У геометрії, ззірченням називають процес продовження многокутника (у двовимірному просторі), багатогранника в тривимірному просторі, чи, взагалі, політопа в n-вимірному просторі для формування нової фігури. Починаючи з початкової фігури, процес розтягує певні елементи, такі як ребра чи грані, зазвичай симетрично, поки вони перетнуться знову щоб замкнути межі нової фігури. Нова фігура називається ззірченням початкової фігури.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemM1TDBGallXUmxiVjlUZEdWc2JHRjBaV1JmWkc5a1pXTmhaMjl1TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxQlkyRmtaVzFmVTNSbGJHeGhkR1ZrWDJSdlpHVmpZV2R2Ymk1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl6TDBOdmJYQnZkVzVrWDI5bVgyWnBkbVZmZEdWMGNtRm9aV1J5WVY4bE1qaG1kV3hzSlRJNUxuTjBiQzh5TWpCd2VDMURiMjF3YjNWdVpGOXZabDltYVhabFgzUmxkSEpoYUdWa2NtRmZKVEk0Wm5Wc2JDVXlPUzV6ZEd3dWNHNW4ucG5n.png)
Означення Кеплера
У 1619 році Кеплер визначив ззірчення многокутників і багатогранників, як процес продовження ребер чи граней аж до їхнього перетину і утворення нового многокутника чи багатогранника.
Він ззірчив правильний додекаедр і отримав два правильні зіркові багатогранники, малий ззірчений додекаедр і великий ззірчений додекаедр.
Він також ззірчив правильний октаедр, щоб отримати зірчастий октаедр, звичайне з'єднання двох тетраедрів.
Ззірчення многокутників
Симетричне ззірчення правильного многокутника утворює правильний зірчастий многокутник або многокутне з'єднання. Такі многокутники характеризуються числом разів m, межі багатокутника намотуються навколо центру фігури. Як і всі правильні багатокутники, їх вершини лежать на колі. m також означає кількість оборотів навколо центру кола, щоб дістатися з одного кінця даного ребра до іншого, починаючи з 1.
Правильному зірчастому багатокутнику відповідає його символ Шлефлі {n/m}, де n — число вершин, m — це крок використовується для порядкування вершин довкола нього, m і n — взаємно прості (тобто не мають спільних дільників). Роблячи m = 1 дає опуклу фігуру {n}.
Якщо n і т мають спільний дільник, то така фігура є правильним з'єднанням. Наприклад {6/2} є правильним з'єднанням двох трикутників {3} або гексаграмою, в той час як {10/4} — з'єднання двох пентаграм {5/2}.
Деякі автори використовують символ Шлефлі для таких правильних з'єднань. Інші розглядають символ, що вказує поєдинчий шлях, що намотується m разів на n/m вершин так, що одне ребро перетинає інше, і через кожну вершину проходять m разів. У цьому випадку може використовуватись видозмінений символ для з'єднань, наприклад, 2{3} для гексаграми і 2{5/2} для правильного з'єднання двох пентаграм.
Звичайний n-кутник має (n-4)/2 ззірчень, якщо n парне і (n-3)/2 ззірчень, якщо n непарне.
![]() Пентаграма, {5/2}, є єдиним ззірченням п'ятикутника | ![]() Гексаграма, {6/2}, ззірчення шестикутника є з'єднанням двох трикутників. | ![]() Дев'ятикутник {9} має 3 еннеаґрамні форми: |
![]() ![]() Семикутник має дві гептаґрамні форми: {7/2}, {7/3} |
Як і семикутник восьмикутник теж має два октаґраматичні ззірчення, одне, {8/3} є зірчастий многокутник, а інший, {8/2} є з'єднанням двох квадратів.
Ззірчення багатогранників
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Багатогранник ззірчується продовженням ребер чи граней багатогранника, до їх перетину і утворення нового багатогранника або з'єднання. Внутрішність нового багатогранника, ділиться гранями на певне число комірок. Торцеві площини багатогранника можуть ділити простір на безліч таких комірок, і з продовженням ззірчення будуть відсікатися більше таких комірок. Для симетричних багатогранників, ці комірки поділяться на групи, або множини, конгруентних комірок — кажуть, що комірки в таких конгруентних множинах такого самого типу. Загальний метод знаходження ззірчень передбачає вибір одного чи кількох типів комірок.
