Тіло Кеплера — Пуансо

Ті́ло Ке́плера — Пуансо́ — тіло, що являє собою правильний зірчастий многогранник, який не є з'єднанням платонових і зірчастих тіл.

Великий додекаедр

Малий зірчастий додекаедр

Великий ікосаедр

Великий зірчастий додекаедр

1811 року французький математик Оґюстен Коші встановив, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є з'єднаннями платонових і зірчастих тіл. До них належать відкриті в Йоганном Кеплером малий зірчастий додекаедр і великий зірчастий додекаедр, а також великий додекаедр і великий ікосаедр, відкриті Луї Пуансо. Інші правильні зірчасті многогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тіл Кеплера — Пуансо.

Історія

Мозаїка в соборі Святого Марка у Венеції, іноді приписувана Паоло Учелло.

Деякі з многогранників Кеплера — Пуансо в тій чи іншій формі були відомі ще до Кеплера. Так, зображення малого зірчастого додекаедра присутнє в мармуровій мозаїці, що прикрашає підлогу собору Святого Марка у Венеції. Ця мозаїка датується XV століттям, авторство іноді приписують Паоло Учелло. В XVI столітті німецький ювелір Венцель Ямнітцер у своїй праці Perspectiva corporum regularium (Перспективи правильних тіл) зображує великий додекаедр і великий зірчастий додекаедр. Напевно, до Кеплера ніхто з художників і вчених не знав усіх властивостей цих тіл.

Малий і великий зірчасті додекаэдри, які іноді називають «многогранники Кеплера», вперше повністю описано в трактаті Йоганна Кеплера 1619 року Harmonices Mundi. Кожне з цих тіл має центральну опуклу ділянку кожної грані, «приховану» всередині, при цьому видно тільки трикутні площини. Кеплер описує многогранники, використовуючи ту ж модель, за допомогою якої Платон у діалозі Тімей описує побудову правильних многогранників на основі правильних трикутників. Останнім кроком Кеплера було визнання, що ці многогранники є правильними, навіть якщо вони не є опуклими, на відміну від звичайних платонових тіл.

1809 року Луї Пуансо знову дослідив многогранники Кеплера і виявив ще два правильних зірчастих многогранники — великий ікосаедр і великий додекаедр. При цьому Пуансо не був упевнений, що виявив всі можливі види правильних зірчастих многогранників. Але 1811 року Оґюстен-Луї Коші довів, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є з'єднаннями платонових і зірчастих тіл, а 1858 року Жозеф Бертран надав більш загальне доведення. У 1859 році Артур Келі дав многогранникам Кеплера — Пуансо назви, під якими вони, як правило, відомі сьогодні. Сто років потому Джон Конвей розробив термінологію для зірчастих багатокутників. У рамках цієї термінології він запропонував дещо змінені назви двох правильних зірчастих многогранників.

Термінологія Келі	Термінологія Конвея
Малий зірчастий додекаедр	Зірчастий додекаедр
Великий додекаедр	Великий додекаедр
Великий зірчастий додекаедр	Зірчастий великий додекаедр
Великий ікосаедр	Великий ікосаедр

Термінологія Конвея нині використовується, але не має широкого розповсюдження.

Характеристики

Неопуклість

Ці тіла мають грані і вершинні фігури у вигляді п'ятикутників. Малий і великий зірчастий додекаедри мають грані у вигляді неопуклих правильних зірок. Великий додекаедр і великий ікосаедр мають опуклі грані.

У всіх цих тіл дві грані можуть перетинатися, утворюючи лінію, яка не є ребром якоїсь із них, таким чином, частина кожної грані проходить через внутрішню частину тіла. Такі лінії перетину іноді називають хибними ребрами. Аналогічно, коли три такі лінії перетинаються в точці, яка не належить куту якоїсь грані, ці точки називають хибними вершинами. Наприклад, малий зірчастий додекаедр має 12 п'ятикутних граней з центральною п'ятикутною частиною, прихованою всередині тіла. Видимі частини кожної грані складаються з п'яти рівнобедрених трикутників, які дотикаються в п'яти точках. Можна розглянути ці трикутники як 60 окремих граней, що утворюють новий, неправильний многогранник, який зовні виглядає ідентичним первинному. Кожне ребро тепер ділиться на три коротких ребра (двох різних видів), при цьому 20 хибних вершин стануть істинними, і, таким чином, загалом тіло матиме 32 вершини (знову ж таки двох видів). Приховані внутрішні п'ятикутники більше не будуть частинами многогранної поверхні, і можуть зникнути. Тепер Ейлерова характеристика містить: 60 — 90 + 32 = 2. Але цей новий многогранник вже не описується символом Шлефлі {5/2, 5}, і тому не є тілом Кеплера — Пуансо, хоча виглядає, як одне з них.

Характеристика Ейлера χ

Тіла Кеплера — Пуансо покривають площу описаних навколо них сфер більше одного разу, при цьому центри граней виступають точками перегину на поверхнях, які мають п'ятикутні грані, і вершинами — на інших поверхнях. Тому тіла Кеплера — Пуансо не обов'язково топологічно еквівалентні сфері, на відміну від платонових тіл, і, зокрема, характеристика Ейлера

${\displaystyle \chi =V-E+F=2\ }$

для них не завжди має місце. Шлефлі встановив, що всі многогранники повинні мати χ = 2, і вважав, що малий зірчастий додекаедр і великий додекаедр не є правильними многогранниками. Ця точка зору не була поширеною.

Модифікована форма формули Ейлера, виведена Артуром Келі, справедлива як для опуклих многогранників, так і для тіл Кеплера — Пуансо, виглядає так:

${\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$.

Двоїстість

Тіла Кеплера — Пуансо існують у двоїстих (дуальних) парах:

• Малий зірчастий додекаедр — великий додекаедр
• Великий зірчастий додекаедр — великий ікосаедр.

Зведена таблиця властивостей

Властивості тіл Кеплера-Пуансо наведено в наступній таблиці:

Назва	Зображення	Сферична проєкція	Діаграма зірчастого многогранника	Символ Шлефлі {p, q}	Грані {p}	Ребра	Вершини	χ	Щільність	Групи симетрії	Двоїстий многогранник
Малий зірчастий додекаедр				{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	Ih	Великий додекаедр
Великий додекаедр				{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	Ih	Малий зірчастий додекаедр
Великий зірчастий додекаедр				{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Ih	Великий ікосаедр
Великий ікосаедр				{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Ih	Великий зірчастий додекаедр

Відношення між правильними многогранниками

Мають однакове розташування вершин:	Мають одні і ті ж вершини і ребра:
Ікосаедр, малий зірчастий додекаедр, великий ікосаедр і великий додекаедр.	Малий зірчастий додекаедр і великий ікосаедр.
Додекаедр і великий зірчастий додекаедр.	Ікосаедр і великий додекаедр.

Малий зірчастий додекаедр і великий ікосаедр мають одні і ті ж вершини і ребра. Ікосаедр і великий додекаедр також мають одні і ті ж вершини і ребра.

Всі три додекаедри є зірчастими правильними опуклими додекаедрами, великий ікосаедр є зірчастим правильним опуклим ікосаедром.

Якщо при перетині виникають нові ребра і вершини, отримані многогранники не будуть правильними, але їх ще можна вважати зірчастими.

У масовій культурі й мистецтві

Зірка Александера

У XX столітті відомий представник імп-арту Мауріц Ешер у своїй творчості нерідко звертався до сюжетів, заснованих на сприйнятті різних багатовимірних фігур; зокрема, його літографія ^[en] зображує малий зірчастий додекаедр.

В основу 1980-х років — зірки Александера — покладено великий додекаедр.

Див. також

• Однорідний зірчастий многогранник
• Правильні багатовимірні многогранники
• Сферичний многогранник

Примітки

1. Cauchy, 1813, с. 68—86.
2. Poinsot, 1810, с. 16—48.
3. Wenninger, 1983, с. 46.
4. . Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 2 листопада 2020.
5. . Архів оригіналу за 13 жовтня 2016. Процитовано 2 листопада 2020.
6. . Архів оригіналу за 22 жовтня 2020. Процитовано 3 квітня 2022.
7. Field, 1984, с. 207—219.
8. Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 404—408.
9. . Архів оригіналу за 10 березня 2021. Процитовано 2 листопада 2020.
10. . Архів оригіналу за 4 лютого 2021. Процитовано 2 листопада 2020.
11. Schläfli, 1901.
12. . Архів оригіналу за 30 жовтня 2020. Процитовано 2 листопада 2020.
13. . Архів оригіналу за 21 січня 2021. Процитовано 2 листопада 2020.
14. . Архів оригіналу за 11 листопада 2020. Процитовано 2 листопада 2020.
15. Эшер, 2009.
16. . Архів оригіналу за 5 березня 2021. Процитовано 2 листопада 2020.

Література

• М. Веннинджер . Модели многогранников. — М. : Мир, 1974. — 236 с.
• Эшер М.К. Графика. — М. : Арт-Родник, Taschen, 2009. — 96 с. — .
• J. Bertrand. Note sur la théorie des polyèdres réguliers. — 1858. — Т. 46. — P. 79-82, 117.
• Augustin Louis Cauchy. Recherches sur les polyèdres. — J. de l'École Polytechnique 9. — 1813. — P. 68-86.
• Arthur Cayley. On Poinsot’s Four New Regular Solids. — Philos. Mag. — 1859. — Т. 17. — P. 123—127 и 209.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 24, Regular Star-polytopes // The Symmetry of Things. — 2008. — P. 404—408. — .
• H.S.M. Coxeter. (Paper 1), The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252—264, MR 8, 482] // Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — .
• H.S.M. Coxeter. (Paper 10), Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36] // Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — .
• P. Cromwell. Polyhedra. — Cabridgre University Press, Hbk, 1997.
• Field, J. V. A Lutheran astrologer: Johannes Kepler. — Archive for History of Exact Sciences. — 1984. — Т. 31, No. 3. — P. 207—219.
• Theoni Pappas. (The Kepler-Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. — San Carlos, CA : Wide World Publ./Tetra, 1989. — P. 113.
• Louis Poinsot. Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Т. 9. — P. 16-48.
• Lakatos, Imre. Proofs and Refutations. — Cambridge University Press, 1976.
• Schläfli, Ludwig. [1] / editor J. H.Graf. — Republished by Cornell University Library historical math monographs 2010. — Zürich, Basel : Georg & Co, 1901. — . з джерела 6 листопада 2021
• Wenninger, Magnus. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — P. 39-41. — .

Посилання

• (англ.). Архів оригіналу за 23 жовтня 2020. Процитовано 20 листопада 2015.
• (англ.). Архів оригіналу за 25 квітня 2018. Процитовано 20 листопада 2015.
• (англ.). Архів оригіналу за 11 лютого 2008. Процитовано 20 листопада 2015.
• (англ.). Архів оригіналу за 6 листопада 2020. Процитовано 20 листопада 2015.
• (англ.). Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 20 листопада 2015.
• (англ.). Архів оригіналу за 9 липня 2010. Процитовано 20 листопада 2015.