Правильний ікоса́едр (від грец. εικοσάς, «двадцять» і грец. —εδρον, «грань», «лице», «основа») — правильний опуклий двадцятигранник, об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з двадцяти правильних трикутників, є одним з п’яти опуклих правильних багатогранників (тіл Платона).
Правильний ікосаедр | |
---|---|
Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі | |
Тип | Правильний багатогранник, дельтаедр |
Властивості | Опуклий, рівносторонній,однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивний |
Комбінаторика | |
Елементи | 20 граней ({3}); 30 ребер; 12 вершин (5-го степеня). |
Грані | 20 Правильних трикутників |
Характеристика Ейлера | |
Конфігурація вершини | 3.3.3.3.3 = 35 Кожна вершина оточена 5 трикутниками. |
Вершинна фігура | Правильний п'ятикутник з довжиною сторони |
Класифікація | |
Позначення | • I або sT (в [en] ) • I5 (в нотації Стюарта) • U22 (як однорідний багатогранник) • C25 (в нотації Г. Коксетера) • W4 (в нотації М. Веннінґера) |
Символ Шлефлі | |
[en] | 5 | 2 3 |
Діаграма Коксетера-Динкіна | або (o5o3x) |
Діаграма Шлегеля | |
Група симетрії | [en], H3, [5,3], (*532), порядок 120 (Повна симетрія правильного ікосаедра) |
Група обертань | I, [5,3]+, (532), порядок 60 |
Двоїстий багатогранник | Правильний додекаедр |
Розгортка |
Ікосаедр складений з 20 правильних трикутних граней.
Має 30 ребер однакової довжини та 12 вершин (у кожній сходяться 5 ребер).
Його символ Шлефлі — . Це означає, що кожна вершина оточена п'ятьма правильними трикутниками; або також це означає для багатогранника, що його грань — правильний трикутник, а вершинна фігура — правильний п'ятикутник.
Оскільки всі грані правильного ікосаедра правильні трикутники, то цей багатогранник є дельтаедром.
Правильний ікосаедр має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5 радіан);
‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через центри протилежних граней; (поворот на 120° і 240° або 2π/3 і 4π/3 радіан);
‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180° або π радіан).
Правильний ікосаедр має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.
Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).
Сума плоских кутів при кожній з 12 вершин дорівнює 300°.
Правильний ікосаедр має 59 зірчастих форм.
Геометрія
Правильний ікосаедр з довжиною ребра a можна отримати, наростивши правильну п'ятикутну антипризму з довжиною ребра a двома правильними з довжиною ребра a (що є багатогранниками Джонсона J2). При цьому висота нарощених пірамід дорівнює
Таким чином правильний ікосаедр також можна назвати скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою. В цьому випадку він має діедричну симетрію 5-Антипризми ([en], [2+,10], (2*5), порядок 20).
Багатогранник Каталана | Зірчастий багатогранник |
---|---|
Наростивши на всіх гранях правильного ікосаедра з довжиною ребра a прямі трикутні піраміди, висотою , отримаємо напівправильний рівнокутний багатогранник Каталана — триакісікосаедр.
Якщо висота нарощених пірамід буде дорівнювати , то отримаємо зірчастий багатогранник, що є топологічно еквівалентним до триакісікосаедра і візуально схожий на великий зірчастий додекаедр (одне з тіл Кеплера — Пуансо).
Якщо на гранях правильного ікосаедра прямі трикутні піраміди, висотою , наростити в тіло багатогранника (тобто фактично видалити з нього), то отримаємо зірчастий багатогранник, що є топологічно еквівалентним до триакісікосаедра і візуально схожий на великий додекаедр (одне з тіл Кеплера — Пуансо).
Властивості
- Всі 12 вершин правильного ікосаедра лежать в чотирьох паралельних площинах.
- Перерізом ікосаедра площиною, перпендикулярною до осей симетрії 5-го порядку (діагоналей правильного ікосаедра), може бути:
- правильний п'ятикутник ; Найбільший за площею переріз у формі правильного п'ятикутника (проходить через п'ять вершин ікосаедра) ділить діагональ ікосаедра у співвідношенні
- (якщо площина проходить також через центр правильного ікосаедра; таких перерізів ікосаедр має 6) ;
- напівправильний рівнокутний десятикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).
Переріз правильного ікосаедра площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії 3-го порядку паралельно до його грані і проходить через три вершини ікосаедра, має форму напівправильного рівностороннього шестикутника (з чергуванням двох типів вершин); якщо ця площина також проходить через центр ікосаедра, то переріз має форму напівправильного рівностороннього дванадцятикутника (з чергуванням двох типів вершин).
- Правильний ікосаедр має 43 380 різних розгорток (так само як і правильний додекаедр). Це означає, що існує 43380 способів зробити із ікосаедра пласку розгортку, розрізавши 11 ребер. Інші 19 ребер з'єднують 20 рівносторонніх трикутників розгортки.
- Для того, щоб зафарбувати правильний ікосаедр так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.
Кількість способів розфарбувати правильний ікосаедр так, щоб всі грані мали різні кольори дорівнює 20!/60 = 40 548 366 802 944 000 : група кольорів є групою перестановок з 20 елементів і має розмір 20!, тоді як порядок чистої обертової симетрії правильного ікосаедра дорівнює 60 (половина від повної симетрії, тобто 120 елементів).
- Найбільш щільне пакування правильних ікосаедрів в просторі (тобто таке, що має найменші пустоти між ними) має щільність 0.836357 .
Зв'язок з правильним додекаедром
Правильний ікосаедр та правильний додекаедр є взаємно двоїстими багатогранниками. Тобто центри граней правильного ікосаедра є вершинами правильного додекаедра, і навпаки, центри граней правильного додекаедра є вершинами правильного ікосаедра.
Якщо правильний ікосаедр має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий додекаедр (вершини знаходяться в центрах граней початкового ікосаедра) має ребро довжиною , а канонічно двоїстий додекаедр (напіввписані сфери канонічно-двоїстої пари багатогранників збігаються) має ребро довжиною .
Серед правильних багатогранників як ікосаедр, так і додекаедр являють собою найкраще наближення до сфери. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший двогранний кут і найщільніше притискається до своєї вписаної сфери. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший тілесний кут при вершині і максимально заповнює свою описану сферу.
Якщо додекаедр вписано у сферу, то він займає 66.49% об'єму сфери. А ікосаедр, вписаний у ту саму сферу, займає 60.54% її об'єму.
Сфера, що вписана в ікосаедр, охоплює 89,635% його об'єму порівняно з 75,47% для додекаедра.
Об'єм правильного додекаедра з довжиною ребра більш ніж у три з половиною рази більший за об'єм ікосаедра з такою самою довжиною ребер:
та .
Відношення об'ємів складає:
- В правильний ікосаедр можна вписати правильний додекаедр таким чином, що всі 20 вершин додекаедра знаходитимуться в центрах граней ікосаедра.
- Правильний ікосаедр можна вписати в правильний додекаедр таким чином, що всі 12 вершин ікосаедраа будуть розташовані в центрах 12-ти граней додекаедра.
Зв'язок з іншими правильними багатогранниками
- В правильний ікосаедр може бути вписаний правильний тетраедр, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.
- У куб з довжиною ребра можна вписати правильний ікосаедр з довжиною ребра , так, що шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба і лежатимуть паралельно (або перпендикулярно) до ребер куба; решта 24 ребра лежатимуть всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.
Існує 5 різних способів вписати ікосаедр в куб.
Якщо в додекаедр вписано куб, а в куб вписано ікосаедр, то ці додекаедр та ікосаедр мають однакову довжину ребра.
- Ікосаедр можна вписати в октаедр, розмістивши його 12 вершин на 12 ребрах октаедра так, щоб вони розділили кожне ребро у відношенні «золотого перетину». Оскільки золоті перерізи нерівні, існує п'ять різних способів зробити це послідовно, тому в кожен октаедр можна вписати п'ять різних ікосаедрів.
Зв'язок з «золотим прямокутником»
В правильний ікосаедр ідеально вписуються три взаємно перпендикулярні і відцентровані « золоті прямокутники » з відношенням сторін , що мають спільну точку в центрі ікосаедра.
При цьому дві короткі сторони одного такого прямокутника збігаються з протилежними паралельними ребрами ікосаедра.
Формули
У всіх формулах нижче:
— відношення пропорції «золотого перетину».
(послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
Діагоналі
Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ,
де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.
Для правильного ікосаедра:
діагоналей.
Всі діагоналі правильного ікосаедра є просторовими; граневих діагоналей він не має.
Діагоналі правильного ікосаедра з довжиною ребра | |||
---|---|---|---|
Просторові діагоналі | ≈ 1.6180339887 | ||
≈ 1.9021130326 |
Метричні характеристики
Для правильного ікосаедра з довжиною ребра | ||
---|---|---|
Радіус вписаної сфери (Торкається всіх граней багатогранника) | ≈ 0.7557613141 послідовність A179294 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS | |
Радіус напіввписаної сфери (Торкається всіх ребер багатогранника) | ≈ 0.8090169944 | |
Радіус описаної сфери (Містить всі вершини багатогранника) | ≈ 0.9510565163 послідовність A179296 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS | |
Висота H (Відстань між паралельними гранями) | ≈ 1.5115226281 | |
Площа поверхні | | ≈ 8.6602540378 ≈ 15.1621684308 ≈ 9.5745413833 |
Об'єм |
| ≈ 2.18169499 ≈ 5.054056143 ≈ 2.53615071 |
Відношення радіусів однакове, як для правильного додекаедра, так і для правильного ікосаедра. Таким чином, якщо правильні додекаедр та ікосаедр мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою. Доведення цього математичного результату дано в Началах Евкліда.
Центр масс правильного ікосаедра знаходиться в його геометричному центрі.
Момент інерції суцільного правильного ікосаедра з масою m та довжиною ребра a (вісь обертання проходить через протилежні вершини):
Вписана сфера правильного ікосаедра | Напіввписана сфера правильного ікосаедра | Описана сфера правильного ікосаедра |
Точка в просторі
Нехай описана сфера ікосаедра має радіус R. Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин ікосаедра дорівнюють di . Тоді виконується рівність:
Якщо точка знаходиться на описаній сфері ікосаедра, то виконується рівність:
Кути
Плоскі кути граней при вершині: 60°.
Сума плоских кутів при кожній з 12 вершин дорівнює 300°.
Кути багатогранника | ||
---|---|---|
Кут, під яким ребро видно з центру правильного ікосаедра | ≈ 1.10714871779 рад ≈ 63°26′ 5.81576′′ | |
Двогранний кут між гранями | ≈ 2.4118649973 рад ≈ 138°11′ 22.866375′′ | |
Тілесний кут при вершині | ≈ 2.63454702604 ср | |
Тілесний кут, під яким грань видно з центру багатогранника | ≈ 0.6283185307 ср | |
Сферичність |
Декартові координати вершин
Декартові координати 12-и вершин правильного ікосаедра з довжиною ребра , центр якого знаходиться в початку координат
При цьому вершини (окрім двох діаметрально протилежних вершин на осі Oz) лежать в двох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного п'ятикутника.
Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.
Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 5-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.
Площина Oxz є однією з площин симетрії багатогранника.
Правильний ікосаедраедр з довжиною ребра в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:
При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.
Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.
Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 3-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.
Площина Oxz збігається з однією з площин симетрії багатогранника.
Вершини ікосаедра з довжиною ребра 2 і центром в початку координат визначають такі декартові координати:
- ;
- ;
- .
де — відношення пропорції «золотого перетину».
При цьому всі вершини лежать в трьох координатних площинах, в кожній з яких розташовані як вершини взаємно відцентрованих і взаємно ортогональних «золотих прямокутників».Осі координат Ox, Oy та Oz збігаються з осями обертової симетрії 2-го порядку, а координатні площини Oxz, Oyz та Oxy є площинами дзеркальної симетрії правильного ікосаедра.
Граф правильного ікосаедра
Граф правильного ікосаедра | |
---|---|
3-fold symmetry | |
(Вершин) | 12 |
(Ребер) | 30 |
(Радіус) | 3 |
(Діаметр) | 3 |
(Обхват) | 3 |
(Автоморфізм) | 120 |
Хроматичне число | 4 |
Властивості | Регулярний, планарний, багатогранний, простий, зв'язний, двозв'язний, симетричний Гамільтонів, граф Келі, циклічний , панциклічний, вершинно-транзитивний, реберно-транзитивний, дистанційно-транзитивний, дистанційно-регулярний |
В теорії графів граф правильного ікосаедра — це граф з 12 вершинами та 30 ребрами, що має кістяк правильного ікосаедра.
Також він є одним з 5 платонових графів, кістяк якого є багатогранником Платона.
Всі 12 вершин графа мають степінь 5, а отже, граф є графом 5-го степеня (англ. quintic).
Також граф є 3-вершинно-зв'язним, тобто він залишається зв'язним графом навіть після видалення з нього до трьох (включно) вершин.
Спектр графа :
Гамільтонові цикли
Граф правильного ікосаедра є гамільтоновим, та має 2560 різнихгамільтонових циклів .
Гамільтонів цикл — замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз. Гамільтонів шлях між вершинами U, V існує тоді і тільки тоді, коли u и v мають різні кольори в двокольоровому розфарбуванні графа.
Граф правильного ікосаедра не має ейлерових циклів.
Граф правильного ікосаедра повністю еквівалентний до графа великого додекаедра (одного з правильних багатогранників Кеплера — Пуансо), оскільки ці багатогранники мають однакове [en] та ребер.
Симетрія правильного ікосаедра
Правильний ікосаедр має повну [en] Ih, групу Коксетера [5,3], порядку 120, з абстактною структурою групи A5 × Z2.
Обертова група симетрії I правильного ікосаедра має порядок 60 і ізоморфна до знакозмінної групи з п'яти елементів (групи чергування парних перестановок п'яти елементів — A5). Ця неабелева проста група є єдиною нетривіальною нормальною підгрупою симетричної групи S5 з п'яти елементів.
Повна група симетрії ікосаедра (разом з відбиттями) Ih відома як повна [en] має порядок 120. Вона ізоморфна добутку групи обертової симетрії та групи другого порядку, яка утворюється при відбитті через центр ікосаедра. Повна ікосаедрична група Ih має обертову групу симетрії I як нормальну підгрупу індекса 2. Отже, Ih = I × Z2 = A5× Z2 , що відповідає елементу (тотожний елемент ,‒ 1), де Z2 записано мультиплікативно (кратно).
Зауважимо. що групи Ih (повна ікосаедрична група) та S5 (симетрична група з 5 елементів) обидві мають порядок 120, але не є ізоморфними.
Кожен багатогранник з ікосаедричною симетрією має 60 обертових симетрій (або симетрій, що зберігають орієнтацію) і 60 симетрій, що змінюють орієнтацію (які поєднують обертання і відбиття)
Повна група симетрії Ih є групою Коксетера типу H3. Її можна зобразити в нотації Коксетера як [5,3] та діаграмою Коксетера — Динкіна .
Елементи ікосаедричної групи симетрії
1) Правильний ікосаедр має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку з кутами поворотів на 72°, 144°, 216° і 288° (або 2π/5, 4π/5, 6π/5та 8π/5 радіан) — проходять через протилежні вершини; на діаграмі вони показані синім кольором;
Кожна з них проходить через центр O симетрії ікосаедра а, отже, є віссю дзеркально-обертової симетрії 10-го порядку з такими ж кутами поворотів.
Повороти на чотири кути 2π/5, 4π/5, 6π/5 та 8π/5 радіан при шести парах протилежних граней, дають 4∙6 = 24 поворотів цього типу.
‒ 10 осей 3-го порядку з кутами поворотів на 120° і 240° (або 2π/3 і 4π/3 радіан) — проходять через центри протилежних граней (червоний колір);
Кожна з цих осей проходить через центр симетрії ікосаедра, а тому є його віссю дзеркально-обертової симетрії 6-го порядку з такими ж кутами поворотів.
Повороти на два кути 2π/3 і 4π/3 радіан при десяти парах протилежних вершин дають 2∙10 = 20 поворотів цього типу.
‒ 15 осей 2-го порядку з кутом повороту на 180° (або π радіан) — проходять через середини протилежних паралельних ребер (пурпуровий колір).
Ці повороти також є осьовою симетрією ікосаедра.
Поворот на кут π радіан при п’ятнадцяти парах протилежних ребер, дає 1∙15= 15 поворотів цього типу.
Таким чином 24 + 20 + 15 обертів (+ тотожне перетворення) утворює підгрупу з 60 елементів, ізоморфну до знакозмінної групи A5 (групи чергування парних перестановок п'яти елементів). Це і є група I власних рухів (обертів) правильного ікосаедра.
