Теорема Вітні про вкладення

Теорема Вітни про вкладення — затвердження дифференціальної топології, згідно якому довільно гладке ${\displaystyle m}$-вимірне багатообразність з лічильною базою допускає гладке вкладення в ${\displaystyle m}$-вимірний євклідів простір. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Наведений результат є оптимальним, коли ${\displaystyle m}$ — ступінь двійки: тоді ${\displaystyle m}$-вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в ${\displaystyle (2m-1)}$-вимірний евклідів простір.

Схема доказу

Випадки ${\displaystyle m=1}$ і ${\displaystyle m=2}$ встановлюються напряму. Для доказу випадку ${\displaystyle m\geqslant 3}$, використовується факт, що гладке відображення загального положення ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$ є імерсією з кінцевою кількістю точок трансверсального самоперетину.

Позбутися від цих точок самоперетину можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні. Він складається з наступного. Візьмемо точки ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m}}$самоперетин відображення ${\displaystyle f}$ маючи різні знаки. Візьмемо крапки ${\displaystyle x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M}$, для яких ${\displaystyle f(x_{p})=f(y_{p})=p}$ і ${\displaystyle f(x_{q})=f(y_{q})=q}$. З'єднаємо ${\displaystyle x_{p}}$ та ${\displaystyle x_{q}}$ гладкою кривою ${\displaystyle x\subset M}$. З'єднаємо ${\displaystyle y_{p}}$ і ${\displaystyle y_{q}}$ гладкою кривою ${\displaystyle y\subset M}$. Тоді ${\displaystyle f(x\cup y)}$ є замкнута крива в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Далі побудуємо відображення ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ з границею ${\displaystyle h(\partial D^{2})=f(x\cup y)}$. Загалом, ${\displaystyle h}$ є вкладенням та ${\displaystyle h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})}$ (якраз тут використовується те, що ${\displaystyle m\geqslant 3}$). Тоді можна ізотопувати ${\displaystyle f}$ у маленькій околиці диска ${\displaystyle h(D^{2})}$ ак, щоб ця пара точок самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, представивши картинку для ${\displaystyle m=1}$ (В якій властивості диска виявилися виконані випадково, а не за загальним положенням).

Наведемо малюнок іншого способу позбавитися точок самоперетину відображення загального положення ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$. Він ґрунтується на важливій ідеї поглинання. (Іноді це застосування цієї іншої ідеї помилково називають трюком Вітні.) Візьмемо точку ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2m}}$самоперетину відображення ${\displaystyle f}$. Візьмемо крапки ${\displaystyle x,y\in M}$, для яких ${\displaystyle f(x)=f(y)=p}$. З'єднаємо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ гладкою кривою ${\displaystyle l\subset M}$. Тоді ${\displaystyle f(l)}$ є замкнута крива в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Далі побудуємо відображення ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ з кордоном ${\displaystyle h(\partial D^{2})=f(l)}$. Загалом, ${\displaystyle h}$ є вкладенням та ${\displaystyle h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})}$ (якраз тут використовується те, що m⩾3). Тепер можна ізотопувати ${\displaystyle f}$ у маленькій околиці диска ${\displaystyle h(D^{2})}$ так, щоб ця точка самоперетину зникла.

Варіації та Узагальнення

Нехай ${\displaystyle M}$ є гладке m-вимірне різноманіття, де ${\displaystyle m>1}$:

• Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$.
• ${\displaystyle M}$ може бути занурене в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$.
  • Більше того ${\displaystyle M}$ може бути занурене в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-a}}$, де ${\displaystyle a}$ є число одиниць у двійковому представлені числа ${\displaystyle m}$.
    • Останній результат є оптимальним: для будь-якого ${\displaystyle m}$ можна можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-a-1}}$.
• Теорема Мостоу — Паласа даёт эквиваринтный вариант теоремы Уитни о вложении.

Література

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes., 347 (2): 248—342