Це може призвести до величезної кількості можливих форм, тому часто застосовують додаткові критерії для зменшення множини значущих і унікальних ззірчень.
Сукупність комірок, що утворюють замкнутий шар навколо ядра називається оболонкою. Для симетричних багатогранників, оболонка може складатися з одного або більше типів комірок.
На основі таких ідей, було визначено кілька вузьких цікавих категорій ззірчень.
- Осьові ззірчення. Додавання послідовних оболонок ядра багатогранника призводить до утворення множини осьових ззірчень.
- Повністю витримані ззірчення. На нижній межі комірок можуть виступати ззовні, ніби «навіси». У повністю витриманих ззірчень немає таких виступів, а також всі видимі частини грані видимі з одного боку.
- Одновершинні сузір'ях. Дослівно «одно-пікові». Якщо у ззірченні є лиш один вид вістер, або вершин (тобто всі вершини подібні в межах однієї орбіти симетрії), вони називаються одновістряні або одновершинні. Всі такі ззірчення повністю витриманими.
- Основні ззірчення. Якщо багатогранник має площини дзеркальної симетрії, тоді кажуть, що ребра, що перетинають такі площини лежать на основних лініях. Якщо всі ребра лежать на основних лініях — ззірчення називають основним. Всі основні ззірчення повністю витримані.
- Ззірчення Міллера. У «П'ятдесят дев'ять ікосаедрів» Кокстера, Дю Валь, Флатер і Петрі запис п'ять правил, запропонованих Міллером. Хоч ці правила стосуються тільки ікосаедрової геометрії, вони пристосували їх для довільних багатогранників. Вони забезпечують, серед іншого, що обертальна симетрія вихідного багатогранника зберігається і що кожне ззірчення відрізняється своїм виглядом. Чотири типи щойно означених ззірчень є підкласами ззірчень Міллера.
Можна також визначити деякі інші категорії:
- Часткове ззірчення, таке у якому не всі елементи даної вимірності продовжили.
- Майже-симетричні ззірчення — це ззірчення, де не всі елементи продовжені симетрично.
Архімедові тіла і їх двійники теж можна ззірчити. Тут, як правило, додається правило, що всі вихідні торцеві площини повинні бути присутніми у ззірченні, тобто не розглядають часткові ззірчення. Наприклад, куб — як правило, не розглядають як ззірчення кубооктаедра.
Узагальненнями правил Міллера є:
- 4 ззірчення ромбічного додекагедрона
- 187 ззірчень триакістетраедра
- 358,833,097 ззірчень ромбічного триаконтагедрона
- 17 ззірчень кубооктаедра (4 показані у Веннінґерових «Моделях багатогранників»)
- Невідоме число ззірчень ікосододекаедра; є 7071671 не хіральних ззірчень, але число хіральних ззірчень невідоме (19 показані в Веннінґерових «Моделях багатогранників»)
Сімнадцять неопуклих рівномірних багатогранників є ззірченнями твердих архімедових тіл.
Правила Міллера
У книзі П'ятдесят дев'ять ікосаедрів, Ж. К. П. Міллер запропонував набір правил для визначення, які ззірчені фігури слід вважати «справді значущими і окремими».
Ці правила були адаптовані для використання з ззірчень багатьох інших багатогранників. За правилами Міллера маємо:
- Не існує ззірчень тетраедра, позаяк усі його грані суміжні
- Не існує ззірчень куба, тому що несуміжні грані паралельні і, отже, не можуть бути продовжені настільки щоб перетнутись і утворити нові ребра
- Існує 1 ззірчення октаедра, зірчастий октаедр
- Є 3 ззірчення додекаедр: в малий ззірчений додекаедр, великий додекаедр і великий ззірчений додекаедр, всі вони є багатогранниками Кеплера-Пуансо.
- Є 58 ззірчень ікосаедра, в тому числі і великий ікосаедр (належить до багатогранників Кеплера-Пуансо) і друге і останнє ззірчення ікосаедра. 59-а модель в П'ятдесяти дев'яти ікосаедрах — це вихідний ікосаедр.
