Ребро (геометрія)

Ребро́ — в геометрії одновимірний відрізок, що з'єднує дві сусідні нульвимірні вершини многокутника, багатогранника або політопа довільної вимірності. В многокутнику ребро ще називають стороною. В багатограннику або, більш загально, у політопі ребро є відрізком в якому дві грані з'єднуються. Відрізок, який з'єднує дві вершини та проходить всередині або зовні не є ребром, натомість його називають діагоналлю.

Три ребра: AB, BC і CA — кожне між двома вершинами трикутника.	Багатокутник, обмежений чотирма сторонами; Цей квадрат має 4 ребра.
У багатограннику кожне ребро розділяє 2 грані, як у цьому кубі.	Кожне ребро розділяє 3 або більше граней у чотиривимірному багатограннику, як показано на цій проєкції тесеракту.

Многокутник ABCDEF з позначеними червоним кольором ребрами BC і DE

Замкнута послідовність ребер на площині утворює многокутник або грань багатогранника.

Ребра в графах

В теорії графів, ребра — це абстрактний об'єкт, що з'єднує дві вершини графу, на відміну від багатокутника і багатогранника, ребра якого мають конкретне геометричне подання у вигляді лінійного сегмента. Однак, будь-який поліедр може бути представлений у вигляді його кістяку, а саме графом, вершини якого є вершинами многогранника, і у геометричному вигляді. З іншого боку, графи, які є скелетами тривимірних багатогранників, можна охарактеризувати по теоремі Штайніца як з'єднані трьома вершинами планарні графи.

Число ребер багатогранника

Будь-який опуклий багатокутник має Ейлерову характеристику:

${\displaystyle V-E+F=2}$

де V — число вершин, Е — число ребер і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число ребер на 2 менше, ніж сума числа вершин і граней. Наприклад, куб має 8 вершин і 6 граней, 12 ребер.

Належність граням

У полігоні два ребра зустрічаються у кожній вершині; в цілому за ^[en] існує принаймні n граней в кожній вершині n-вимірного опуклого багатогранника. Аналогічно у багатограннику рівно дві грані відповідає кожному ребру, у той час як у вищих вимірностях ребру може відповідати три грані або й більше.

Альтернативна термінологія

У теорії багатомірних опуклих багатогранників грані або сторони n-вимірного багатогранника є одними з його (n − 1)-вимірною особливостей, що хребет — це (n − 2)-вимірних просторових об'єктів, і пік це (n − 3)-вимірний просторовий об'єкт. Таким чином, ребрами полігону є його грані, ребрами 3-вимірного опуклого багатогранника є його хребти, а піки 4-вимірного багатогранника є його вершини.

Примітки

1. (1995), , , т. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, архів оригіналу за 15 лютого 2017, процитовано 25 червня 2016.
2. Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html [ 26 липня 2020 у Wayback Machine.]
3. Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html [ 24 травня 2016 у Wayback Machine.]
4. (2013), , Springer, с. 81, ISBN , архів оригіналу за 7 січня 2014, процитовано 29 червня 2016.
5. ; Randić, Milan (2000), Bridges between geometry and graph theory, у Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work, MAA Notes, т. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, с. 174—194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176 [ 20 лютого 2017 у Wayback Machine.].
6. (1961), , Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431—434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765, архів оригіналу за 11 травня 2019, процитовано 29 червня 2016.
7. Wenninger, Magnus J. (1974), , Cambridge University Press, с. 1, ISBN , архів оригіналу за 21 березня 2015, процитовано 29 червня 2016.
8. (1986), Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face, Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), с. 404—413, doi:10.1145/12130.12172.

Див. також

• ^[en]
• ^[en]

Посилання

• Координаційний поліедр
• Weisstein, Eric W. Polygonal edge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polyhedral edge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.