2) Правильний ікосаедр має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані (на цій сфері вони виглядають як блакитні великі кола), які перетинаються під кутами у визначеному порядку, розбиваючи сферу на 120 трикутних фундаментальних областей.
3) Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).
Вершини правильного ікосаедра знаходяться в точках, що відповідають осям обертання 5-го порядку.
Фелікс Кляйн написав книгу, в якій використав теорію ікосаедричних симетрій для виведення аналітичного розв'язку рівняння 5-го степеня в загальному вигляді.
Характерною особливістю правильного ікосаедра (також і правильного додекаедра) є наявність в нього осей обертової симетрії 5-го порядку, які не дозволені правилами кристалографії :Стор.41 , тобто в природі не існує кристалів мінералів, що мають форму правильного ікосаедра.
Пов'язані та споріднені багатогранники
Зірчасті форми правильного ікосаедра
Правильний ікосаедр має [en], з яких 32 мають повну, а 27 — неповну [en], що довів в 1938 році Гарольд Коксетер спільно з [en], Флезером (H.T. Flather) і Петрі (John Flinders Petrie) із застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером.
Першою зірчастою формою правильного ікосаедра є він сам. При продовженні (розширені) його грані перетинаються, визначаючи області в просторі (див. діаграму ззірчення) і послідовно утворюють наступні зірчасті форми.
Однією з зірчастих форм правильного ікосаедра є правильний зірчастий багатогранник Кеплера — Пуансо ― великий ікосаедр.
Три зірчасті форми правильного ікосаедра є однорідними з'єднаннями багатогранників: однорідне [en], однорідне [en] та однорідне з'єднання п'яти тетраедрів (що має дві хіральні форми).
Діаграма ззірчення правильного ікосаедра. . | |||||||
Гранування
Три правильних зірчастих багатогранники Кеплера — Пуансо мають гранування правильного ікосаедра.
Зокрема, малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр та великий ікосаедр мають таке ж [en] як і в правильного ікосаедра. Всі три багатогранники також мають 30 ребер. Окрім того великий додекаедр має таке ж розташування ребер, як і в правильного ікосаедра, але відрізняється гранями: у великого додекаедра — правильні п'ятикутники, що взаємно перетинаються, а в правильного ікосаедра — правильні трикутники.
Відсікання
Чотири правильногранних багатогранники Джонсона можуть бути отримані з правильного ікосаедра шляхом відсікання від нього частин. Точніше, термін відсікання означає видалення однієї або кількох вершин, ребер, граней багатогранника (відсікається у вигляді піраміди або купола), без порушення інших вершин.
- Відсічений ікосаедр () (J11) — утворюється з правильного ікосаедра шляхом видалення будь-якої його вершини разом з ребрами та гранями, що її оточують (відсікається ).
- (J62) — видаляються дві несусідні і не протилежні вершини ікосаедра (відсікаються дві ).
- Тричі відсічений ікосаедр (J63) — видаляються три його вершини разом з ребрами та гранями, що їх оточують (відсікаються три ).
Двічі протилежно відсічений ікосаедр (коли видаляються дві протилежні вершини) являє собою однорідну п'ятикутну антипризму.
При відсіканні двох сусідніх вершин правильного ікосаедра утворюється багатогранник, що має назву розсічений правильний ікосаедр (англ.[en]). Він має 10 вершин, 22 ребра та 14 граней (12 правильних трикутників та 2 рівнобічні трапеції). Багатогранник топологічно еквівалентний до [en] (одного з багатогранників Джонсона, J86) і є вершинною фігурою 4D політопа — [en].
При відсіканні двох протилежних наборів сусідніх вершин (тобто чотирьох вершин двох протилежних паралельних ребер) утворюється двосхилий бікупол, що має 8 вершин, 14 ребер та 8 граней (4 правильних трикутників та 4 рівнобічні трапеції).
Зв'язок із 600-комірником та іншими 4-політопами
Аналогом правильного ікосаедра в чотиривимірному просторі є 600-комірник, один з шести [en].
600-комірник має ікосаедричні перерізи двох розмірів, і кожна з його 120 вершин є ікосаедричною пірамідою; правильний ікосаедр є вершинною фігурою 600-комірника.
600-комірник з одиничним радіусом описаної гіперсфери має комірки у вигляді правильного тетраедра з довжиною ребра , 20 з яких зустрічаються у кожній вершині, утворюючи ікосаедричну піраміду (4-піраміду з ікосаедром в основі). Таким чином, 600-комірник містить 120 ікосаедрів з довжиною ребра .
600-комірник також містить куби та октаедри з одиничною довжиною ребра як внутрішні елементи, утворені хордами з одиничною довжиною ребра.
120-комірник з одиничним радіусом описаної гіперсфери (іншій правильній 4-політоп, який є одночасно двоїстим до 600-комірника і з'єднанням з п'яти 600-комірників) має всі три види вписаних ікосаедрів (у додекаедр, октаедр та куб).
Правильний ікосаедр є коміркою напівправильного 4-політопа — кирпатого 24-комірника.
Додатково
[en] правильного ікосаедра | ||||
---|---|---|---|---|
Просторовими [en] правильного ікосаедра є 6 просторових десятикутників. |
Див. також
- Двадцятигранник
- Напівікосаедр
- Ікосаедричне число
- [en] — головоломка на зразок кубика Рубика у формі правильного ікосаедра.
Примітки
- H. S. M. Coxeter, 1954.
- Klitzing, Richard. ike. https://bendwavy.org/klitzing/home.htm (англ.) .
- Weisstein, Eric W. Regular Icosahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. — Columbia University Press / New York: Dover, 1991. — P. 200. — .
- Edkins, Jo (2007). . Solid shapes and their nets (англ.) . Архів оригіналу за 26 грудня 2019.
- S. Torquato and Y. Jiao., с. 52.
- Borovik, Alexandre (2006). Coxeter Theory: The Cognitive Aspects. У Davis, Chandler; Ellers, Erich (ред.). The Coxeter Legacy. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. с. 17—43. ISBN .
- Peter R. Cromwell, 1997, с. 71.
- Kenneth J. MacLean, с. 15.
- Regular icosahedron inertia tensor - Wolfram Alpha. www.wolframalpha.com (англ.) .
- Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420.
- Read, R. C.; Wilson, R. J. (1998). An Atlas of Graphs (англ.) . Oxford University Press.
- Eric Weisstein. Icosahedral Graph. mathworld.wolfram.com (англ.) .
- Icosahedral Graph. wolframalpha.com (англ.) .
- Klein, 1884.
- І.М. Фодчук, О.О. Ткач., с. 108.
- H. S. M. Coxeter; The Fifty-nine Icosahedra, 1938.
- , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, (Chapter 26) The Grand Antiprism
Література
- H. S. M. Coxeter. Uniform polyhedra / M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, № 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — DOI: .
- Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge, U.K. ; New York, NY, USA : Cambridge University Press, 1997. — 451 (англ.) с. — .
- Kenneth J. MacLean. A Mathematical Analysis of the Icosahedron from a Geometric Perspective. — 2019. — С. 15.
- S. Torquato and Y. Jiao. Dense Packings of Polyhedra: Platonic and Archimedean Solids. — Princeton University, Princeton New Jersey 08544, USA, 2009. — С. 52 (англ.). — DOI: .
- Felix Klein (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (нім.) . Leipzig, B.G. Teubner.
- Felix Klein (1888). Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree (англ.) . Переклад: George Gavin Morrice. Cornell University Library: London : TRUBNER & CO., LUDGATE HILL. с. 294. cu31924059413439.
- І.М. Фодчук, О.О. Ткач. Основи кристалографії: навчальний посібник. — Чернівці : ЧНУ ім. Юрія Федьковича, 2007. — 108 с.
- H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie. The Fifty-nine Icosahedra. — University of Toronto studies, 1938. — P. 1-26. — (mathematical series 6)
Посилання
- Weisstein, Eric W. Regular Icosahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Icosahedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- Icosahedron (англ.) на сайті dmccooey.com.
- Klitzing, Richard. "Ike".
- Quickfur. "The Icosahedron"
- Nan Ma. "Icosahedron {3, 5}"
- Wedd, N. "The icosahedron"
- Hi.gher.Space Wiki Contributors. "Icosahedron"
- Paper Models of Polyhedra [ 26 лютого 2013 у Wayback Machine.]