Багато «ззірчень Міллера» неможливо отримати безпосередньо за допомогою методу Кеплера. Наприклад, багато мають порожнисті центри, де вихідні грані й ребра основного багатогранника повністю відсутні: немає з чого ззірчувати. З іншого боку, метод Кеплера також утворює ззірчення, які заборонені правилами Міллера, оскільки їхні комірки з'єднані ребрами або вершинами, навіть якщо їх грані окремі многокутники. На цю невідповідність довший час не звертали уваги аж до статті Інчбальда (2002).
Інші правила ззірчення
Правила Міллера в жодному разі не є «правильним» шляхом обліку ззірчень. Вони засновані на поєднанні певним чином деталей зі діаграм ззірчень і не враховують топологію отриманих граней. Самі по собі існують певні цілком прийнятні ззірчення ікосаедра, які не задовольняють ці правила — одне з них знайшов Джеймс Брідж у 1974 році, тоді як є сумніви щодо деяких «ззірчень Міллера», чи є вони взагалі ззірченнями — один з набору ікосаедрових включає кілька досить розрізнених комірок, що симетрично рухаються в просторі.
Поки альтернативний набір правил, який це враховує ще не були повністю розроблені. Найбільшого прогресу було досягнуто опираючись на те, що ззірчення — це обопільний або двоїстий процес гранування, причому видаляються частини багатогранника без утворення нових вершин. Для кожного ззірчення деякого багатогранника, існує подвійне гранування подвійного багатогранника і навпаки. Вивчаючи гранування двоїстости, отримуємо знання про ззірчення оригіналу. Брідж знайшов нове ззірчення ікосаедра вивчаючи гранування його двоїстости, додекаедра.
Деякі багатогранологи вважають, що ззірчення — це двосторонній процес, такий, що будь-які два багатогранники, що мають однакові площини граней є ззірченнями один одного. Це зрозуміло, якщо розробляти загальний алгоритм, що згодиться для використання в комп'ютерній програмі, проте щодо решти питань воно не має особливої практичної користі.
Багато прикладів ззірчень можна знайти у списку Веннінґерових моделей ззірчень.
Ззірчення політопів
Процес ззірчення можна також застосовувати до багатовимірних багатогранників. Ззірчена діаграма n-багатогранника існує в (n-1)-вимірній гіперплощині даної грані.
Наприклад, в 4-вимірному просторі, покращена звеличена ззірчена 120-комірка є остаточним ззірченням правильного 4-політопа 120-комірника.
Назви ззірчень
Першим систематичним йменуванням ззірчень багатогранників була система йменування Келі зірчастих багатогранників (нині відомих як багатогранники Кеплера — Пуансо). Ця система була широко, проте не завжди систематично використовувана для інших багатогранників і вищих політопів.
Джон Конвей розробив термінологію для ззірчених багатокутників, багатогранників і 4-політопів (Коксетер, 1974). У цій системі процес продовження ребер для створення нових фігур називається ззірченням, а продовження граней називається покращенням, а розширенням комірок називається звеличенням (останнє не поширюється на багатогранники). Це дозволяє систематичне використання таких слів як «ззірчений», «покращений» і «звеличений» для розробки назв для отриманих фігур. Наприклад Конвей запропонував деякі незначні зміни імен багатогранників Кеплера-Пуансо.
Ззірчення до нескінченности
Веннінґер помітив, що деякі багатогранники, такі як куб, не мають ніяких скінченних ззірчень. Проте можна побудувати комірки ззірчення у вигляді призм, що тягнуться до нескінченності. Фігура, що складається з таких призм називається нескінченним ззірченням або ззірченням до нескінченности. Відповідно до більшости означень багатогранників, таке ззірчення не є багатогранником.
Веннінґерові фігури виявилися подвоєннями рівномірного гемібагатогранника, де «гемі» граней вторять вершинам до нескінченности.
