivayutsya ermitovimi i ye analogami rimanovih mnogovidiv Vazhlivimi prikladami ermitovih mnogovidiv ye kelerovi mnogovidi dlya yakih kososimetrichna skladova ermitovoyi metriki ye zamknutoyu diferencialnoyu formoyu Vazhlivim prikladom kelerovih mnogovidiv ye zokrema mnogovidi Kalabi Yau sho mayut vazhlivi zastosuvannya u teoretichnij fizici zokrema teoriyi strun Div takozhAnalitichnij mnogovid Diferencijovnij mnogovid Rimanova poverhnya Kompleksna proyektivna ploshinaLiteraturaChzhen Shen shen Kompleksnye mnogoobraziya Moskva IL 1961 239 s Klaus Fritzsche Hans Grauert From Holomorphic Functions to Complex Manifolds Graduate Texts in Mathematics 213 Springer New York NY u a 2002 ISBN 0 387 95395 7 Morrow James Kodaira Kunihiko 2006 1971 Complex manifolds AMS Chelsea Publishing Providence RI ISBN 978 0 8218 4055 9 MR 0302937 Raghavan Narasimhan 1973 Analysis on Real and Complex Manifolds vid 2nd North Holland Elsevier ISBN 0 7204 2501 8 Wells R O Differential Analysis on Complex Manifolds Springer Verlag New York 1980 ISBN 0 387 90419 0