[en], порядок 120 | |||
---|---|---|---|
Правильний додекаедр | Малий зірчастий додекаедр | Великий додекаедр | Великий зірчастий додекаедр |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Th, порядок 24 | T, порядок 12 | [en], порядок 48 | Багатогранник Джонсона (J84) |
Піритоедр | Тетартоїд | Ромбододекаедр | [en] |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
[en], порядок 16 | [en], порядок 12 | ||
[en] | Ромбо-квадратний додекаедр | [en] | Ромбо-трикутний додекаедр |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Дванадцятигранник або додекаедр (дав.-гр. δωδεκάεδρον (dōdekáedron) ; від грец. δώδεκα (dṓdeka) — дванадцять і грец. ἕδρα (hédra) — грань) — довільний багатогранник з дванадцятьма гранями.
Існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.
(Два багатогранника вважаються "топологічно різними", якщо вони мають різну структуру розташування граней і вершин, так що неможливо перетворити один в інший, просто змінивши довжини ребер або кути між ребрами чи гранями).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN6TDBSdlpHVmpZV2hsWkhKdmJpNW5hV1l2TVRJd2NIZ3RSRzlrWldOaGFHVmtjbTl1TG1kcFpnPT0uZ2lm.gif)
Найбільш відомий додекаедр — це правильний додекаедр, всі грані якого є правильними п'ятикутниками. Він є найбільш симетричним з усіх опуклих додекаедрів, має [en] Ih, порядок 120.
Деякі додекаедри мають таку ж комбінаторну структуру, як і правильний додекаедр (в сенсі графа, утвореного його вершинами і ребрами), але їх п'ятикутні грані не є правильними:
— піритоедр, поширена кристалічна форма піриту, має піритоедричну симетрію Th,
— тетартоїд має хіральну [en] T.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkV4TDFKb2IyMWlhV05rYjJSbFkyRm9aV1J5YjI0dVoybG1MekV5TUhCNExWSm9iMjFpYVdOa2IyUmxZMkZvWldSeWIyNHVaMmxtLmdpZg==.gif)
Ромбододекаедр можна розглядати як граничний випадок піритоедра, і він має [en] Oh. Ромбододекаедр є [en], зоноедром а також двоїстим до кубооктаедра (напівправильного багатогранника Архімеда).
[en] (або подовжений додекаедр, або гексоромбододекаедр), [en] а також ромбододекаедр можуть утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.
Правильний додекаедр
Опуклий правильний додекаедр є одним з п'яти правильних багатогранників Платона і може бути представлений своїм символом Шлефлі як {5, 3}, тобто кожна вершина оточена трьома правильними п'ятикутними гранями.
Двоїстим багатогранником до правильного додекаедра є правильний ікосаедр {3, 5}, кожна вершина якого оточена п'ятьма правильними трикутними гранями.
Опуклий правильний додекаедр має три зірчасті форми; всі три є правильними зірчастими багатогранниками Кеплера — Пуансо. Їх гранями є правильні п'ятикутники та правильні пентаграми.
![]() Опуклий правильний додекаедр | ![]() Малий зірчастий додекаедр {5/2, 5} | ![]() Великий додекаедр {5, 5/2} | ![]() Великий зірчастий додекаедр {5/2, 3} |
Характерною особливістю правильного додекаедра (також і правильного ікосаедра) є наявність в нього осей обертової симетрії 5-го порядку, які не дозволені правилами кристалографії , тобто в природі не існує кристалів мінералів, що мають форму правильного додекаедра. Проте можна зустріти квазікристали у формі правильного додекаедра (наприклад, квазікристал гольмій — магній — цинку (Ho-Mg-Zn)). Також існують мінерали, що мають форму додекаедра з неправильними гранями (наприклад, пірит).
Додекаедри з п'ятикутними гранями
В кристалографії в деяких класах симетрії кубічної кристалічної системи можуть траплятися два основних види додекаедрів, які топологічно еквівалентні правильному додекаедру, але мають менший порядок симетрії (тобто менш симетричні): піритоедр з піритоедричною симетрією і тетартоїд з хіральною [en]:
Піритоедр
Піритоедр | |
---|---|
![]() Натисніть тут , щоб подивитися обертання моделі | |
Властивості | Опуклий, гране-транзитивний |
Комбінаторика | |
Елементи | 12 п'ятикутних граней 30 ребер (6 + 24) 20 вершин (8 + 12) (3-го степеня) |
Грані | 12 Рівнобедрених п'ятикутників |
Характеристика Ейлера | |
Класифікація | |
Діаграма Коксетера-Динкіна | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Група симетрії) | [en],[4,3+], (3*2), порядок 24 (Піритоедрична симетрія) |
Група обертань | T, [3,3]+, (332), порядок 12 |
Двоїстий багатогранник | Ікосаедр з піритоедричною симетрією![]() |
Розгортка![]() |
Піритоедр (або пентагондодекаедр конгруентних п'ятикутних дзеркально-симетричних граней (тобто симетричних відносно осі, що проходить через вершину і середину протилежної сторони).
,) — це додекаедр з піритоедричною симетрією (Th). Має 12Має 20 вершин, розділених на два типи; в кожній вершині сходяться три грані.