Від математики до мистецтва
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkppTDAxaFoyNTFjMTlYWlc1dWFXNW5aWEpmY0c5c2VXaGxaSEpoYkY5dGIyUmxiSE11YW5Cbkx6SXlNSEI0TFUxaFoyNTFjMTlYWlc1dWFXNW5aWEpmY0c5c2VXaGxaSEpoYkY5dGIyUmxiSE11YW5Cbi5qcGc=.jpg)
Поряд зі своїм внеском у математику, Магнус Веннінґер розглядається в контексті взаємозв'язку математики і мистецтва, як людина, що зробила «особливо гарні» моделі складних ззірчених багатогранників.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemsxTDAxaGNtSnNaVjltYkc5dmNsOXRiM05oYVdOZlFtRnphV3hwWTJGZmIyWmZVM1JmVFdGeWExOVdaVzVqYVdObExtcHdaeTh5TWpCd2VDMU5ZWEppYkdWZlpteHZiM0pmYlc5ellXbGpYMEpoYzJsc2FXTmhYMjltWDFOMFgwMWhjbXRmVm1WdVkybGpaUzVxY0djPS5qcGc=.jpg)
Італійський ренесансний художник Паоло Учелло створив мозаїчну підлогу, на якій зображено невеликий ззірчений додекаедр в Базиліці Св. Марка, Венеція, ц. 1430. Зображення Учелло використали як символ Венеційського Бієнале в 1986 році на тему «Мистецтво і Наука». Те ж ззірчення є центральним у двох літографіях Мауріца Ешера: Контраст (Порядок і Хаос), 1950, і Гравітація, 1952.
Див. також
Джерела
- Malkevitch, Joseph. . American Mathematical Society. Архів оригіналу за 14 вересня 2015. Процитовано 1 вересня 2015.
- Emmer, Michele (2 грудня 2003). . Springer Science & Business Media. с. 269. ISBN . Архів оригіналу за 27 квітня 2021. Процитовано 19 травня 2016.
- Locher, J. L. (2000). The Magic of M. C. Escher. Harry N. Abrams, Inc. ISBN .
- Bridge, N. J.; Facetting the dodecahedron, Acta Crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
- Coxeter, H.S.M.; Regular complex polytopes (1974).
- Coxeter, H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; and Petrie, J. F. The Fifty-Nine Icosahedra, 3rd Edition. Stradbroke, England: Tarquin Publications (1999).
- Inchbald, G.; In search of the lost icosahedra, The Mathematical Gazette 86 (2002), p.p. 208—215.
- Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond, Symmetry: culture and science, 11 (2000), pp 201–230.
- Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. .
- Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. .
Посилання
- Weisstein, Eric W., «Stellation» [ 27 квітня 2019 у Wayback Machine.], MathWorld.
- Stellating the Icosahedron and Facetting the Dodecahedron [ 20 червня 2016 у Wayback Machine.]
- Stella: Polyhedron Navigator [ 9 липня 2010 у Wayback Machine.] — Програмне забезпечення для вивчення багатогранників і друку мереж для їхнього виготовлення. Включає рівномірні багатогранники, ззірчення, з'єднання, джонсонові тіла тощо.
- Enumeration of stellations [ 21 червня 2016 у Wayback Machine.]
- Vladimir Bulatov Polyhedra Stellation. [ 16 липня 2011 у Wayback Machine.]
- Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet packaged as an OS X application [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
- Stellation Applet [ 23 травня 2010 у Wayback Machine.]
- An Interactive Creation of Polyhedra Stellations with Various Symmetries [ 28 вересня 2007 у Wayback Machine.]
- The Fifty-Nine Icosahedra — Applet [ 28 грудня 2019 у Wayback Machine.]
- 59 Stellations of the Icosahedron, George Hart [ 22 січня 2020 у Wayback Machine.]