- Paper Icosahedron
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pravilnij ikosa edr vid grec eikosas dvadcyat i grec edron gran lice osnova pravilnij opuklij dvadcyatigrannik ob yemna geometrichna figura poverhnya yakoyi skladena z dvadcyati pravilnih trikutnikiv ye odnim z p yati opuklih pravilnih bagatogrannikiv til Platona Pravilnij ikosaedr Natisnit tut shob podivitisya obertannya modeli Tip Pravilnij bagatogrannik deltaedr Vlastivosti Opuklij rivnostoronnij odnoridnij vershinno tranzitivnij grane tranzitivnij Kombinatorika Elementi 20 granej 3 30 reber 12 vershin 5 go stepenya Grani 20 Pravilnih trikutnikiv Harakteristika Ejlera x G P B 2 displaystyle chi Gamma hbox P hbox B 2 Konfiguraciya vershini 3 3 3 3 3 35 Kozhna vershina otochena 5 trikutnikami Vershinna figura Pravilnij p yatikutnik z dovzhinoyu storoni 1 5 2 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 Klasifikaciya Poznachennya I abo sT v en I5 v notaciyi Styuarta U22 yak odnoridnij bagatogrannik C25 v notaciyi G Koksetera W4 v notaciyi M Venningera Simvol Shlefli 3 5 displaystyle left 3 5 right en 5 2 3 Diagrama Koksetera Dinkina abo o5o3x Diagrama Shlegelya Grupa simetriyi en H3 5 3 532 poryadok 120 Povna simetriya pravilnogo ikosaedra Grupa obertan I 5 3 532 poryadok 60 Dvoyistij bagatogrannik Pravilnij dodekaedr Rozgortka Ikosaedr skladenij z 20 pravilnih trikutnih granej Maye 30 reber odnakovoyi dovzhini ta 12 vershin u kozhnij shodyatsya 5 reber Jogo simvol Shlefli 3 5 displaystyle left 3 5 right Ce oznachaye sho kozhna vershina otochena p yatma pravilnimi trikutnikami abo takozh ce oznachaye dlya bagatogrannika sho jogo gran pravilnij trikutnik a vershinna figura pravilnij p yatikutnik stor 410 Oskilki vsi grani pravilnogo ikosaedra pravilni trikutniki to cej bagatogrannik ye deltaedrom Pravilnij ikosaedr Pravilnij ikosaedr maye 31 vis obertovoyi simetriyi 6 osej 5 go poryadku prohodyat cherez protilezhni vershini povorot na 72 144 216 i 288 abo 2p 5 4p 5 6p 5 8p 5 radian 10 osej 3 go poryadku prohodyat cherez centri protilezhnih granej povorot na 120 i 240 abo 2p 3 i 4p 3 radian 15 osej 2 go poryadku prohodyat cherez seredini protilezhnih paralelnih reber povorot na 180 abo p radian Pravilnij ikosaedr maye 15 ploshin dzerkalnoyi simetriyi sho prohodyat cherez vershinu ta seredinu protilezhnogo rebra dlya kozhnoyi grani Maye centr simetriyi v nomu peretinayutsya vsi osi ta ploshini simetriyi Suma ploskih kutiv pri kozhnij z 12 vershin dorivnyuye 300 Pravilnij ikosaedr maye 59 zirchastih form GeometriyaPravilnij ikosaedr yak dvichi naroshena p yatikutna antiprizma Pravilnij ikosaedr z dovzhinoyu rebra a mozhna otrimati narostivshi pravilnu p yatikutnu antiprizmu z dovzhinoyu rebra a dvoma pravilnimi z dovzhinoyu rebra a sho ye bagatogrannikami Dzhonsona J2 Pri comu visota naroshenih piramid dorivnyuye O H 5 5 10 a 1 f 2 a 0 525731 a displaystyle OH sqrt tfrac 5 sqrt 5 10 cdot a tfrac 1 sqrt varphi 2 cdot a approx 0 525731 cdot a Takim chinom pravilnij ikosaedr takozh mozhna nazvati skruchenoyu podovzhenoyu p yatikutnoyu bipiramidoyu V comu vipadku vin maye diedrichnu simetriyu 5 Antiprizmi en 2 10 2 5 poryadok 20 Bagatogrannik Katalana Triakisikosaedr Zirchastij bagatogrannik Narostivshi na vsih granyah pravilnogo ikosaedra z dovzhinoyu rebra a pryami trikutni piramidi visotoyu 5 15 9 3 66 a 0 05721908 a displaystyle frac 5 sqrt 15 9 sqrt 3 66 cdot a approx 0 05721908 cdot a otrimayemo napivpravilnij rivnokutnij bagatogrannik Katalana triakisikosaedr Yaksho visota naroshenih piramid bude dorivnyuvati 3 6 3 5 a 7 3 5 6 a 1 5115226 a displaystyle frac sqrt 3 6 3 sqrt 5 cdot a sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 cdot a approx 1 5115226 cdot a to otrimayemo zirchastij bagatogrannik sho ye topologichno ekvivalentnim do triakisikosaedra i vizualno shozhij na velikij zirchastij dodekaedr odne z til Keplera Puanso Yaksho na granyah pravilnogo ikosaedra pryami trikutni piramidi visotoyu 3 6 3 5 a 0 22052818 a displaystyle frac sqrt 3 6 3 sqrt 5 cdot a approx 0 22052818 cdot a narostiti v tilo bagatogrannika tobto faktichno vidaliti z nogo to otrimayemo zirchastij bagatogrannik sho ye topologichno ekvivalentnim do triakisikosaedra i vizualno shozhij na velikij dodekaedr odne z til Keplera Puanso VlastivostiVsi 12 vershin pravilnogo ikosaedra lezhat v chotiroh paralelnih ploshinah Pererizom ikosaedra ploshinoyu perpendikulyarnoyu do osej simetriyi 5 go poryadku diagonalej pravilnogo ikosaedra mozhe buti pravilnij p yatikutnik Najbilshij za plosheyu pereriz u formi pravilnogo p yatikutnika prohodit cherez p yat vershin ikosaedra dilit diagonal ikosaedra u spivvidnoshenni 1 f 2 1 2 61803399 displaystyle 1 varphi 2 1 2 61803399 yaksho ploshina prohodit takozh cherez centr pravilnogo ikosaedra takih pereriziv ikosaedr maye 6 napivpravilnij rivnokutnij desyatikutnik maye dva tipi reber sho cherguyutsya mizh soboyu Pereriz pravilnogo ikosaedra ploshinoyu sho prohodit perpendikulyarno do osi simetriyi 3 go poryadku paralelno do jogo grani i prohodit cherez tri vershini ikosaedra maye formu napivpravilnogo rivnostoronnogo shestikutnika z cherguvannyam dvoh tipiv vershin yaksho cya ploshina takozh prohodit cherez centr ikosaedra to pereriz maye formu napivpravilnogo rivnostoronnogo dvanadcyatikutnika z cherguvannyam dvoh tipiv vershin Animaciya skladannya rozgortki pravilnogo ikosaedraOdna z rozgortok pravilnogo ikosaedra Pravilnij ikosaedr maye 43 380 riznih rozgortok tak samo yak i pravilnij dodekaedr Ce oznachaye sho isnuye 43380 sposobiv zrobiti iz ikosaedra plasku rozgortku rozrizavshi 11 reber Inshi 19 reber z yednuyut 20 rivnostoronnih trikutnikiv rozgortki Dlya togo shob zafarbuvati pravilnij ikosaedr tak sho susidni grani ne matimut odnakovogo koloru neobhidno prinajmni tri kolori Kilkist sposobiv rozfarbuvati pravilnij ikosaedr tak shob vsi grani mali rizni kolori dorivnyuye 20 60 40 548 366 802 944 000 grupa koloriv ye grupoyu perestanovok z 20 elementiv i maye rozmir 20 todi yak poryadok chistoyi obertovoyi simetriyi pravilnogo ikosaedra dorivnyuye 60 polovina vid povnoyi simetriyi tobto 120 elementiv Najbilsh shilne pakuvannya pravilnih ikosaedriv v prostori tobto take sho maye najmenshi pustoti mizh nimi maye shilnist 0 836357 Stor 25 Zv yazok z pravilnim dodekaedrom Pravilnij ikosaedr ta pravilnij dodekaedr ye vzayemno dvoyistimi bagatogrannikami Tobto centri granej pravilnogo ikosaedra ye vershinami pravilnogo dodekaedra i navpaki centri granej pravilnogo