В геометрії стільник — це заповнення простору многогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.
Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний многогранник можна спроєктувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.
Класифікація
Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.
Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому [en] є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є [en] і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.
Однорідний тривимірний стільник
Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних многогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі, званих також [en].
Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок):
Тип | Кубічний стільник | Квазіправильний стільник |
---|---|---|
Комірки | Кубічні | Октаедричні і тетраедричні |
Шар |
[en] і складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.
Многогранники, що заповнюють простір
Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про многогранник, що заповнює простір.
Тільки п'ять многогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають [en]:
- Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед);
- [en];
- [en];
- [en];
- [en].
Кубічний стільник | Шестикутний призматичний стільник | Ромбододекаедричний стільник | Подовжений ромбододекаедричний стільник | Стільник з глибокозрізаних кубів |
Куб(паралелепіпед) | Шестикутна призма | Ромбододекаедр | Подовжений додекаедр[en] | Зрізаний октаедр |
---|---|---|---|---|
3 довжини ребер | 3+1 довжини ребер | 4 довжини ребер | 4+1 довжин ребер | 6 довжин ребер |
Інші відомі приклади:
- [ru].
- Однорідний повернутий трикутний призматичний стільник
- [en]. Комірки мозаїки Вороного атомів вуглецю в алмазі мають такий вигляд.
- [en].
- Прості ізоедричні мозаїки.
Інші стільники з двома і більше многогранниками
Іноді два і більше різних многогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує [en], запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату .
Структура Вейра — -Фелана (з двома типами комірок)
Неопуклі тривимірні стільники
- Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають [en] малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в [en].
- Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.
Гіперболічні стільники
У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут многогранника залежить від розміру многогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і многогранники.
Досліджено 4 види компактних [ru] і багато [en].
Двоїстість стільників у тривимірному просторі
Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:
- комірок на вершини;
- граней на ребра.
Для правильних стільників:
- Кубічний стільник самодвоїстий.
- Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів.
- Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк.
- Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда.
Самодвоїсті стільники
Стільники можуть бути [ru]. Всі n-вимірні [ru] з символами Шлефлі {4,3n-2,4} самодвоїсті.
Див. також
- [en]
- [en]
Примітки
- Grünbaum, 1994.
- Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- [1] Однорідні призми на основі трикутника, квадрата і шестикутника, що заповнюють простір
- [2] Однорідні ромбо-шестикутні додекаедри, що заповнюють простір
- [3] Однорідні зрізані октаедри, що заповнюють простір
- Voronoi Polyhedron
- Qian, Strahs, Schlick, 2001.
- Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005.
- . Архів оригіналу за 30 червня 2015. Процитовано 16 травня 2012. Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
- Pauling, 1960.
- Inchbald, 1997.
Література
- . Chapter 8: Truncation // [en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — .
- Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : , 1979. — С. 164—199.
- K. Critchlow. Order in space. — New York : Thames & Hudson Inc., 1997. — .
- Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // . — 1994. — Вип. 4(2).
- P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London : MIT press, 1978.
- Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вип. 15.
- O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вип. A61.
- Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — .
- G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вип. 81, July.