- Further Stellations of the Uniform Polyhedra, John Lawrence Hudson[недоступне посилання] The Mathematical Intelligencer, Volume 31, Number 4, 2009
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U geometriyi zzirchennyam nazivayut proces prodovzhennya mnogokutnika u dvovimirnomu prostori bagatogrannika v trivimirnomu prostori chi vzagali politopa v n vimirnomu prostori dlya formuvannya novoyi figuri Pochinayuchi z pochatkovoyi figuri proces roztyaguye pevni elementi taki yak rebra chi grani zazvichaj simetrichno poki voni peretnutsya znovu shob zamknuti mezhi novoyi figuri Nova figura nazivayetsya zzirchennyam pochatkovoyi figuri Pobudova zzirchenogo dvanadcyatikutnika pravilnogo mnogokutnika z simvolom Shlefli 12 5 Trivimirna model z yednannya p yati tetraedrivOznachennya KepleraU 1619 roci Kepler viznachiv zzirchennya mnogokutnikiv i bagatogrannikiv yak proces prodovzhennya reber chi granej azh do yihnogo peretinu i utvorennya novogo mnogokutnika chi bagatogrannika Vin zzirchiv pravilnij dodekaedr i otrimav dva pravilni zirkovi bagatogranniki malij zzirchenij dodekaedr i velikij zzirchenij dodekaedr Vin takozh zzirchiv pravilnij oktaedr shob otrimati zirchastij oktaedr zvichajne z yednannya dvoh tetraedriv Zzirchennya mnogokutnikivSimetrichne zzirchennya pravilnogo mnogokutnika utvoryuye pravilnij zirchastij mnogokutnik abo mnogokutne z yednannya Taki mnogokutniki harakterizuyutsya chislom raziv m mezhi bagatokutnika namotuyutsya navkolo centru figuri Yak i vsi pravilni bagatokutniki yih vershini lezhat na koli m takozh oznachaye kilkist oborotiv navkolo centru kola shob distatisya z odnogo kincya danogo rebra do inshogo pochinayuchi z 1 Pravilnomu zirchastomu bagatokutniku vidpovidaye jogo simvol Shlefli n m de n chislo vershin m ce krok vikoristovuyetsya dlya poryadkuvannya vershin dovkola nogo m i n vzayemno prosti tobto ne mayut spilnih dilnikiv Roblyachi m 1 daye opuklu figuru n Yaksho n i t mayut spilnij dilnik to taka figura ye pravilnim z yednannyam Napriklad 6 2 ye pravilnim z yednannyam dvoh trikutnikiv 3 abo geksagramoyu v toj chas yak 10 4 z yednannya dvoh pentagram 5 2 Deyaki avtori vikoristovuyut simvol Shlefli dlya takih pravilnih z yednan Inshi rozglyadayut simvol sho vkazuye poyedinchij shlyah sho namotuyetsya m raziv na n m vershin tak sho odne rebro peretinaye inshe i cherez kozhnu vershinu prohodyat m raziv U comu vipadku mozhe vikoristovuvatis vidozminenij simvol dlya z yednan napriklad 2 3 dlya geksagrami i 2 5 2 dlya pravilnogo z yednannya dvoh pentagram Zvichajnij n kutnik maye n 4 2 zzirchen yaksho n parne i n 3 2 zzirchen yaksho n neparne Pentagrama 5 2 ye yedinim zzirchennyam p yatikutnika Geksagrama 6 2 zzirchennya shestikutnika ye z yednannyam dvoh trikutnikiv Dev yatikutnik 9 maye 3 enneagramni formi 9 2 9 3 9 4 9 3 z yednannya 3 trikutnikiv Semikutnik maye dvi geptagramni formi 7 2 7 3 Yak i semikutnik vosmikutnik tezh maye dva oktagramatichni zzirchennya odne 8 3 ye zirchastij mnogokutnik a inshij 8 2 ye z yednannyam dvoh kvadrativ Zzirchennya bagatogrannikivBagatogrannik zzirchuyetsya prodovzhennyam reber chi granej bagatogrannika do yih peretinu i utvorennya novogo bagatogrannika abo z yednannya Vnutrishnist novogo bagatogrannika dilitsya granyami na pevne chislo komirok Torcevi ploshini bagatogrannika mozhut diliti prostir na bezlich takih komirok i z prodovzhennyam zzirchennya budut vidsikatisya bilshe takih komirok Dlya simetrichnih bagatogrannikiv ci komirki podilyatsya na grupi abo mnozhini