dodekaedra ye vershinami pravilnogo ikosaedra Yaksho pravilnij ikosaedr maye rebro dovzhinoyu 1 to jogo topologichno dvoyistij dodekaedr vershini znahodyatsya v centrah granej pochatkovogo ikosaedra maye rebro dovzhinoyu 5 1 6 0 53934466 displaystyle frac sqrt 5 1 6 approx 0 53934466 a kanonichno dvoyistij dodekaedr napivvpisani sferi kanonichno dvoyistoyi pari bagatogrannikiv zbigayutsya maye rebro dovzhinoyu 1 f 5 1 2 0 61803399 displaystyle frac 1 varphi frac sqrt 5 1 2 approx 0 61803399 Sered pravilnih bagatogrannikiv yak ikosaedr tak i dodekaedr yavlyayut soboyu najkrashe nablizhennya do sferi Ikosaedr maye najbilshe chislo granej najbilshij dvogrannij kut i najshilnishe pritiskayetsya do svoyeyi vpisanoyi sferi Z inshogo boku dodekaedr maye najmenshij kutovij defekt najbilshij tilesnij kut pri vershini i maksimalno zapovnyuye svoyu opisanu sferu Yaksho dodekaedr vpisano u sferu to vin zajmaye 66 49 ob yemu sferi A ikosaedr vpisanij u tu samu sferu zajmaye 60 54 yiyi ob yemu Sfera sho vpisana v ikosaedr ohoplyuye 89 635 jogo ob yemu porivnyano z 75 47 dlya dodekaedra Ob yem pravilnogo dodekaedra z dovzhinoyu rebra bilsh nizh u tri z polovinoyu razi bilshij za ob yem ikosaedra z takoyu samoyu dovzhinoyu reber V dodek 7 663 a displaystyle V text dodek 7 663 cdot a ta V ikos 2 181 a displaystyle V text ikos 2 181 cdot a Vidnoshennya ob yemiv skladaye V dodek V ikos 3 5 3 5 10 3 5 3 f 1 1 8 f 0 6 3 51246117975 displaystyle frac V text dodek V text ikos frac 3 5 3 sqrt 5 10 frac 3 5 cdot 3 varphi 1 1 8 cdot varphi 0 6 approx 3 51246117975 Dodekaedr vpisanij v ikosaedrIkosaedr vpisanij v dodekaedr V pravilnij ikosaedr mozhna vpisati pravilnij dodekaedr takim chinom sho vsi 20 vershin dodekaedra znahoditimutsya v centrah granej ikosaedra Pravilnij ikosaedr mozhna vpisati v pravilnij dodekaedr takim chinom sho vsi 12 vershin ikosaedraa budut roztashovani v centrah 12 ti granej dodekaedra Zv yazok z inshimi pravilnimi bagatogrannikami Pravilnij ikosaedr vpisanij v kub V pravilnij ikosaedr mozhe buti vpisanij pravilnij tetraedr pritomu chotiri vershini tetraedra budut sumisheni z chotirma vershinami ikosaedra U kub z dovzhinoyu rebra a 1 textstyle a 1 mozhna vpisati pravilnij ikosaedr z dovzhinoyu rebra 1 f 0 618 textstyle frac 1 varphi approx 0 618 tak sho shist vzayemno paralelnih reber ikosaedra budut roztashovani vidpovidno na shesti granyah kuba i lezhatimut paralelno abo perpendikulyarno do reber kuba reshta 24 rebra lezhatimut vseredini kuba vsi dvanadcyat vershin ikosaedra lezhatimut na shesti granyah kuba Stor 9 Isnuye 5 riznih sposobiv vpisati ikosaedr v kub Yaksho v dodekaedr vpisano kub a v kub vpisano ikosaedr to ci dodekaedr ta ikosaedr mayut odnakovu dovzhinu rebra Ikosaedr mozhna vpisati v oktaedr rozmistivshi jogo 12 vershin na 12 rebrah oktaedra tak shob voni rozdilili kozhne rebro u vidnoshenni zolotogo peretinu Oskilki zoloti pererizi nerivni isnuye p yat riznih sposobiv zrobiti ce poslidovno tomu v kozhen oktaedr mozhna vpisati p yat riznih ikosaedriv Zv yazok z zolotim pryamokutnikom Zoloti pryamokutniki v ikosaedri V pravilnij ikosaedr idealno vpisuyutsya tri vzayemno perpendikulyarni i vidcentrovani zoloti pryamokutniki z vidnoshennyam storin 1 f 1 1 61803399 displaystyle 1 varphi 1 1 61803399 sho mayut spilnu tochku v centri ikosaedra Pri comu dvi korotki storoni odnogo takogo pryamokutnika zbigayutsya z protilezhnimi paralelnimi rebrami ikosaedra Stor 71FormuliU vsih formulah nizhche f 2 cos p 5 5 1 2 1 618034 displaystyle varphi 2 cdot cos left frac pi 5 right frac sqrt 5 1 2 approx 1 618034 vidnoshennya proporciyi zolotogo peretinu poslidovnist A001622 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Diagonali Kilkist diagonalej opuklogo bagatogrannika B 2 P displaystyle binom B 2 P de V kilkist vershin R kilkist reber bagatogrannika Dlya pravilnogo ikosaedra 12 2 30 12 2 11 1 30 66 30 36 displaystyle binom 12 2 30 frac 12 2 cdot frac 11 1 30 66 30 36 diagonalej Vsi diagonali pravilnogo ikosaedra ye prostorovimi granevih diagonalej vin ne maye Diagonali pravilnogo ikosaedra z dovzhinoyu rebra a displaystyle a Prostorovi diagonali A B 1 5 2 a f a displaystyle AB frac 1 sqrt 5 2 cdot a varphi cdot a 1 6180339887 a displaystyle cdot a A C 5 5 2 a f 2 a displaystyle AC sqrt frac 5 sqrt 5 2 cdot a sqrt varphi 2 cdot a 1 9021130326 a displaystyle cdot a Metrichni harakteristiki Dlya pravilnogo ikosaedra z dovzhinoyu rebra a displaystyle a Radius vpisanoyi sferi Torkayetsya vsih granej bagatogrannika r 3 12 3 5 a 3 6 f 2 a 3 6 f 1 a displaystyle r frac sqrt 3 12 cdot left 3 sqrt 5 right cdot a frac sqrt 3 6 cdot varphi 2 cdot a frac sqrt 3 6 cdot left varphi 1 right cdot a 0 7557613141 a displaystyle cdot a poslidovnist A179294 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Radius napivvpisanoyi sferi Torkayetsya vsih reber bagatogrannika r 1 5 4 a f 2 a displaystyle rho frac 1 sqrt 5 4 cdot a frac varphi 2 cdot a 0 8090169944 a displaystyle cdot a Radius opisanoyi sferi Mistit vsi vershini bagatogrannika R 1 2 5 5 2 a 1 2 f 2 a displaystyle R frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 2 cdot a frac 1 2 cdot sqrt varphi 2 cdot a 0 9510565163 a displaystyle cdot a poslidovnist A179296 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Visota H Vidstan mizh paralelnimi granyami H 2 r 3 6 3 5 a 3 3 f 2 a displaystyle H 2 cdot r frac sqrt 3 6 cdot left 3 sqrt 5 right cdot a frac sqrt 3 3 cdot varphi 2 cdot a 1 5115226281 a displaystyle cdot a Plosha poverhni S 5 3 a 2 displaystyle S 5 cdot sqrt 3 cdot a 2 S 30 3 7 3 5 r 2 60 3 f 4 r 2 displaystyle S 30 cdot sqrt 3 cdot 7 3 sqrt 5 cdot r 2 frac 60 cdot sqrt 3 varphi 4 cdot r 2 S 2 3 5 5 R 2 4 3 3 f R 2 displaystyle S 2 cdot sqrt 3 cdot 5 sqrt 5 cdot R 2 4 cdot sqrt 3 cdot 3 varphi cdot R 2 8 6602540378 a 2 displaystyle cdot a 2 15 1621684308 r 2 displaystyle cdot r 2 9 5745413833 R 2 displaystyle cdot R 2 Ob yem V 5 12 3 5 a 3 5 6 f 2 a 3 displaystyle V frac 5 12 cdot left 3 sqrt 5 right cdot a 3 frac 5 6 cdot varphi 2 cdot a 3 V 10 3 7 3 5 r 3 20 3 f 4 r 3 displaystyle V 10 cdot sqrt 3 cdot 7 3 sqrt 5 cdot r 3 frac 20 cdot sqrt 3 varphi 4 cdot r 3 V 2 3 10 2 5 R 3 4 3 f 2 R 3 displaystyle V frac 2 3 cdot sqrt 10 2 sqrt 5 cdot R 3 frac 4 3 cdot sqrt varphi 2 cdot R 3 2 18169499 a 3 displaystyle cdot a 3 5 054056143 r 3 displaystyle cdot r 3 2 53615071 R 3 displaystyle cdot R 3 Vidnoshennya radiusiv R r 3 3 f f 15 6 5 1 25840857 displaystyle frac R r frac sqrt 3 cdot 