Посилання
- Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
- The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
- Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi stilnik ce zapovnennya prostoru mnogogrannikami sho ne peretinayutsya pri yakomu ne zalishayetsya nezapovnenogo prostoru Ce uzagalnennya matematichnogo ponyattya mozayika abo parket na bud yaku rozmirnist en Stilniki zazvichaj rozglyadayutsya u zvichajnomu evklidovomu ploskomu prostori Yih mozhna takozh pobuduvati v neevklidovih prostorah napriklad giperbolichnij stilnik Bud yakij skinchennij odnoridnij mnogogrannik mozhna sproyektuvati na jogo opisanu sferu sho dast odnoridnij stilnik u sferichnomu prostori Mozhna zapovniti prostir bagatokutnikami yaki ne mayut spilnih vershin napriklad shlyahom ceglyanogo vkladannya Take vkladannya ne ye pravilnoyu mozayikoyu oskilki kuti lezhat na storonah susidnogo bagatokutnika Takozh i v pravilnomu stilniku ne povinno buti reber abo vershin sho lezhat vseredini abo chastkovo na grani Zauvazhimo sho yaksho mi interpretuyemo kozhnu ceglinu yak shestikutnik sho maye vnutrishnij kut 180 gradusiv mi mozhemo prijnyati taku ukladku yak pravilnu mozayiku Odnak ne vsi geometri prijmayut taki shestikutniki KlasifikaciyaIsnuye neskinchenno bagato stilnikiv i voni mozhut buti klasifikovani lishe chastkovo Najbilsh pravilni mozayiki otrimuyut najbilshij interes hocha bagatij i shirokij nabir inshih mozayik vidkrivayetsya znovu i znovu Najprostishi stilniki formuyutsya z shariv prizm pobudovanih z parketiv na ploshini Zokrema kopiyi bud yakogo paralelepipeda mozhut zapovniti prostir pri comu en ye specialnim vipadkom oskilki tilki vin utvoryuye pravilnij stilnik u zvichajnomu evklidovomu prostori Inshim cikavim prikladom ye en i jogo uzagalnennya yaki takozh utvoryuyut mozayiku v prostori Odnoridnij trivimirnij stilnik Trivimirnij odnoridnij stilnik ce stilnik u trivimirnomu prostori skladenij z odnoridnih mnogogrannikiv sho mayut odnakovi vershini tobto grupa izometrij trivimirnogo prostoru sho zberigaye mozayiku ye tranzitivnoyu na vershinah Isnuye 28 prikladiv opuklih mozayik u trivimirnomu evklidovomu prostori zvanih takozh en Stilnik nazivayut pravilnim yaksho grupa izometrij sho zberigaye mozayiku diye tranzitivno na prapori de prapor ce vershina yaka lezhit na rebri yake nalezhit grani vsi razom Bud yakij pravilnij stilnik ye avtomatichno odnoridnim Odnak isnuye vsogo odin vid pravilnih stilnikiv u trivimirnomu evklidovomu prostori kubichnij stilnik Dvoye stilnikiv ye kvazipravilnimi zroblenimi z dvoh tipiv pravilnih komirok Tip Kubichnij stilnik Kvazipravilnij stilnik Komirki Kubichni Oktaedrichni i tetraedrichni Shar en i skladayutsya z shariv utvorenih 3 ma abo 2 ma polozhennyami tetraedriv i oktaedriv Neskinchenne chislo unikalnih stilnikiv mozhna otrimati shlyahom riznogo cherguvannya cih shariv Mnogogranniki sho zapovnyuyut prostir Pro trivimirnij stilnik vsi komirki yakogo identichni vklyuchno z simetriyeyu kazhut yak pro komirkovo tranzitivnij abo izohornij Pro komirku takogo stilnika kazhut yak pro mnogogrannik sho zapovnyuye prostir Tilki p yat mnogogrannikiv sho zapovnyuyut prostir mozhut zapovniti 3 mirnij evklidiv prostir z vikoristannyam tilki paralelnogo perenesennya Yih nazivayut en Kubichnij stilnik abo variaciyi pryamokutnij paralelepiped rombichnij shestigrannik abo paralelepiped en en en en Kubichnij stilnik Shestikutnij prizmatichnij stilnik Rombododekaedrichnij stilnik Podovzhenij rombododekaedrichnij stilnik Stilnik z glibokozrizanih kubiv Kub paralelepiped Shestikutna prizma Rombododekaedr Podovzhenij dodekaedr en Zrizanij oktaedr 3 dovzhini reber 3 1 dovzhini reber 4 dovzhini reber 4 1 dovzhin reber 6 dovzhin reber Inshi vidomi prikladi ru Odnoridnij povernutij trikutnij prizmatichnij stilnik en Komirki mozayiki Voronogo atomiv vuglecyu v almazi mayut takij viglyad en Prosti izoedrichni mozayiki Inshi stilniki z dvoma i bilshe mnogogrannikami Inodi dva i bilshe riznih mnogogranniki mozhna skombinuvati shob zapovniti prostir Dobre vidomim prikladom sluguye en zapozichena zi strukturi kristaliv klatratnogo gidratu Struktura Vejra Felana z dvoma tipami komirok Neopukli trivimirni stilniki Neopukli komirki vpakovani bez nakladannya analogichno mozayikam z uvignutih bagatokutnikiv Voni vklyuchayut en malih zirchastih rombichnih dodekaedriv yak v en Mozayiki z nakladennyam komirok za yakogo dodatni i vid yemni shilnosti znishuyutsya z utvorennyam odnoridnogo za shilnistyu kontinuumu analogichno mozayikam z nakladennyam na ploshini Giperbolichnij malij dodekaedrichnij stilnik u giperbolichnomu prostori Giperbolichni stilniki U trivimirnomu giperbolichnomu prostori dvogrannij kut mnogogrannika zalezhit vid rozmiru mnogogrannika Pravilni giperbolichni stilniki vklyuchayut dva vidi z chotirma abo p yatma dodekaedrami yaki mayut spilni rebra Yihni dvogranni kuti todi budut p 2 2p 5 obidva menshi nizh u evklidovogo dodekaedra Za vinyatkom cogo efektu giperbolichni stilniki vidpovidayut tim samim vimogam sho j evklidovi stilniki i mnogogranniki Doslidzheno 4 vidi kompaktnih ru i bagato en Dvoyistist stilnikiv u trivimirnomu prostoriDlya bud yakogo stilnika ye dvoyisti stilniki yaki mozhut buti otrimani obminom komirok na vershini granej na rebra Dlya pravilnih stilnikiv Kubichnij stilnik samodvoyistij Stilniki sho skladayutsya z oktaedriv i tetraedriv dvoyisti stilnikam z rombichnih dodekaedriv Sharuvati stilniki otrimani z odnoridnih ploskih mozayik dvoyisti takim samim otrimanim z dvoyistih mozayik Dvoyisti stilniki do inshih arhimedovih stilnikiv ye komirko tranzitivnimi i opisani v statti Inchbalda Samodvoyisti stilnikiStilniki mozhut buti ru Vsi n vimirni ru z simvolami Shlefli 4 3n 2 4 samodvoyisti Div takozh en en PrimitkiGrunbaum 1994 Weisstein Eric W Space filling polyhedron angl na sajti Wolfram MathWorld 1 Odnoridni prizmi na osnovi trikutnika kvadrata i shestikutnika sho zapovnyuyut prostir 2 Odnoridni rombo shestikutni dodekaedri sho zapovnyuyut prostir 3 Odnoridni zrizani oktaedri sho zapovnyuyut prostir Voronoi Polyhedron Qian Strahs Schlick 2001 Delgado Friedrichs O Keeffe 2005 Arhiv originalu za 30 chervnya 2015 Procitovano 16 travnya 2012 Gabbrielli Ruggero A thirteen sided polyhedron which fills space with its chiral copy Pauling 1960 Inchbald 1997 Literatura Chapter 8 Truncation en 3rd edition New York Dover Publications Inc 1973 S 145 154 ISBN 0 486 61480 8 Williams R Chapter 5 Polyhedra packing and space filling The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design New York 1979 S 164 199 K Critchlow Order in space New York Thames amp Hudson Inc 1997 ISBN 0 500 34033 1 Branko Grunbaum Uniform tilings of 3 space 1994 Vip 4 2 P Pearce Structure in nature is a strategy for design Cambridge Massachusetts London MIT press 1978 Xiaoliang Qian Daniel Strahs Tamar Schlick A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules PBCAID Journal of Computational Chemistry 2001 T 22 vip 15 O Delgado Friedrichs M O Keeffe Isohedral simple tilings binodal and by tiles with lt 16 faces Acta Cryst 2005 Vip A61 Linus Pauling The Nature of the Chemical Bond Cornell University Press 1960 ISBN 0 8014 0333 2 G Inchbald The Archimedean Honeycomb duals The Mathematical Gazette 1997 Vip 81 July PosilannyaFive space filling polyhedra Guy Inchbald The Archimedean honeycomb duals Guy Inchbald The Mathematical Gazette 80 November 1996 p p 466 475 Raumfueller Space filling polyhedra by T E Dorozinski