Його 30 ребер також розділені на два типи — 24 і 6 ребер однакової довжини.
Єдиними осями обертової симетрії є три взаємно перпендикулярні осі 2-го порядку та чотири осі 3-го порядку. Осі симетрії п'ятого порядку відсутні, що дозволяє цьому багатограннику бути формою для кристалів. Зокрема, форму піритоедру має кристал мінералу піриту.
Кристал піриту
Кристал піриту найчастіше зустрічається у двох поширених кристалічних формах — піритоедр та куб. У піриту, що має форму піритоедру, грані мають індекс Міллера {2,1,0}, що означає, що двогранний кут становить 2·arctan(2) ≈ 126.87°, а кути кожної п'ятикутної грані становлять: кут ≈ 121,6° розташований між двома кутами ≈ 106,6° і навпроти двох кутів ≈ 102,6°. Наступні формули описують розміри граней ідеального кристала (який рідко зустрічається в природі).
де — довжина короткого ребра багатогранника;
— довжина довгого ребра.
Декартові координати вершин
Вісім вершин, що формують вершини куба, вписаного в багатогранник, мають координати: (±1, ±1, ±1). При цьому довжина ребер куба дорівнює 2.
Координати інших дванадцяти вершин:
(0, ±(1 + h), ±(1 − h2)), (±(1 + h), ±(1 − h2), 0) та (±(1 − h2), 0, ±(1 + h)).
де h — висота клиноподібного "даху" над гранями куба.
При h = 0 отримаємо вироджений піритоедр, що має форму куба, але з додатковими вершинами та ребрами на його гранях.
При h = 1/2 (чверть довжини ребра куба), отримаємо «бездоганний» (з геометричної точки зору) кристал природного піриту.Також в цьому випадку багатогранник є піритоедром у [en].
При h = 1/φ = √5 − 1/2= 0.618..., отримаємо правильний додекаедр.
При h = 1 отримаємо вироджений піритоедр, у якого деякі вершини збігаються, а ребра між ними зменшуються до нульової довжини; він приймає форму ромбдодекаедра.
Ортографічні проєкції піритоедру з висотою h = 1/2 | Піритоедри з висотою h = 1/2 та h = 1/φ |
Геометричні варіації
Піритоедр має деякий ступінь свободи у геометричній будові; при цьому на одній межі маємо куб, коли певні ребра стають колінеарними одне до одного, а на іншій межі маємо ромбододекаедр, коли 6 ребер вироджуються до нульової довжини. Правильний додекаедр являє собою особливий проміжний випадок, коли всі ребра і кути рівні.
Можна перетнути ці граничні випадки, та отримати при цьому неопуклі піритоедри.
Перетнувши нижню межу опуклого піритоедру, що має вигляд куба, отримаємо неопуклі його форми; неопуклий піритоедр з рівними сторонами (ендо-додекаедр) в поєднанні з опуклим правильним додекаедром може утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.
Продовжуючи деформацію багатогранника у цьому напрямку, ми проходимо через вироджений випадок, коли дванадцять вершин збігаються в центрі, і переходимо до правильного великого зірчастого додекаедра, в якого всі ребра і кути знову рівні, а грані приймають форму правильних пентаграм.
Перетнувши верхню межу опуклого піритоедру, що має вигляд ромбододекаедра, отримаємо неопуклий рівносторонній додекаедр з рибоподібними рівносторонніми п'ятикутними гранями з самоперетином.
Анімації | |
---|---|
![]() | ![]() |
Стільники з чергуванням опуклих і увігнутих піритоедів з висотами h в межах ±1/φ | Піритоедри з висотами між h = 0 (куб) та h = 1 (ромбододекаедр) |
- Індекс грані {10,9,0}
- Індекс грані {2,1,0}
- Індекс грані {7,1,0}
Окремі випадки піритоедрів | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Версії з висотами, що рівні по модулю але з протилежними знаками спільно утворюють стільники. (Див. анімацію). Показано співвідношення довжин ребер, а саме тих, що належать до набору з 24 ребер (що перетинаються в вершинах куба) до тих, що належать до набору з 6 ребер (відповідають граням куба). | |||||||
Відношення | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 | 2 : 1 | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 |
h | −√5 + 1/2 | −1 | −√5 + 1/2 | 0 | √5 − 1/2 | 1 | √5 + 1/2 |
−1.618... | −0.618... | 0.618... | 1.618... | ||||
Зображення | ![]() Великий зірчастий додекаедр , грані якого є правильними пентаграмами | ![]() Вироджений випадок з 12-ма вершинами багатогранника в його центрі | ![]() Неопуклий рівносторонній піритоедр (додекаедр). | ![]() Куб з додатковими вершинами та ребрами на його ребрах та гранях відповідно (як показано на рисунку) є граничним випадком опуклого піритоедра. | ![]() Правильний додекаедр є проміжним випадком з рівними ребрами та кутами. | ![]() Ромбододекаедр є граничним випадком опуклого піритоедра, коли 6 його ребер зменшуються до нульової довжини. | ![]() Рівносторонній додекаедр з гранями, що мають самоперетин. |
Тетартоїд
Тетартоїд Тетрагональний п'ятикутний додекаедр | |
---|---|
![]() Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі | |
Властивості | Опуклий, гране-транзитивний |
Комбінаторика | |
Елементи | 12 п'ятикутних граней 30 ребер (6+12+12) 20 вершин (4+4+12) (3-го степеня) |
Грані | 12 п'ятикутників |
Характеристика Ейлера | |
Класифікація | |
Позначення | gT (в [en] ) |
Діаграма Коксетера-Динкіна | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Група симетрії) | [en],[3,3]+, (332), порядок 12 (Хіральна тетраедрична симетрія) |
Двоїстий багатогранник | Ікосаедр з тетраедричною симетрією (або кирпатий тетраедр)![]() |
Тетартоїд (також тетрагональний п'ятикутний додекаедр [en] (Т).