3 varphi varphi sqrt 15 6 sqrt 5 approx 1 25840857 odnakove yak dlya pravilnogo dodekaedra tak i dlya pravilnogo ikosaedra Takim chinom yaksho pravilni dodekaedr ta ikosaedr mayut odnakovi vpisani sferi to yih opisani sferi takozh rivni mizh soboyu Dovedennya cogo matematichnogo rezultatu dano v Nachalah Evklida Centr mass pravilnogo ikosaedra znahoditsya v jogo geometrichnomu centri Moment inerciyi sucilnogo pravilnogo ikosaedra z masoyu m ta dovzhinoyu rebra a vis obertannya prohodit cherez protilezhni vershini I 3 5 20 m a 2 f 2 10 m a 2 0 26180339887 m a 2 displaystyle I frac 3 sqrt 5 20 cdot m cdot a 2 frac varphi 2 10 cdot m cdot a 2 approx 0 26180339887 cdot m cdot a 2 Vpisana sfera pravilnogo ikosaedra Napivvpisana sfera pravilnogo ikosaedra Opisana sfera pravilnogo ikosaedra Tochka v prostori Nehaj opisana sfera ikosaedra maye radius R Nehaj dano dovilnu tochku v prostori i vidstani vid neyi do vershin ikosaedra dorivnyuyut di Todi vikonuyetsya rivnist stor 353 teor 7 2 1 12 i 1 12 d i 4 16 R 4 9 1 12 i 1 12 d i 2 2 R 2 3 2 displaystyle frac 1 12 sum i 1 12 d i 4 frac 16R 4 9 left frac 1 12 sum i 1 12 d i 2 frac 2R 2 3 right 2 Yaksho tochka znahoditsya na opisanij sferi ikosaedra to vikonuyetsya rivnist stor 354 teor 7 6 i 1 12 d i 2 9 i 1 12 d i 4 displaystyle sum i 1 12 d i 2 9 cdot sum i 1 12 d i 4 Kuti Ploski kuti granej pri vershini 60 Suma ploskih kutiv pri kozhnij z 12 vershin dorivnyuye 300 Kuti bagatogrannika Kut pid yakim rebro vidno z centru pravilnogo ikosaedra d arccos 5 5 2 arcsin 1 f 2 2 arctan 1 f displaystyle delta arccos left frac sqrt 5 5 right 2 cdot arcsin left frac 1 sqrt varphi 2 right 2 cdot arctan left frac 1 varphi right 1 10714871779 rad 63 26 5 81576 Dvogrannij kut mizh granyami Stor 8 8 arccos 5 3 2 arcsin f 3 2 arctan f 1 displaystyle theta arccos left frac sqrt 5 3 right 2 cdot arcsin left frac varphi sqrt 3 right 2 cdot arctan left varphi 1 right 2 4118649973 rad 138 11 22 866375 Tilesnij kut pri vershini W 1 2 p 5 arcsin 2 3 2 p 5 arctan 2 5 displaystyle Omega 1 2 pi 5 cdot arcsin left frac 2 3 right 2 pi 5 cdot arctan left frac 2 sqrt 5 right W 1 displaystyle Omega 1 2 63454702604 sr Tilesnij kut pid yakim gran vidno z centru bagatogrannika W 2 p 5 displaystyle Omega 2 frac pi 5 W 2 displaystyle Omega 2 0 6283185307 sr Sferichnist PS 1 3 p 10 7 3 5 3 displaystyle Psi frac 1 sqrt 3 cdot sqrt 3 frac pi 10 cdot 7 3 sqrt 5 PS 0 93932565 displaystyle Psi thickapprox 0 93932565 Dekartovi koordinati vershinPravilnij ikosaedr v dekartovij sistemi koordinat Dekartovi koordinati 12 i vershin pravilnogo ikosaedra z dovzhinoyu rebra a 1 displaystyle a 1 centr yakogo znahoditsya v pochatku koordinat 0 0 1 2 5 5 2 displaystyle left 0 0 pm frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 2 right 5 5 10 0 1 2 5 5 10 displaystyle left sqrt frac 5 sqrt 5 10 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 right 1 2 5 2 5 5 1 2 1 2 5 5 10 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 5 2 sqrt 5 5 pm frac 1 2 frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 right 1 2 5 5 10 5 1 4 1 2 5 5 10 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 pm frac sqrt 5 1 4 frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 right 5 5 10 0 1 2 5 5 10 displaystyle left sqrt frac 5 sqrt 5 10 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 right 1 2 5 2 5 5 1 2 1 2 5 5 10 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 5 2 sqrt 5 5 pm frac 1 2 frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 right 1 2 5 5 10 5 1 4 1 2 5 5 10 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 pm frac sqrt 5 1 4 frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 right Pri comu vershini okrim dvoh diametralno protilezhnih vershin na osi Oz lezhat v dvoh paralelnih ploshinah paralelnih do ploshini Oxy v kozhnij z yakih roztashovani yak vershini pravilnogo p yatikutnika Pochatok koordinat zbigayetsya z centrom bagatogrannika sho ye jogo centrom simetriyi ta centrom vpisanoyi napivvpisanoyi ta opisanoyi sfer Vis Oz zbigayetsya z odniyeyu z osej simetriyi 5 go poryadku a vis Oy z odniyeyu z osej simetriyi 2 go poryadku Ploshina Oxz ye odniyeyu z ploshin simetriyi bagatogrannika Pravilnij ikosaedraedr z dovzhinoyu rebra a 1 displaystyle a 1 v dekartovij sistemi koordinat maye vershini z nastupnimi koordinatami 3 3 0 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 3 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right 3 6 1 2 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 6 pm frac 1 2 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right 3 5 6 0 1 2 3 5 6 displaystyle left sqrt frac 3 sqrt 5 6 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 1 2 3 5 6 1 5 4 1 2 3 5 6 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 pm frac 1 sqrt 5 4 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 3 5 6 0 1 2 3 5 6 displaystyle left sqrt frac 3 sqrt 5 6 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 1 2 3 5 6 1 5 4 1 2 3 5 6 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 pm frac 1 sqrt 5 4 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 3 3 0 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 3 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right 3 6 1 2 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 6 pm frac 1 2 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right Pri comu vershini lezhat v chotiroh paralelnih ploshinah paralelnih do ploshini Oxy v kozhnij z yakih roztashovani yak vershini pravilnogo trikutnika Pochatok koordinat zbigayetsya z centrom bagatogrannika sho ye jogo centrom simetriyi ta centrom vpisanoyi napivvpisanoyi ta opisanoyi sfer Vis Oz zbigayetsya z odniyeyu z osej simetriyi 3 go poryadku a vis Oy z odniyeyu z osej simetriyi 2 go poryadku Ploshina Oxz zbigayetsya z odniyeyu z ploshin simetriyi bagatogrannika Zoloti pryamokutniki v ikosaedri Vershini ikosaedra z dovzhinoyu rebra 2 i centrom v pochatku koordinat viznachayut taki dekartovi koordinati 0 1 f displaystyle 0 pm 1 pm varphi 1 f 0 displaystyle pm 1 pm varphi 0 f 0 1 displaystyle pm varphi 0 pm 1 de f 5 1 2 1 618034 displaystyle varphi frac sqrt 5 1 2 approx 1 618034 vidnoshennya proporciyi zolotogo peretinu Pri comu vsi vershini lezhat v troh koordinatnih ploshinah v kozhnij z yakih roztashovani yak vershini vzayemno vidcentrovanih i vzayemno ortogonalnih zolotih pryamokutnikiv Osi koordinat Ox Oy ta Oz zbigayutsya z osyami obertovoyi simetriyi 2 go poryadku a koordinatni