kongruentnih komirok kazhut sho komirki v takih kongruentnih mnozhinah takogo samogo tipu Zagalnij metod znahodzhennya zzirchen peredbachaye vibir odnogo chi kilkoh tipiv komirok Ce mozhe prizvesti do velicheznoyi kilkosti mozhlivih form tomu chasto zastosovuyut dodatkovi kriteriyi dlya zmenshennya mnozhini znachushih i unikalnih zzirchen Sukupnist komirok sho utvoryuyut zamknutij shar navkolo yadra nazivayetsya obolonkoyu Dlya simetrichnih bagatogrannikiv obolonka mozhe skladatisya z odnogo abo bilshe tipiv komirok Na osnovi takih idej bulo viznacheno kilka vuzkih cikavih kategorij zzirchen Osovi zzirchennya Dodavannya poslidovnih obolonok yadra bagatogrannika prizvodit do utvorennya mnozhini osovih zzirchen Povnistyu vitrimani zzirchennya Na nizhnij mezhi komirok mozhut vistupati zzovni nibi navisi U povnistyu vitrimanih zzirchen nemaye takih vistupiv a takozh vsi vidimi chastini grani vidimi z odnogo boku Odnovershinni suzir yah Doslivno odno pikovi Yaksho u zzirchenni ye lish odin vid vister abo vershin tobto vsi vershini podibni v mezhah odniyeyi orbiti simetriyi voni nazivayutsya odnovistryani abo odnovershinni Vsi taki zzirchennya povnistyu vitrimanimi Osnovni zzirchennya Yaksho bagatogrannik maye ploshini dzerkalnoyi simetriyi todi kazhut sho rebra sho peretinayut taki ploshini lezhat na osnovnih liniyah Yaksho vsi rebra lezhat na osnovnih liniyah zzirchennya nazivayut osnovnim Vsi osnovni zzirchennya povnistyu vitrimani Zzirchennya Millera U P yatdesyat dev yat ikosaedriv Kokstera Dyu Val Flater i Petri zapis p yat pravil zaproponovanih Millerom Hoch ci pravila stosuyutsya tilki ikosaedrovoyi geometriyi voni pristosuvali yih dlya dovilnih bagatogrannikiv Voni zabezpechuyut sered inshogo sho obertalna simetriya vihidnogo bagatogrannika zberigayetsya i sho kozhne zzirchennya vidriznyayetsya svoyim viglyadom Chotiri tipi shojno oznachenih zzirchen ye pidklasami zzirchen Millera Mozhna takozh viznachiti deyaki inshi kategoriyi Chastkove zzirchennya take u yakomu ne vsi elementi danoyi vimirnosti prodovzhili Majzhe simetrichni zzirchennya ce zzirchennya de ne vsi elementi prodovzheni simetrichno Arhimedovi tila i yih dvijniki tezh mozhna zzirchiti Tut yak pravilo dodayetsya pravilo sho vsi vihidni torcevi ploshini povinni buti prisutnimi u zzirchenni tobto ne rozglyadayut chastkovi zzirchennya Napriklad kub yak pravilo ne rozglyadayut yak zzirchennya kubooktaedra Uzagalnennyami pravil Millera ye 4 zzirchennya rombichnogo dodekagedrona 187 zzirchen triakistetraedra 358 833 097 zzirchen rombichnogo triakontagedrona 17 zzirchen kubooktaedra 4 pokazani u Venningerovih Modelyah bagatogrannikiv Nevidome chislo zzirchen ikosododekaedra ye 7071671 ne hiralnih zzirchen ale chislo hiralnih zzirchen nevidome 19 pokazani v Venningerovih Modelyah bagatogrannikiv Simnadcyat neopuklih rivnomirnih bagatogrannikiv ye zzirchennyami tverdih arhimedovih til Pravila Millera U knizi P yatdesyat dev yat ikosaedriv Zh K P Miller zaproponuvav nabir pravil dlya viznachennya yaki zzircheni figuri slid vvazhati spravdi znachushimi i okremimi Ci pravila buli adaptovani dlya vikoristannya z zzirchen bagatoh inshih bagatogrannikiv Za pravilami Millera mayemo Ne isnuye zzirchen tetraedra pozayak usi jogo grani sumizhni Ne isnuye zzirchen kuba tomu sho nesumizhni grani paralelni i otzhe ne mozhut buti prodovzheni nastilki shob peretnutis i utvoriti novi rebra Isnuye 1 zzirchennya oktaedra zirchastij oktaedr Ye 3 zzirchennya dodekaedr v malij zzirchenij dodekaedr velikij dodekaedr i velikij zzirchenij dodekaedr vsi voni ye bagatogrannikami Keplera Puanso Ye 58 zzirchen ikosaedra v tomu chisli i velikij ikosaedr nalezhit do bagatogrannikiv Keplera Puanso i druge i ostannye zzirchennya ikosaedra 59 a model v P yatdesyati dev yati ikosaedrah ce vihidnij ikosaedr Bagato zzirchen Millera nemozhlivo otrimati bezposeredno za dopomogoyu metodu Keplera Napriklad bagato mayut porozhnisti centri de vihidni grani j rebra osnovnogo bagatogrannika povnistyu vidsutni nemaye z chogo zzirchuvati Z inshogo boku metod Keplera takozh utvoryuye zzirchennya yaki zaboroneni pravilami Millera oskilki yihni komirki z yednani rebrami abo vershinami navit yaksho yih grani okremi mnogokutniki Na cyu nevidpovidnist dovshij chas ne zvertali uvagi azh do statti Inchbalda 2002 Inshi pravila zzirchennya Pravila Millera v zhodnomu razi ne ye pravilnim shlyahom obliku zzirchen Voni zasnovani na poyednanni pevnim chinom detalej zi diagram zzirchen i ne vrahovuyut topologiyu otrimanih granej Sami po sobi isnuyut pevni cilkom prijnyatni zzirchennya ikosaedra yaki ne zadovolnyayut ci pravila odne z nih znajshov Dzhejms Bridzh u 1974 roci todi yak ye sumnivi shodo deyakih zzirchen Millera chi ye voni vzagali zzirchennyami odin z naboru ikosaedrovih vklyuchaye kilka dosit rozriznenih komirok sho simetrichno ruhayutsya v prostori Poki alternativnij nabir pravil yakij ce vrahovuye she ne buli povnistyu rozrobleni Najbilshogo progresu bulo dosyagnuto opirayuchis na te sho zzirchennya ce obopilnij abo dvoyistij proces granuvannya prichomu vidalyayutsya chastini bagatogrannika bez utvorennya novih vershin Dlya kozhnogo zzirchennya deyakogo bagatogrannika isnuye podvijne granuvannya podvijnogo bagatogrannika i navpaki Vivchayuchi granuvannya dvoyistosti otrimuyemo znannya pro zzirchennya originalu Bridzh znajshov nove zzirchennya ikosaedra vivchayuchi granuvannya jogo dvoyistosti dodekaedra Deyaki bagatogranologi vvazhayut sho zzirchennya ce dvostoronnij proces takij sho bud yaki dva bagatogranniki sho mayut odnakovi ploshini granej ye zzirchennyami odin odnogo Ce zrozumilo yaksho rozroblyati zagalnij algoritm sho zgoditsya dlya vikoristannya v komp yuternij programi prote shodo reshti pitan vono ne maye osoblivoyi praktichnoyi koristi Bagato prikladiv zzirchen mozhna znajti u spisku Venningerovih modelej zzirchen Zzirchennya politopivProces zzirchennya mozhna takozh zastosovuvati do bagatovimirnih bagatogrannikiv Zzirchena diagrama n bagatogrannika isnuye v n 1 vimirnij giperploshini danoyi grani Napriklad v 4 vimirnomu prostori pokrashena zvelichena zzirchena 120 komirka ye ostatochnim zzirchennyam pravilnogo 4 politopa 120 komirnika Nazvi zzirchenPershim sistematichnim jmenuvannyam zzirchen bagatogrannikiv bula sistema jmenuvannya Keli zirchastih bagatogrannikiv nini vidomih yak bagatogranniki Keplera Puanso Cya sistema bula shiroko prote ne zavzhdi sistematichno vikoristovuvana dlya inshih bagatogrannikiv i vishih politopiv Dzhon Konvej rozrobiv terminologiyu dlya zzirchenih bagatokutnikiv bagatogrannikiv i 4 politopiv Kokseter 1974 U cij sistemi proces prodovzhennya reber dlya stvorennya novih figur nazivayetsya zzirchennyam a prodovzhennya granej nazivayetsya pokrashennyam a rozshirennyam komirok nazivayetsya zvelichennyam ostannye ne poshiryuyetsya na bagatogranniki Ce dozvolyaye sistematichne vikoristannya takih sliv yak zzirchenij pokrashenij i zvelichenij dlya rozrobki nazv dlya otrimanih figur Napriklad Konvej zaproponuvav deyaki neznachni zmini imen bagatogrannikiv Keplera Puanso Zzirchennya do neskinchennostiVenninger pomitiv sho deyaki bagatogranniki taki yak kub ne mayut niyakih skinchennih zzirchen Prote mozhna pobuduvati komirki zzirchennya u viglyadi prizm sho tyagnutsya do neskinchennosti Figura sho skladayetsya z takih prizm nazivayetsya neskinchennim zzirchennyam abo zzirchennyam do neskinchennosti Vidpovidno do bilshosti oznachen bagatogrannikiv take zzirchennya ne ye bagatogrannikom Venningerovi figuri viyavilisya podvoyennyami rivnomirnogo gemibagatogrannika de gemi granej vtoryat vershinam do neskinchennosti Vid matematiki do mistectvaMagnus Venninger z deyakimi zi svoyih modelej zzirchen bagatogrannikiv v 2009 roci Poryad zi svoyim vneskom u matematiku Magnus Venninger rozglyadayetsya v konteksti vzayemozv yazku matematiki i mistectva yak lyudina sho zrobila osoblivo garni modeli skladnih zzirchenih bagatogrannikiv Marmurova pidloga mozayika na Paolo Uchello bazilika Svyatogo Marka Veneciya c 1430 Italijskij renesansnij hudozhnik Paolo Uchello stvoriv mozayichnu pidlogu na yakij zobrazheno nevelikij zzirchenij dodekaedr v Bazilici Sv Marka Veneciya c 1430 Zobrazhennya Uchello vikoristali yak simvol Venecijskogo Biyenale v 1986 roci na temu Mistectvo i Nauka Te zh zzirchennya ye centralnim u dvoh litografiyah Maurica Eshera Kontrast Poryadok i Haos 1950 i Gravitaciya 1952 Div takozhGranuvannya geometriya DzherelaMalkevitch Joseph American Mathematical Society Arhiv originalu za 14 veresnya 2015 Procitovano 1 veresnya 2015 Emmer Michele 2 grudnya 2003 Springer Science amp Business Media s 269 ISBN 978 3 540 01770 7 Arhiv originalu za 27 kvitnya 2021 Procitovano 19 travnya 2016 Locher J L 2000 The Magic of M C Escher Harry N Abrams Inc ISBN 0 810 96720 0 Bridge N J Facetting the dodecahedron Acta Crystallographica A30 1974 pp 548 552 Coxeter H S M Regular complex polytopes 1974 Coxeter H S M Du Val P Flather H T and Petrie J F The Fifty Nine Icosahedra 3rd Edition Stradbroke England Tarquin Publications 1999 Inchbald G In search of the lost icosahedra The Mathematical Gazette 86 2002 p p 208 215 Messer P Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond Symmetry culture and science 11 2000 pp 201 230 Wenninger Magnus 1974 Polyhedron Models Cambridge University Press ISBN 0 521 09859 9 Wenninger Magnus 1983 Dual Models Cambridge University Press ISBN 0 521 24524 9 PosilannyaWeisstein Eric W Stellation 27 kvitnya 2019 u Wayback Machine MathWorld Stellating the Icosahedron and Facetting the Dodecahedron 20 chervnya 2016 u Wayback Machine Stella Polyhedron Navigator 9 lipnya 2010 u Wayback Machine Programne zabezpechennya dlya vivchennya bagatogrannikiv i druku merezh dlya yihnogo vigotovlennya Vklyuchaye rivnomirni bagatogranniki zzirchennya z yednannya dzhonsonovi tila tosho Enumeration of stellations 21 chervnya 2016 u Wayback Machine Vladimir Bulatov Polyhedra Stellation 16 lipnya 2011 u Wayback Machine Vladimir Bulatov s Polyhedra Stellations Applet packaged as an OS X application 4 bereznya 2016 u Wayback Machine Stellation Applet 23 travnya 2010 u Wayback Machine An Interactive Creation of Polyhedra Stellations with Various Symmetries 28 veresnya 2007 u Wayback Machine The Fifty Nine Icosahedra Applet 28 grudnya 2019 u Wayback Machine 59 Stellations of the Icosahedron George Hart 22 sichnya 2020 u Wayback Machine Further Stellations of the Uniform Polyhedra John Lawrence Hudson nedostupne posilannya The Mathematical Intelligencer Volume 31 Number 4 2009