, пентагонтритетраедр і тетраедричний пентагондодекаедр) — це додекаедр з хіральноюМає 12 конгруентних п'ятикутних граней.
Має 20 вершин, розділених на три типи; в кожній вершині сходяться три грані.
Його 30 ребер також розділені на три типи — 12, 12 і 6 ребер однакової довжини.
Осі обертової симетрії 5-го порядку відсутні, що дозволяє цьому багатограннику бути формою для кристалів.
Назва тетартоїд має грецьке коріння, та означає "четверта частина", оскільки він має одну четверту від повної [en] і половину піритоедричної симетрії.
Таку форму симетрії (пентагон-тритетраедричну) може мати мінерал кобальтин.
Тетартоїд має два вироджених граничних випадки, які топологічно еквівалентні самому багатограннику та мають його симетрію. Вони являють собою з одного боку — куб з додатковими ребрами на гранях (але не колінеарними до його ребер) та додатковими вершинами на ребрах куба; з іншого боку — тетраедр, кожне ребро якого поділено на три частини і кожна з двох нових вершин з'єднується з центром грані. (В [en] це є скручений тетраедр).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxsTDBOdlltRnNkR2wwWlMxa01EVXROamRoTG1wd1p5OHhORE53ZUMxRGIySmhiSFJwZEdVdFpEQTFMVFkzWVM1cWNHYz0uanBn.jpg)
Зв'язок з [en] | ||
---|---|---|
Тетартоїд можна утворити, збільшивши розміри 12 з 24 граней диакіс додекаедра. ,(Зображений тут тетартоїд отримано шляхом збільшення розмірів 24 з 48 граней [en] (або дисдакіс додекаедра)).
|
Декартові координати вершин
Наступні точки є вершинами п'ятикутника тетартоїду з [en]:
- (a, b, c); (−a, −b, c); (−n/d1, −n/d1, n/d1); (−c, −a, b); (−n/d2, n/d2, n/d2),
при наступних умовах:
- 0 ≤ a ≤ b ≤ c,
- n = a2c − bc2,
- d1 = a2 − ab + b2 + ac − 2bc,
- d2 = a2 + ab + b2 − ac − 2bc,
- nd1d2 ≠ 0.
Геометричні варіації
Правильний додекаедр є тетартоїдом, всі грані якого правильні п'ятикутники, тобто він має більш розширену симетрію, ніж необхідно для тетартоїда.
Триакіс тетраедр є виродженим тетартоїдом, у якого 12 ребер зменшені до нульової довжини. (На рисунку основної таблиці вище: білі вершини і зелені ребра поглинуться зеленими вершинами.)
Варіації тетартоїда від правильного додекаедра до триакіс тетраедра | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Двоїстий багатогранник до скрученого трисхилого біантикупола
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl3TDBSMVlXeGZkSEpwWVc1bmRXeGhjbDluZVhKdlltbGhiblJwWTNWd2IyeGhMbkJ1Wnk4eE5qQndlQzFFZFdGc1gzUnlhV0Z1WjNWc1lYSmZaM2x5YjJKcFlXNTBhV04xY0c5c1lTNXdibWM9LnBuZw==.png)
Ще одним прикладом додекаедра з п'ятиткутними гранями є двоїстий багатогранник до трисхилого повернутого біантикупола, тобто багатогранника, що отриманий шляхом з'єднання двох трисхилих (антикуполів) основами в повернутій орієнтації.
Цей багатогранник має [en] симетрію, порядку 12. Його грані — дві групи з трьох конгруентних п'ятикутних граней розділені поясом з 6-ти конгруентних п'ятикутних граней, які поєднані між собою з чергуванням орієнтації.
Ромбододекаедр
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkpoTDFKb2IyMWlhV05rYjJSbFkyRm9aV1J5YjI0dWFuQm5MekUyTUhCNExWSm9iMjFpYVdOa2IyUmxZMkZvWldSeWIyNHVhbkJuLmpwZw==.jpg)
Ромбододекаедр — це додекаедр, що має дванадцять ромбічних граней та володіє [en]. Він є зоноедром, а також двоїстим до квазіправильного кубооктаедра (архімедового тіла); зустрічається в природі у вигляді кристалів. Ромбододекаедр утворює стільники, що заповнюють тривимірний простір без проміжків та накладень.