ploshini Oxz Oyz ta Oxy ye ploshinami dzerkalnoyi simetriyi pravilnogo ikosaedra Graf pravilnogo ikosaedraGraf pravilnogo ikosaedra3 fold symmetryVershin 12Reber 30Radius 3Diametr 3Obhvat 3Avtomorfizm 120Hromatichne chislo 4Vlastivosti Regulyarnij planarnij bagatogrannij prostij zv yaznij dvozv yaznij simetrichnijGamiltoniv graf Keli ciklichnij panciklichnij vershinno tranzitivnij reberno tranzitivnij distancijno tranzitivnij distancijno regulyarnij V teoriyi grafiv graf pravilnogo ikosaedra ce graf z 12 vershinami ta 30 rebrami sho maye kistyak pravilnogo ikosaedra Takozh vin ye odnim z 5 platonovih grafiv kistyak yakogo ye bagatogrannikom Platona Vsi 12 vershin grafa mayut stepin 5 a otzhe graf ye grafom 5 go stepenya angl quintic Takozh graf ye 3 vershinno zv yaznim tobto vin zalishayetsya zv yaznim grafom navit pislya vidalennya z nogo do troh vklyuchno vershin Spektr grafa S p e c G 5 3 1 5 5 3 5 1 displaystyle Spec G sqrt 5 3 left 1 right 5 sqrt 5 3 5 1 Gamiltonovi cikli Gamiltoniv cikl grafa ikosaedra Graf pravilnogo ikosaedra ye gamiltonovim ta maye 2560 riznihgamiltonovih cikliv Gamiltoniv cikl zamknenij shlyah sho prohodit cherez kozhnu vershinu grafa rivno odin raz Gamiltoniv shlyah mizh vershinami U V isnuye todi i tilki todi koli u i v mayut rizni kolori v dvokolorovomu rozfarbuvanni grafa Graf pravilnogo ikosaedra ne maye ejlerovih cikliv Graf pravilnogo ikosaedra povnistyu ekvivalentnij do grafa velikogo dodekaedra odnogo z pravilnih bagatogrannikiv Keplera Puanso oskilki ci bagatogranniki mayut odnakove en ta reber Priklad rozfarbovki vershin grafa ikosaedra Pokazuye hromatichne chislo grafa 4 Priklad rozfarbovki reber grafa ikosaedra Pokazuye reberne hromatichne chislo grafa 5 Simetriya pravilnogo ikosaedraDokladnishe en Pravilnij ikosaedr maye povnu en Ih grupu Koksetera 5 3 poryadku 120 z abstaktnoyu strukturoyu grupi A5 Z2 Obertova grupa simetriyi I pravilnogo ikosaedra maye poryadok 60 i izomorfna do znakozminnoyi grupi z p yati elementiv grupi cherguvannya parnih perestanovok p yati elementiv A5 Cya neabeleva prosta grupa ye yedinoyu netrivialnoyu normalnoyu pidgrupoyu simetrichnoyi grupi S5 z p yati elementiv Povna grupa simetriyi ikosaedra razom z vidbittyami Ih vidoma yak povna en maye poryadok 120 Vona izomorfna dobutku grupi obertovoyi simetriyi ta grupi Z 2 displaystyle Z 2 drugogo poryadku yaka utvoryuyetsya pri vidbitti cherez centr ikosaedra Povna ikosaedrichna grupa Ih maye obertovu grupu simetriyi I yak normalnu pidgrupu indeksa 2 Otzhe Ih I Z2 A5 Z2 sho vidpovidaye elementu totozhnij element 1 de Z2 zapisano multiplikativno kratno Zauvazhimo sho grupi Ih povna ikosaedrichna grupa ta S5 simetrichna grupa z 5 elementiv obidvi mayut poryadok 120 ale ne ye izomorfnimi Kozhen bagatogrannik z ikosaedrichnoyu simetriyeyu maye 60 obertovih simetrij abo simetrij sho zberigayut oriyentaciyu i 60 simetrij sho zminyuyut oriyentaciyu yaki poyednuyut obertannya i vidbittya Povna grupa simetriyi Ih ye grupoyu Koksetera tipu H3 Yiyi mozhna zobraziti v notaciyi Koksetera yak 5 3 ta diagramoyu Koksetera Dinkina Elementi ikosaedrichnoyi grupi simetriyi Sfera grupi povnoyi simetriyi Ih pravilnogo ikosaedra iz fundamentalnoyu oblastyu Elementi simetriyi pravilnogo ikosaedra 1 Pravilnij ikosaedr maye 31 vis obertovoyi simetriyi 6 osej 5 go poryadku z kutami povorotiv na 72 144 216 i 288 abo 2p 5 4p 5 6p 5 ta 8p 5 radian prohodyat cherez protilezhni vershini na diagrami voni pokazani sinim kolorom Kozhna z nih prohodit cherez centr O simetriyi ikosaedra a otzhe ye vissyu dzerkalno obertovoyi simetriyi 10 go poryadku z takimi zh kutami povorotiv Povoroti na chotiri kuti 2p 5 4p 5 6p 5 ta 8p 5 radian pri shesti parah protilezhnih granej dayut 4 6 24 povorotiv cogo tipu 10 osej 3 go poryadku z kutami povorotiv na 120 i 240 abo 2p 3 i 4p 3 radian prohodyat cherez centri protilezhnih granej chervonij kolir Kozhna z cih osej prohodit cherez centr simetriyi ikosaedra a tomu ye jogo vissyu dzerkalno obertovoyi simetriyi 6 go poryadku z takimi zh kutami povorotiv Povoroti na dva kuti 2p 3 i 4p 3 radian pri desyati parah protilezhnih vershin dayut 2 10 20 povorotiv cogo tipu 15 osej 2 go poryadku z kutom povorotu na 180 abo p radian prohodyat cherez seredini protilezhnih paralelnih reber purpurovij kolir Ci povoroti takozh ye osovoyu simetriyeyu ikosaedra Povorot na kut p radian pri p yatnadcyati parah protilezhnih reber daye 1 15 15 povorotiv cogo tipu Takim chinom 24 20 15 obertiv totozhne peretvorennya utvoryuye pidgrupu z 60 elementiv izomorfnu do znakozminnoyi grupi A5 grupi cherguvannya parnih perestanovok p yati elementiv Ce i ye grupa I vlasnih ruhiv obertiv pravilnogo ikosaedra 2 Pravilnij ikosaedr maye 15 ploshin dzerkalnoyi simetriyi sho prohodyat cherez vershinu ta seredinu protilezhnogo rebra dlya kozhnoyi grani na cij sferi voni viglyadayut yak blakitni veliki kola yaki peretinayutsya pid kutami p 5 p 3 p 2 displaystyle pi 5 pi 3 pi 2 u viznachenomu poryadku rozbivayuchi sferu na 120 trikutnih fundamentalnih oblastej 3 Maye centr simetriyi v nomu peretinayutsya vsi osi ta ploshini simetriyi Vershini pravilnogo ikosaedra znahodyatsya v tochkah sho vidpovidayut osyam obertannya 5 go poryadku Feliks Klyajn napisav knigu v yakij vikoristav teoriyu ikosaedrichnih simetrij dlya vivedennya analitichnogo rozv yazku rivnyannya 5 go stepenya v zagalnomu viglyadi Harakternoyu osoblivistyu pravilnogo ikosaedra takozh i pravilnogo dodekaedra ye nayavnist v nogo osej obertovoyi simetriyi 5 go poryadku yaki ne dozvoleni pravilami kristalografiyi Stor 41 tobto v prirodi ne isnuye kristaliv mineraliv sho mayut formu pravilnogo ikosaedra Pov yazani ta sporidneni bagatogrannikiZirchasti formi pravilnogo ikosaedra Pravilnij ikosaedr maye en z yakih 32 mayut povnu a 27 nepovnu en sho doviv v 1938 roci Garold Kokseter spilno z en Flezerom H T Flather i Petri John Flinders Petrie iz zastosuvannyam pravil obmezhennya vstanovlenih Dzh Millerom Pershoyu zirchastoyu formoyu pravilnogo ikosaedra ye vin sam Pri prodovzhenni rozshireni jogo grani peretinayutsya viznachayuchi oblasti v prostori div diagramu zzirchennya i poslidovno utvoryuyut nastupni zirchasti formi Odniyeyu z zirchastih form pravilnogo ikosaedra ye pravilnij zirchastij bagatogrannik Keplera Puanso velikij ikosaedr Tri zirchasti formi pravilnogo ikosaedra ye odnoridnimi z yednannyami bagatogrannikiv odnoridne en odnoridne en ta odnoridne z yednannya p yati tetraedriv sho maye dvi hiralni formi 21 z 59 