Ядро та образ гомоморфізму

Не плутати з голоморфізмом.

Не плутати з гомеоморфізмом.

В алгебрі гомоморфізм — це зберігаюче структуру ^[en] між двома алгебричними структурами того ж самого типу (наприклад, двома групами, двома кільцями, двома векторами просторами).

Слово гомоморфізм у перекладі з давньогрецької грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма, вид. Цей термін з'явився ще в 1892, його припусували німецькому математику Феліксу Клейну (1849—1925).

Гомоморфізми двох векторних просторів також називають лінійними відображеннями, а їх дослідженнями займається лінійна алгебра.

Поняття гомоморфізму було узагальнено під назвою морфізм для багатьох структур, що не мають множини-носія або не є алгебраїчними. Це узагальнення — відправна точка теорії категорій

Гомоморфізм може також бути ізоморфізмом, ендоморфізмом, автоморфізмом і т.п. (дивись нижче). Кожен з цих гомоморфізмів може бути визначений способом, який можна узагальнити до будь-якого класу морфізмів.

Означення

Гомоморфізм — це відображення між двома алгебричними структурами одного типу (з однаковими назвами), що зберігає операції цих структур. Це означає відображення ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ між двома множинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, які мають однакові структуру такі, що якщо ${\displaystyle \cdot }$ — операція цієї структури (для спрощення вважаємо її бінарною операцією), тоді

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

для будь-якої пари елементів ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ множини ${\displaystyle A}$. Часто говорять, що гомоморфізм ${\displaystyle f}$ зберігає операцію або сумісний з операцією.

Формально, відображення ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ зберігає операцію ${\displaystyle \mu }$ арності ${\displaystyle k}$, яка визначена на обох множинах, якщо

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\dots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1},\dots ,f(a_{k}))}$,

для всіх елементів ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ множини ${\displaystyle A}$.

Операції, що повинні зберігатися при гомоморфізмі, включають 0-арні операції, тобто константи. Зокрема, коли нейтральний елемент вимагається типом структури, то нейтральний елемент першої структури має відображатися в відповідний нейтральний елемент другої структури.

Наприклад,

• Гомоморфізм напівгруп — це відображення між напівгрупами, що зберігає операції напівгруп.
• ^[en] — це відображення між моноїдами, що зберігає операції моноїдів та відображає нейтральний елемент першого моноїду у нейтральний елемент другого моноїду (нейтральний елемент це 0-арна операція).
• Гомоморфізм груп — це відображення між двома групами, що зберігає операції груп.

З цього випливає, що гомоморфізм груп відображає нейтральний елемент першої групи у нейтральний елемент другої групи, та відображає обернений елемент першої групи у обернений образ цього елемента. Тому, гомоморфізм напівгруп між групами обов'язково є гомоморфізмом груп.

• Гомоморфізм кілець — це відображення між кільцями, що зберігає додавання в кільцях, множення в кільцях та мультиплікативні тотожності.
• Лінійне відображення — це гомоморфізм векторних просторів, тобто гомоморфізм груп між векторними просторами, що зберігає структури абелевих груп та множення на скаляр.
• ^[en], також називають лінійним відображення між модулями, визначають аналогічним чином.
• ^[en] — це відображення, що зберігає операції алгебри.

Алгебраїчна структура може мати більше однієї операція та гомоморфізм повинен зберігати кожну операцію. Таким чином, відображення, що зберігає тільки деякі операції не є гомоморфізмом структури, але лише гомоморфізмом субструктури, що отримується при розгляді лише збережених операцій. Наприклад, відображення між моноїдами, що зберігає операцію моноїда, а не нейтральний елемент, не є гомоморфізмом моноїду, але є гомоморфізмом напівгрупи.

При гомоморфізмі між алгебричними структурами позначення операцій в них не обов'язково повинні збігатися. Наприклад, дійсні числа утворюють групу з операцією додавання, а додатні дійсні числа утворюють групу з операцією множення. Експонента

${\displaystyle x\mapsto {\rm {e}}^{x}}$

задовольняє співвідношення

${\displaystyle {\rm {e}}^{x+y}={\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{y}}$

та визначає гомоморфізм між цими двома групами. Більш того, це навіть ізоморфізм (дивись нижче), бо її обернена функція (натуральний логарифм) задовольняє співвідношення

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}$

і це також гомоморфізм між групами.

В термінах універсальної алгебри, це ^[en] ${\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B}$, алгебричної системи ${\displaystyle A}$ в алгебраїчну систему ${\displaystyle B}$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

${\displaystyle \phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))}$

для кожної ${\displaystyle n}$-арної операції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle \forall x_{i}\in A}$.

Базові приклади

Гомоморфізм моноїду ${\displaystyle f}$ з моноїду ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ у моноїд ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$ визначається функцією ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$. Гомоморфізм є ін'єктивним, але не є сюр'єктивним.

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх ${\displaystyle 2\times 2}$ матриць також кільце над (додаванням матриць) і (множенням матриць). Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle r}$ дійсне число. Тоді ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм кілець, бо ${\displaystyle f}$ зберігає і додавання:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

і множення:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію ${\displaystyle f}$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

${\displaystyle f(z)=|z|.\,\!}$

Де, ${\displaystyle f(z)}$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа ${\displaystyle z}$. Тоді ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).}$

Зауважте, що ${\displaystyle f}$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Як приклад на діаграмі показано гомоморфізм моноїду ${\displaystyle f}$ від моноїду ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ до моноїду ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$. Завдяки різним назвам відповідних операцій, властивості збереження структури, яким задовольняє $f$, запишуться як ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ та ${\displaystyle f(0)=1}$.

Композиційна алгебра ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ має квадратичну форму, яка називається нормою, ${\displaystyle N\colon A\rightarrow \mathbb {F} }$, яка є груповим гомоморфізмом з ^[en] алгебри ${\displaystyle A}$ у мутиплікативну групу поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебричних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)

Часткові випадки

Декілька видів гомоморфізму мають спеціальні назви, які також визначаються для загальних морфізмов.

Ізомормізм

Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.^{:134 :28} Ізоморфізм між алгебричними структурами одного типу зазвичай визначають як бієктивний гомоморфізм.

У більш загальному контексті теорії категорій ізоморфізм визначається як морфізм, який має обернене відображення, яке також є морфізмом. У випадку алгебраїчних структур ці два означення є еквівалентними, хоча вони можуть відрізнятися для неалгебраїчних структур, які мають множину-носія.

Точніше, якщо

${\displaystyle f\colon \ A\to B}$

є (гомо)морфізмом, то він має обернений, якщо існує гомоморфізм

${\displaystyle g\colon \ B\to A}$

такий, що

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\quad {\text{та}}\quad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Якщо ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ мають множини-носії та ${\displaystyle f\colon A\to B}$ має обернене відображення ${\displaystyle g}$, тоді ${\displaystyle f}$ є бієктивним. Дійсно, ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним, оскільки з ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ випливає, що ${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$, та ${\displaystyle f}$ є сюр'єктивним, так як для будь-якого ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle B}$ маємо, що ${\displaystyle x=f(g(x))}$, і ${\displaystyle x}$ є образом елемента з ${\displaystyle A}$.

Навпаки, якщо ${\displaystyle f\colon A\to B}$ — бієктивний гомоморфізм між алгебраїчними структурами, нехай ${\displaystyle g\colon B\to A}$ — таке відображення, щоб ${\displaystyle g(y)}$ єдиний елемент ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle A}$ такий, що ${\displaystyle f(x)=y}$. Маємо, що ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}}$ та ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}}$, і залишається лише показати, що ${\displaystyle g}$ є гомоморфізмом. Якщо ${\displaystyle *}$ є бінарною операцією структури, то для будь-якої пари ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ елементів з ${\displaystyle B}$ маємо:

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))))=g(x)*_{A}g(y)}$

і, таким чином, ${\displaystyle g}$ сумісний з операцією ${\displaystyle *}$. Оскільки доведення аналогічне для будь-якої арності, то це означає, що ${\displaystyle g}$ — гомоморфізм.

Це доведення не працює для неалгебраїчних структур. Наприклад, для топологічних просторів морфізм є неперервним відображенням, а обернене до бієктивного неперервного відображення не обов'язково є неперервним. Ізоморфізм топологічних просторів, який називається гомеоморфізмом або бінеперервним відображенням, таким чином, є бієктивним неперервним відображенням, обернене до якого також є неперервним.

Ендоморфізм

Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе. Ендоморфізм — це гомоморфізм, область визначення якого збігається з ^[en], або, в більш загальному сенсі, морфізм, джерело якого дорівнює цілі.^:135

Ендоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють моноїд за композицією.

Ендоморфізми векторного простору або модуля утворюють кільце. У випадку векторного простору або вільного модуля скінченної розмірності, вибір базису індикує ізоморфізм кільця між кільцем ендоморфізмів і кільцем квадратних матриць тієї ж розмірності.

Автоморфізм

Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.^:135 Автоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють групу за композицією, яка називається групою автоморфізмів структури.

Багато іменних груп є групами автоморфізмів деякої алгебричної структури. Наприклад, загальна лінійна група ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(k)}$ — група автоморфізмів векторного простору розмірності ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$.

Групи автоморфізмів полів були введені Еваристом Галуа при дослідженні коренів многочленів і є основою теорії Галуа.

Мономорфізм

Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.^{:134 :29} У загальному контексті теорії категорій мономорфізм визначається як морфізм, який є лівим скороченням. Це означає, що (гомо)морфізм ${\displaystyle f\colon A\to B}$ є мономорфізмом, якщо для будь-якої пари морфізмів ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ з будь-якого іншого об'єкта ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle A}$, з ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ випливає, що ${\displaystyle g=h}$.

Ці два означення мономорфізму еквівалентні для всіх загальних алгебраїчних структур. Точніше, вони еквівалентні для полів, для яких будь-який гомоморфізм є мономорфізмом, і для многовидів універсальної алгебри, тобто алгебраїчних структур, для яких операції і аксіоми (тотожності) визначаються без будь-яких обмежень (поля не утворюють многовидів, так як мультиплікативні обернені визначаються або як унітарна операція, або як властивість множення, які в обох випадках визначаються тільки для ненульових елементів).

Зокрема, два означення мономорфізму еквівалентні для множин, магм, напівгруп, моноїдів, груп, кільць, полів, векторних просторів і модулів.

^[en] — це гомоморфізм, який має лівий обернений, і, таким чином, сам є правим оберненим цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм ${\displaystyle f\colon A\to B}$ є розщепленим мономорфізмом, якщо існує гомоморфізм ${\displaystyle g\colon B\to A}$ такий, що ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}}$. Розщеплений мономорфізм завжди є мономорфізмом для обох значень мономорфізму. Для множин і векторних просторів будь-який мономорфізм є розщепленим мономорфізмом, але ця властивість не виконується для більш загальних алгебраїчних структур.

Епіморфізм

Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм. В алгебрі епіморфізми часто визначаються як сюр'єктивні гомоморфізми.^:134:43 З іншого боку, в теорії категорій епіморфізми визначаються як скоротні справа морфізми. Це означає, що (гомо)морфізм ${\displaystyle f\colon A\to B}$ є епіморфізмом, якщо для будь-якої пари ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ морфізмів з ${\displaystyle B}$ до будь-якого іншого об'єкта ${\displaystyle C}$, рівність ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ означає ${\displaystyle g=h}$.

Сюр'єктивний гомоморфізм завжди є скоротним справа, але ця домовленість не завжди вірна для алгебраїчних структур. Однак, два визначення епіморфізму тотожні для множин, векторних просторів, абелевих груп, модулів (див. нижче для доведення) і груп. Важливість цих структур у всій математиці, і особливо в лінійній алгебрі та гомологічній алгебрі, може пояснити співіснування двох нетотожних визначень.

Алгебраїчні структури, для яких існують несюр'єктивні епіморфізми, включають напівгрупи і кільця. Основним прикладом є те що цілі числа входять до раціональних чисел, що є гомоморфізмом кілець і мультиплікативних напівгруп. Для обох структур це мономорфізм і не сюр'єктивний епіморфізм, але не ізоморфізм.

Широким узагальненням цього прикладу є локалізація кільця мультиплікативною множиною. Кожна локалізація — це кільцевий епіморфізм, який, в загальному випадку, не сюр'єктивний. Оскільки локалізації є фундаментальними в комутативній алгебрі та алгебричній геометрії, це може пояснити, чому в цих областях визначення епіморфізмів як скоротних справа гомоморфізмів, як правило, є кращим.

^[en] — це гомоморфізм, що має праве обернення і, таким чином, сам по собі є лівим оберненням від цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ є розділеним епіморфізмом, якщо існує гомоморфізм ${\displaystyle g\colon B\rightarrow A}$ такий, що ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$ Розділений епіморфізм завжди є епіморфізмом для обох значень епіморфізму. Для множин та векторних просторів, будь-який епіморфізм це розділений епіморфізм, та ця властивість не буде виконуватися для всіх алгебраїчних структур.

У підсумку, маємо

розділений епіморфізм ${\displaystyle \Rightarrow }$ епіморфізм(сюр'єктивний) ${\displaystyle \Rightarrow }$ епіморфізм (скоротний справа)

останнє значення - еквівалентність множин, векторних просторів, модулів і абелевих груп; перше значення - еквівалентність множин і векторних просторів.

Ядро та образ гомоморфізму

• Гомоморфізм ${\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B}$ визначає відношення еквівалентності ${\displaystyle \sim }$ в ${\displaystyle A}$ так:

${\displaystyle x\sim y\ \iff \ \phi {(x)}=\phi {(y)}.}$

Відношення ${\displaystyle \sim }$ називається ядром ${\displaystyle \phi }$.

• Фактор-множина ${\displaystyle X/\!\sim }$ ізоморфна образу ${\displaystyle \phi }$.

Властивості

• Множина всіх ендоморфізмів множини ${\displaystyle X}$ утворює моноїд, позначається ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$.
• Множина всіх автоморфізмів множини ${\displaystyle X}$ утворює групу, позначається ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$.

Практичне значення

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

Примітки

1. Fricke, Robert (1897–1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. B.G. Teubner. OCLC 29857037.
2. Див.:
   • Ritter, Ernst (1892). Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze [The unique automorphic forms of genus zero, a revision and extension of Poincaré's theorem]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 1—82. doi:10.1007/BF01443449. S2CID 121524108. From footnote on p. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Following a suggestion of Prof. Klein, instead of the cumbersome and not always satisfactory designations "holohedric, or hemihedric, etc. isomorphic", I will limit the denomination "isomorphic" to the case of a holohedric isomorphism of two groups; otherwise, however, [I will] speak of a "homomorphism", …)
   • Fricke, Robert (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (нім.). 41: 443—468. doi:10.1007/BF01443421. S2CID 120022176. From p. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet." (Thus, as one immediately sees, a homomorphic relation of the group Γ₍₆₃₎ is based on the group of modulo n incongruent substitutions with rational whole coefficients of the determinant 1.) From footnote on p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Following a usage that has been introduced by Mr. Klein during his more recent lectures, I write in place of the earlier designation "merohedral isomorphism" the more logical "homomorphism".)
3. Birkhoff, Garrett (1967), Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 25 (вид. 3rd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN , MR 0598630
4. Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN .
5. (1971). . . Т. 5. Springer-Verlag. Exercise 4 in section I.5. ISBN . Zbl 0232.18001.
6. Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Pure and Applied Mathematics. Т. 235. New York, NY: Marcel Dekker. с. 363. ISBN . Zbl 0962.16026.

Нотатки

1. Як це часто буває, але не завжди, тут використовуються однакові символи для операції для обох множин ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$.

Цитування

Література

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)