Ромбододекаедр можна розглядати як вироджений піритоедр, у якого 6 певних ребер зменшені до нуля, а отже, п'ятикутники перетворюються на ромбічні грані.
Ромбододекаедр має кілька зірчастих форм, [en] з яких також утворює стільник для замощення простору.
Інший важливий ромбододекаедр — [en], має дванадцять граней, що конгруенті граням ромботриаконтаедра, тобто діагоналі знаходяться у співвідношенні золотого перетину. Він також є зоноедром і був описаний Білінським у 1960 році. Цим багатогранником можна замостити простір без проміжків та накладень, а також він може зустрічатися в неперіодичних стільниках разом з ромботриаконтаедром, [en] і ромбогексаедром.
Деякі інші додекаедри
Як було зазначено вище, існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.
Деякі топологічно різні додекаедри (за винятком додекаедрів з п'ятикутними та ромбічними гранями):
- Однорідні багатогранники:
- Десятикутна призма — грані: 10 квадратів, 2 ; симетрія: [en], порядок 40.
- П'ятикутна антипризма — грані: 10 правильних трикутників, 2 правильних п'ятикутників; симетрія: [en], порядок 20
- Багатогранники Джонсона (правильногранні):
- [en] — грані: 5 правильних трикутників, 5 квадратів, 1 правильний п'ятикутник, 1 правильний десятикутник; симетрія: [en], порядок 10
- [en] — грані: 12 правильних трикутників, симетрія: [en], порядок 8
- [en] — грані: 8 правильних трикутників та 4 квадратів; симетрія: [en], порядок 16
- [en] — грані: 10 правильних трикутників та 2 правильних п'ятикутників; симетрія: [en], порядок 4
- З конгруентними неправильними гранями: (гране-транзитивні)
- [en] — грані: 12 рівнобедрених трикутників; симетрія: [en], порядок 24 — двоїстий до шестикутної призми.
- [en] — грані: 12 дельтоїдів; симетрія: [en], порядок 24 — двоїстий до шестикутної антипризми.
- Триакіс тетраедр — грані:12 рівнобедрених трикутників; симетрія: [en] , порядок 24 — двоїстий до зрізаного тетраедра (багатогранника Архімеда).
- Інші додекаедри з меншою кількістю правильних граней:
- Одинадцятикутна піраміда — грані: 11 рівнобедрених трикутників та 1 правильний одинадцятикутник; симетрія: [en], порядок 11
- [en] — грані: 6 ромбів, 6 трапецій; симетрія: [en], порядок 12 — двоїстий до (багатогранника Джонсона J27).
- [en] або подовжений додекаедр — грані: 8 ромбів та 4 правильних шестикутників; симетрія: [en], порядок 16
- [en] — симетрія: [en], порядок 20, топологічно еквівалентний до правильного додекаедра.
Примітки
- Enumeration of Polyhedra - Numericana. www.numericana.com.
- І.М. Фодчук, О.О. Ткач., с. 108.
- Cotton, F. A. (1990). Chemical Applications of Group Theory, 3rd ed (PDF) (англ.) . New York: Wiley. с. 63.
- Weisstein, Eric W. Pyritohedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Pyritohedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- Л. О. Бірюкович, с. 234.
- Wadsworth, M. Edward, с. 400.
- Dutch, Steve. (1997). The 48 Special Crystal Forms (PDF) (англ.) . University of Wisconsin-Green Bay, U.S.
- CRYSTAL HABIT. www.galleries.com.
- The Tetartoid. Demonstrations.wolfram.com. Retrieved on 2016-12-02.
- Hafner, I. and Zitko, T. Introduction to golden rhombic polyhedra. Faculty of Electrical Engineering, , Slovenia.
- Lord, E. A.; Ranganathan, S.; Kulkarni, U. D. (2000). Tilings, coverings, clusters and quasicrystals. Curr. Sci. 78: 64—72.
Література
- І.М. Фодчук, О.О. Ткач. Основи кристалографії: навчальний посібник. — Чернівці : ЧНУ ім. Юрія Федьковича, 2007. — 108 с.
- Л. О. Бірюкович. Кристалографія, Кристалохімія та Мінералогія. Підручник. — Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2018. — 234 с.
- Wadsworth, M. Edward. Crystallography : an elementary manual for the laboratory. — Philadelphia : J.J. McVey, 1909. — 400 с.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Pyritohedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Pyritohedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- Tetartoid(англ.) на сайті Polytope Wiki.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Deyaki najbilsh vidomi dodekaedri en poryadok 120 Pravilnij dodekaedr Malij zirchastij dodekaedr Velikij dodekaedr Velikij zirchastij dodekaedr Th poryadok 24 T poryadok 12 en poryadok 48 Bagatogrannik Dzhonsona J84 Piritoedr Tetartoyid Rombododekaedr en en poryadok 16 en poryadok 12 en Rombo kvadratnij dodekaedr en Rombo trikutnij dodekaedr Dvanadcyatigrannik abo dodekaedr dav gr dwdekaedron dōdekaedron vid grec dwdeka dṓdeka dvanadcyat i grec ἕdra hedra gran dovilnij bagatogrannik z dvanadcyatma granyami Isnuye 6 384 634 topologichno riznih opuklih dodekaedriv ne vrahovuyuchi tih sho otrimani shlyahom dzerkalnogo vidbittya z kilkistyu vershin vid 8 do 20 Dva bagatogrannika vvazhayutsya topologichno riznimi yaksho voni mayut riznu strukturu roztashuvannya granej i vershin tak sho nemozhlivo peretvoriti odin v inshij prosto zminivshi dovzhini reber abo kuti mizh rebrami chi granyami Pravilnij dodekaedr Najbilsh vidomij dodekaedr ce pravilnij dodekaedr vsi grani yakogo ye pravilnimi p yatikutnikami Vin ye najbilsh simetrichnim z usih opuklih dodekaedriv maye en Ih poryadok 120 Deyaki dodekaedri mayut taku zh kombinatornu strukturu yak i pravilnij dodekaedr v sensi grafa utvorenogo jogo vershinami i rebrami ale yih p yatikutni grani ne ye pravilnimi piritoedr poshirena kristalichna forma piritu maye piritoedrichnu simetriyu Th tetartoyid maye hiralnu en T Rombododekaedr Rombododekaedr mozhna rozglyadati yak granichnij vipadok piritoedra i vin maye en Oh Rombododekaedr ye en zonoedrom a takozh dvoyistim do kubooktaedra napivpravilnogo bagatogrannika Arhimeda en abo podovzhenij dodekaedr abo geksorombododekaedr en a takozh rombododekaedr mozhut utvoryuvati stilniki sho zamoshuyut trivimirnij prostir bez promizhkiv ta nakladen Pravilnij dodekaedrDokladnishe Pravilnij dodekaedr Opuklij pravilnij dodekaedr ye odnim z p yati pravilnih bagatogrannikiv Platona i mozhe buti predstavlenij svoyim simvolom Shlefli yak 5 3 tobto kozhna vershina otochena troma pravilnimi p yatikutnimi granyami Dvoyistim bagatogrannikom do pravilnogo dodekaedra ye pravilnij ikosaedr 3 5 kozhna vershina yakogo otochena p yatma pravilnimi trikutnimi granyami Opuklij pravilnij dodekaedr maye tri zirchasti formi vsi tri ye pravilnimi zirchastimi bagatogrannikami Keplera Puanso Yih granyami ye pravilni p yatikutniki ta pravilni pentagrami Zirchasti formi pravilnogo dodekaedra Opuklij pravilnij dodekaedr Malij zirchastij dodekaedr 5 2 5 Velikij dodekaedr 5 5 2 Velikij zirchastij dodekaedr 5 2 3 Harakternoyu osoblivistyu pravilnogo dodekaedra takozh i pravilnogo ikosaedra ye nayavnist v nogo osej obertovoyi simetriyi 5 go poryadku yaki ne dozvoleni pravilami kristalografiyi Stor 41 tobto v prirodi ne isnuye kristaliv mineraliv sho mayut formu pravilnogo dodekaedra Prote mozhna zustriti kvazikristali u formi pravilnogo dodekaedra napriklad kvazikristal golmij magnij cinku Ho Mg Zn Takozh isnuyut minerali sho mayut formu dodekaedra z nepravilnimi granyami napriklad pirit Dodekaedri z p yatikutnimi granyamiV kristalografiyi v deyakih klasah simetriyi kubichnoyi kristalichnoyi sistemi mozhut traplyatisya dva osnovnih vidi dodekaedriv yaki topologichno ekvivalentni pravilnomu dodekaedru ale mayut menshij poryadok simetriyi tobto mensh simetrichni piritoedr z piritoedrichnoyu simetriyeyu i tetartoyid z hiralnoyu en Piritoedr Piritoedr Natisnit tut shob podivitisya obertannya modeli Vlastivosti Opuklij grane tranzitivnij Kombinatorika Elementi 12 p yatikutnih granej 30 reber 6 24 20 vershin 8 12 3 go stepenya Grani 12 Rivnobedrenih p yatikutnikiv Harakteristika Ejlera x G P B 2 displaystyle chi Gamma hbox P hbox B 2 Klasifikaciya Diagrama Koksetera Dinkina abo o4p3p Grupa simetriyi en 4 3 3 2 poryadok 24 Piritoedrichna simetriya Grupa obertan T 3 3 332 poryadok 12 Dvoyistij bagatogrannik Ikosaedr z piritoedrichnoyu simetriyeyu Rozgortka Piritoedr abo pentagondodekaedr Stor 80 81 Stor 136 ce dodekaedr z piritoedrichnoyu simetriyeyu Th Maye 12 kongruentnih p yatikutnih dzerkalno simetrichnih granej tobto simetrichnih vidnosno osi sho prohodit cherez vershinu i seredinu protilezhnoyi storoni Maye 20 vershin rozdilenih na dva tipi v kozhnij vershini shodyatsya tri grani Jogo 30 reber takozh rozdileni na dva tipi 24 i 6 reber odnakovoyi dovzhini Yedinimi osyami obertovoyi simetriyi ye tri vzayemno perpendikulyarni osi 2 go poryadku ta chotiri osi 3 go poryadku Osi simetriyi p yatogo poryadku vidsutni sho dozvolyaye comu bagatogranniku buti formoyu dlya kristaliv Zokrema formu piritoedru maye kristal mineralu piritu Kristal piritu Kristal piritu najchastishe zustrichayetsya u dvoh poshirenih kristalichnih formah piritoedr ta kub U piritu sho maye formu piritoedru grani mayut indeks Millera 2 1 0 sho oznachaye sho dvogrannij kut stanovit 2 arctan 2 126 87 a kuti kozhnoyi p yatikutnoyi grani stanovlyat kut 121 6 roztashovanij mizh dvoma kutami 106 6 i navproti dvoh kutiv 102 6 Nastupni formuli opisuyut rozmiri granej idealnogo kristala yakij ridko zustrichayetsya v prirodi Visota 5 2 L displaystyle text Visota frac sqrt 5 2 cdot L Shirina 4 3 L displaystyle text Shirina frac 4 3 cdot L l 7 12 L displaystyle l sqrt frac 7 12 cdot L de l displaystyle l dovzhina korotkogo rebra bagatogrannika L displaystyle L dovzhina dovgogo rebra Prirodnij pirit Na pravomu zobrazhenni pokazano kuti grani Dekartovi koordinati vershin Visim vershin sho formuyut vershini kuba vpisanogo v bagatogrannik mayut koordinati 1 1 1 Pri comu dovzhina reber kuba dorivnyuye 2 Koordinati inshih dvanadcyati vershin 0 1 h 1 h2 1 h 1 h2 0 ta 1 h2 0 1 h de h visota klinopodibnogo dahu nad granyami kuba Pri h 0 otrimayemo virodzhenij piritoedr sho maye formu kuba ale z dodatkovimi vershinami ta rebrami na jogo granyah Pri h 1 2 chvert dovzhini rebra kuba otrimayemo bezdogannij z geometrichnoyi tochki zoru kristal prirodnogo piritu Takozh v comu vipadku bagatogrannik ye piritoedrom u en Pri h 1 f 5 1 2 0 618 otrimayemo pravilnij dodekaedr Pri h 1 otrimayemo virodzhenij piritoedr u yakogo deyaki vershini zbigayutsya a rebra mizh nimi zmenshuyutsya do nulovoyi dovzhini vin prijmaye formu rombdodekaedra Ortografichni proyekciyi piritoedru z visotoyu h 1 2 Piritoedri z visotoyu h 1 2 ta h 1 f Geometrichni variaciyi Piritoedr maye deyakij stupin svobodi u geometrichnij budovi pri comu na odnij mezhi mayemo kub koli pevni rebra stayut kolinearnimi odne do odnogo a na inshij mezhi mayemo rombododekaedr koli 6 reber virodzhuyutsya do nulovoyi dovzhini Pravilnij dodekaedr yavlyaye soboyu osoblivij promizhnij vipadok koli vsi rebra i kuti rivni Mozhna peretnuti ci granichni vipadki ta otrimati pri comu neopukli piritoedri Peretnuvshi nizhnyu mezhu opuklogo piritoedru sho maye viglyad kuba otrimayemo neopukli jogo formi neopuklij piritoedr z rivnimi storonami endo dodekaedr v poyednanni z opuklim pravilnim dodekaedrom mozhe utvoryuvati stilniki sho zamoshuyut trivimirnij prostir bez promizhkiv ta nakladen Prodovzhuyuchi deformaciyu bagatogrannika u comu napryamku mi prohodimo cherez virodzhenij vipadok koli dvanadcyat vershin zbigayutsya v centri i perehodimo do pravilnogo velikogo zirchastogo dodekaedra v yakogo vsi rebra i kuti znovu rivni a grani prijmayut formu pravilnih pentagram Peretnuvshi verhnyu mezhu opuklogo piritoedru sho maye viglyad rombododekaedra otrimayemo neopuklij rivnostoronnij dodekaedr z ribopodibnimi rivnostoronnimi p yatikutnimi granyami z samoperetinom Animaciyi Stilniki z cherguvannyam opuklih i uvignutih piritoediv z visotami h v mezhah 1 f Piritoedri z visotami mizh h 0 kub ta h 1 rombododekaedr Indeks grani 10 9 0 Indeks grani 2 1 0 Indeks grani 7 1 0 Okremi vipadki piritoedriv Versiyi z visotami sho rivni po modulyu ale z protilezhnimi znakami spilno utvoryuyut stilniki Div animaciyu Pokazano spivvidnoshennya dovzhin reber a same tih sho nalezhat do naboru z 24 reber sho peretinayutsya v vershinah kuba do tih sho nalezhat do naboru z 6 reber vidpovidayut granyam kuba Vidnoshennya 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 h 5 1 2 1 5 1 2 0 5 1 2 1 5 1 2 1 618 0 618 0 618 1 618 Zobrazhennya Velikij zirchastij dodekaedr grani yakogo ye pravilnimi pentagramami Virodzhenij vipadok z 12 ma vershinami bagatogrannika v jogo centri Neopuklij rivnostoronnij piritoedr dodekaedr Kub z dodatkovimi vershinami ta rebrami na jogo rebrah ta granyah vidpovidno yak pokazano na risunku ye granichnim vipadkom opuklogo piritoedra Pravilnij dodekaedr ye promizhnim vipadkom z rivnimi rebrami ta kutami Rombododekaedr ye granichnim vipadkom opuklogo piritoedra koli 6 jogo reber zmenshuyutsya do nulovoyi dovzhini Rivnostoronnij dodekaedr z granyami sho mayut samoperetin Tetartoyid Tetartoyid Tetragonalnij p yatikutnij dodekaedr Natisnit tut shob podivitisya obertannya modeli Vlastivosti Opuklij grane tranzitivnij Kombinatorika Elementi 12 p yatikutnih granej 30 reber 6 12 12 20 vershin 4 4 12 3 go stepenya Grani 12 p yatikutnikiv Harakteristika Ejlera x G P B 2 displaystyle chi Gamma hbox P hbox B 2 Klasifikaciya Poznachennya gT v en Diagrama Koksetera Dinkina abo p3p3p Grupa simetriyi en 3 3 332 poryadok 12 Hiralna tetraedrichna simetriya Dvoyistij bagatogrannik Ikosaedr z tetraedrichnoyu simetriyeyu abo kirpatij tetraedr Tetartoyid takozh tetragonalnij p yatikutnij dodekaedr Stor 140 141 144 pentagontritetraedr Stor 79 i tetraedrichnij pentagondodekaedr ce dodekaedr z hiralnoyu en T Maye 12 kongruentnih p yatikutnih granej Maye 20 vershin rozdilenih na tri tipi v kozhnij vershini shodyatsya tri grani Jogo 30 reber takozh rozdileni na tri tipi 12 12 i 6 reber odnakovoyi dovzhini Osi obertovoyi simetriyi 5 go poryadku vidsutni sho dozvolyaye comu bagatogranniku buti formoyu dlya kristaliv Nazva tetartoyid maye grecke korinnya ta oznachaye chetverta chastina oskilki vin maye odnu chetvertu vid povnoyi en i polovinu piritoedrichnoyi simetriyi Taku formu simetriyi pentagon tritetraedrichnu mozhe mati mineral kobaltin Tetartoyid maye dva virodzhenih granichnih vipadki yaki topologichno ekvivalentni samomu bagatogranniku ta mayut jogo simetriyu Voni yavlyayut soboyu z odnogo boku kub z dodatkovimi rebrami na granyah ale ne kolinearnimi do jogo reber ta dodatkovimi vershinami na rebrah kuba z inshogo boku tetraedr kozhne rebro yakogo podileno na tri chastini i kozhna z dvoh novih vershin z yednuyetsya z centrom grani V en ce ye skruchenij tetraedr Ortografichni proyekciyi centrovani po osyam simetriyi 2 go ta 3 go poryadku Virodzheni formi tetartoyida kubichna ta tetraedrichna Mineral kobaltin Zv yazok z en Tetartoyid mozhna utvoriti zbilshivshi rozmiri 12 z 24 granej diakis dodekaedra Stor 137 Zobrazhenij tut tetartoyid otrimano shlyahom zbilshennya rozmiriv 24 z 48 granej en abo disdakis dodekaedra Hiralni tetartoyidi bazovoyu osnovoyu yakih ye diakis dodekaedr Model kristaluModel kristalu pravoruch yavlyaye soboyu tetartoyid utvorenij shlyahom zbilshennya sinih granej yadra disdakis dodekaedra Tomu rebra mizh sinimi granyami pokrito chervonimi karkasnimi rebrami Dekartovi koordinati vershin Nastupni tochki ye vershinami p yatikutnika tetartoyidu z en a b c a b c n d1 n d1 n d1 c a b n d2 n d2 n d2 pri nastupnih umovah 0 a b c n a2c bc2 d1 a2 ab b2 ac 2bc d2 a2 ab b2 ac 2bc nd1d2 0 Geometrichni variaciyi Pravilnij dodekaedr ye tetartoyidom vsi grani yakogo pravilni p yatikutniki tobto vin maye bilsh rozshirenu simetriyu nizh neobhidno dlya tetartoyida Triakis tetraedr ye virodzhenim tetartoyidom u yakogo 12 reber zmensheni do nulovoyi dovzhini Na risunku osnovnoyi tablici vishe bili vershini i zeleni rebra poglinutsya zelenimi vershinami Variaciyi tetartoyida vid pravilnogo dodekaedra do triakis tetraedra Dvoyistij bagatogrannik do skruchenogo trishilogo biantikupola She odnim prikladom dodekaedra z p yatitkutnimi granyami ye dvoyistij bagatogrannik do trishilogo povernutogo biantikupola tobto bagatogrannika sho otrimanij shlyahom z yednannya dvoh trishilih antikupoliv osnovami v povernutij oriyentaciyi Cej bagatogrannik maye en simetriyu poryadku 12 Jogo grani dvi grupi z troh kongruentnih p yatikutnih granej rozdileni poyasom z 6 ti kongruentnih p yatikutnih granej yaki poyednani mizh soboyu z cherguvannyam oriyentaciyi RombododekaedrDokladnishe Rombododekaedr Rombododekaedr Rombododekaedr ce dodekaedr sho maye dvanadcyat rombichnih granej ta volodiye en Vin ye zonoedrom a takozh dvoyistim do kvazipravilnogo kubooktaedra arhimedovogo tila zustrichayetsya v prirodi u viglyadi kristaliv Rombododekaedr utvoryuye stilniki sho zapovnyuyut trivimirnij prostir bez promizhkiv ta nakladen Rombododekaedr mozhna rozglyadati yak virodzhenij piritoedr u yakogo 6 pevnih reber zmensheni do nulya a otzhe p yatikutniki peretvoryuyutsya na rombichni grani Rombododekaedr maye kilka zirchastih form en z yakih takozh utvoryuye stilnik dlya zamoshennya prostoru Inshij vazhlivij rombododekaedr en maye dvanadcyat granej sho kongruenti granyam rombotriakontaedra tobto diagonali znahodyatsya u spivvidnoshenni zolotogo peretinu Vin takozh ye zonoedrom i buv opisanij Bilinskim u 1960 roci Cim bagatogrannikom mozhna zamostiti prostir bez promizhkiv ta nakladen a takozh vin mozhe zustrichatisya v neperiodichnih stilnikah razom z rombotriakontaedrom en i rombogeksaedrom Deyaki inshi dodekaedriYak bulo zaznacheno vishe isnuye 6 384 634 topologichno riznih opuklih dodekaedriv ne vrahovuyuchi tih sho otrimani shlyahom dzerkalnogo vidbittya z kilkistyu vershin vid 8 do 20 Deyaki topologichno rizni dodekaedri za vinyatkom dodekaedriv z p yatikutnimi ta rombichnimi granyami Odnoridni bagatogranniki Desyatikutna prizma grani 10 kvadrativ 2 simetriya en poryadok 40 P yatikutna antiprizma grani 10 pravilnih trikutnikiv 2 pravilnih p yatikutnikiv simetriya en poryadok 20 Bagatogranniki Dzhonsona pravilnogranni en grani 5 pravilnih trikutnikiv 5 kvadrativ 1 pravilnij p yatikutnik 1 pravilnij desyatikutnik simetriya en poryadok 10 en grani 12 pravilnih trikutnikiv simetriya en poryadok 8 en grani 8 pravilnih trikutnikiv ta 4 kvadrativ simetriya en poryadok 16 en grani 10 pravilnih trikutnikiv ta 2 pravilnih p yatikutnikiv simetriya en poryadok 4 Z kongruentnimi nepravilnimi granyami grane tranzitivni en grani 12 rivnobedrenih trikutnikiv simetriya en poryadok 24 dvoyistij do shestikutnoyi prizmi en grani 12 deltoyidiv simetriya en poryadok 24 dvoyistij do shestikutnoyi antiprizmi Triakis tetraedr grani 12 rivnobedrenih trikutnikiv simetriya en poryadok 24 dvoyistij do zrizanogo tetraedra bagatogrannika Arhimeda Inshi dodekaedri z menshoyu kilkistyu pravilnih granej Odinadcyatikutna piramida grani 11 rivnobedrenih trikutnikiv ta 1 pravilnij odinadcyatikutnik simetriya en poryadok 11 en grani 6 rombiv 6 trapecij simetriya en poryadok 12 dvoyistij do bagatogrannika Dzhonsona J27 en abo podovzhenij dodekaedr grani 8 rombiv ta 4 pravilnih shestikutnikiv simetriya en poryadok 16 en simetriya en poryadok 20 topologichno ekvivalentnij do pravilnogo dodekaedra PrimitkiEnumeration of Polyhedra Numericana www numericana com I M Fodchuk O O Tkach s 108 Cotton F A 1990 Chemical Applications of Group Theory 3rd ed PDF angl New York Wiley s 63 Weisstein Eric W Pyritohedron angl na sajti Wolfram MathWorld Pyritohedron angl na sajti Polytope Wiki L O Biryukovich s 234 Wadsworth M Edward s 400 Dutch Steve 1997 The 48 Special Crystal Forms PDF angl University of Wisconsin Green Bay U S CRYSTAL HABIT www galleries com The Tetartoid Demonstrations wolfram com Retrieved on 2016 12 02 Hafner I and Zitko T Introduction to golden rhombic polyhedra Faculty of Electrical Engineering Slovenia Lord E A Ranganathan S Kulkarni U D 2000 Tilings coverings clusters and quasicrystals Curr Sci 78 64 72 LiteraturaI M Fodchuk O O Tkach Osnovi kristalografiyi navchalnij posibnik Chernivci ChNU im Yuriya Fedkovicha 2007 108 s L O Biryukovich Kristalografiya Kristalohimiya ta Mineralogiya Pidruchnik Kiyiv KPI im Igorya Sikorskogo 2018 234 s Wadsworth M Edward Crystallography an elementary manual for the laboratory Philadelphia J J McVey 1909 400 s PosilannyaWeisstein Eric W Pyritohedron angl na sajti Wolfram MathWorld Pyritohedron angl na sajti Polytope Wiki Tetartoid angl na sajti Polytope Wiki