zirchastih form pravilnogo ikosaedra Diagrama zzirchennya pravilnogo ikosaedra stor 19 fig 4 Granuvannya Velikij dodekaedr malij zirchastij dodekaedr ta velikij ikosaedr Tri pravilnih zirchastih bagatogranniki Keplera Puanso mayut granuvannya pravilnogo ikosaedra Zokrema malij zirchastij dodekaedr velikij dodekaedr ta velikij ikosaedr mayut take zh en yak i v pravilnogo ikosaedra Vsi tri bagatogranniki takozh mayut 30 reber Okrim togo velikij dodekaedr maye take zh roztashuvannya reber yak i v pravilnogo ikosaedra ale vidriznyayetsya granyami u velikogo dodekaedra pravilni p yatikutniki sho vzayemno peretinayutsya a v pravilnogo ikosaedra pravilni trikutniki Vidsikannya Chotiri pravilnogrannih bagatogranniki Dzhonsona mozhut buti otrimani z pravilnogo ikosaedra shlyahom vidsikannya vid nogo chastin Tochnishe termin vidsikannya oznachaye vidalennya odniyeyi abo kilkoh vershin reber granej bagatogrannika vidsikayetsya u viglyadi piramidi abo kupola bez porushennya inshih vershin Vidsichenij ikosaedr J11 utvoryuyetsya z pravilnogo ikosaedra shlyahom vidalennya bud yakoyi jogo vershini razom z rebrami ta granyami sho yiyi otochuyut vidsikayetsya J62 vidalyayutsya dvi nesusidni i ne protilezhni vershini ikosaedra vidsikayutsya dvi Trichi vidsichenij ikosaedr J63 vidalyayutsya tri jogo vershini razom z rebrami ta granyami sho yih otochuyut vidsikayutsya tri Dvichi protilezhno vidsichenij ikosaedr koli vidalyayutsya dvi protilezhni vershini yavlyaye soboyu odnoridnu p yatikutnu antiprizmu Rozsichenij pravilnij ikosaedr Pri vidsikanni dvoh susidnih vershin pravilnogo ikosaedra utvoryuyetsya bagatogrannik sho maye nazvu rozsichenij pravilnij ikosaedr angl en Vin maye 10 vershin 22 rebra ta 14 granej 12 pravilnih trikutnikiv ta 2 rivnobichni trapeciyi Bagatogrannik topologichno ekvivalentnij do en odnogo z bagatogrannikiv Dzhonsona J86 i ye vershinnoyu figuroyu 4D politopa en Pri vidsikanni dvoh protilezhnih naboriv susidnih vershin tobto chotiroh vershin dvoh protilezhnih paralelnih reber utvoryuyetsya dvoshilij bikupol sho maye 8 vershin 14 reber ta 8 granej 4 pravilnih trikutnikiv ta 4 rivnobichni trapeciyi Zv yazok iz 600 komirnikom ta inshimi 4 politopami Analogom pravilnogo ikosaedra v chotirivimirnomu prostori ye 600 komirnik odin z shesti en 600 komirnik maye ikosaedrichni pererizi dvoh rozmiriv i kozhna z jogo 120 vershin ye ikosaedrichnoyu piramidoyu pravilnij ikosaedr ye vershinnoyu figuroyu 600 komirnika 600 komirnik z odinichnim radiusom opisanoyi gipersferi maye komirki u viglyadi pravilnogo tetraedra z dovzhinoyu rebra 1 f textstyle frac 1 varphi 20 z yakih zustrichayutsya u kozhnij vershini utvoryuyuchi ikosaedrichnu piramidu 4 piramidu z ikosaedrom v osnovi Takim chinom 600 komirnik mistit 120 ikosaedriv z dovzhinoyu rebra 1 f textstyle frac 1 varphi 600 komirnik takozh mistit kubi ta oktaedri z odinichnoyu dovzhinoyu rebra yak vnutrishni elementi utvoreni hordami z odinichnoyu dovzhinoyu rebra 120 komirnik z odinichnim radiusom opisanoyi gipersferi inshij pravilnij 4 politop yakij ye odnochasno dvoyistim do 600 komirnika i z yednannyam z p yati 600 komirnikiv maye vsi tri vidi vpisanih ikosaedriv u dodekaedr oktaedr ta kub Pravilnij ikosaedr ye komirkoyu napivpravilnogo 4 politopa kirpatogo 24 komirnika DodatkovoTrivimirna model pravilnogo ikosaedra Budova pravilnogo ikosaedra u stereoproyekciyi en pravilnogo ikosaedra Prostorovimi en pravilnogo ikosaedra ye 6 prostorovih desyatikutnikiv Div takozhDvadcyatigrannik Napivikosaedr Ikosaedrichne chislo en golovolomka na zrazok kubika Rubika u formi pravilnogo ikosaedra PrimitkiH S M Coxeter 1954 Klitzing Richard ike https bendwavy org klitzing home htm angl Weisstein Eric W Regular Icosahedron angl na sajti Wolfram MathWorld Alan Holden Shapes Space and Symmetry Columbia University Press New York Dover 1991 P 200 ISBN 0 231 08323 8 Edkins Jo 2007 Solid shapes and their nets angl Arhiv originalu za 26 grudnya 2019 S Torquato and Y Jiao s 52 Borovik Alexandre 2006 Coxeter Theory The Cognitive Aspects U Davis Chandler Ellers Erich red The Coxeter Legacy Providence Rhode Island American Mathematical Society s 17 43 ISBN 978 0821837221 Peter R Cromwell 1997 s 71 Kenneth J MacLean s 15 Regular icosahedron inertia tensor Wolfram Alpha www wolframalpha com angl Meskhishvili Mamuka 2020 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids Communications in Mathematics and Applications 11 335 355 arXiv 2010 12340 doi 10 26713 cma v11i3 1420 Read R C Wilson R J 1998 An Atlas of Graphs angl Oxford University Press Eric Weisstein Icosahedral Graph mathworld wolfram com angl Icosahedral Graph wolframalpha com angl Klein 1884 I M Fodchuk O O Tkach s 108 H S M Coxeter The Fifty nine Icosahedra 1938 Heidi Burgiel Chaim Goodman Strauss The Symmetries of Things 2008 ISBN 978 1 56881 220 5 Chapter 26 The Grand AntiprismLiteraturaH S M Coxeter Uniform polyhedra M S Longuet Higgins J C P Miller Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences The Royal Society 1954 T 246 916 S 401 450 ISSN 0080 4614 DOI 10 1098 rsta 1954 0003 Peter R Cromwell Polyhedra Cambridge U K New York NY USA Cambridge University Press 1997 451 angl s ISBN 9 521 55432 2 Kenneth J MacLean A Mathematical Analysis of the Icosahedron from a Geometric Perspective 2019 S 15 S Torquato and Y Jiao Dense Packings of Polyhedra Platonic and Archimedean Solids Princeton University Princeton New Jersey 08544 USA 2009 S 52 angl DOI 10 1103 PhysRevE 80 041104 Felix Klein 1884 Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen vom funften Grade nim Leipzig B G Teubner Felix Klein 1888 Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree angl Pereklad George Gavin Morrice Cornell University Library London TRUBNER amp CO LUDGATE HILL s 294 cu31924059413439 I M Fodchuk O O Tkach Osnovi kristalografiyi navchalnij posibnik Chernivci ChNU im Yuriya Fedkovicha 2007 108 s H S M Coxeter Patrick du Val H T Flather J F Petrie The Fifty nine Icosahedra University of Toronto studies 1938 P 1 26 mathematical series 6 PosilannyaWeisstein Eric W Regular Icosahedron angl na sajti Wolfram MathWorld Icosahedron angl na sajti Polytope Wiki Icosahedron angl na sajti dmccooey com Klitzing Richard Ike Quickfur The Icosahedron Nan Ma Icosahedron 3 5 Wedd N The icosahedron Hi gher Space Wiki Contributors Icosahedron Paper Models of Polyhedra 26 lyutogo 2013 u Wayback Machine Paper Icosahedron The Uniform Polyhedra Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra