Ця стаття не має . Можливо, потрібен шаблон {{}}. |
Малий зірчастий додекаедр | |
---|---|
Тип | Тіло Кеплера — Пуансо |
Зірчаста форма | Правильного додекаедра |
Властивості | Неопуклий, рівносторонній, правильний зірчастий багатогранник, гране-транзитивний, вершинно-транзитивний. |
Комбінаторика | |
Елементи | 12 граней; 30 ребер; 12 вершин 5-го степеня. |
Грані {p} | 12 Пентаграм = 12 {5/2}. |
Характеристика Ейлера |
|
Конфігурація вершини | (5/2)5 (тобто кожна вершина оточена п'ятьма пентаграмами) |
Вершинна фігура | 12 Правильних п'ятикутників {5} :стор.435 ; , з довжиною сторони |
[en] | 3 |
Рід | 4 |
Класифікація | |
Позначення | • W20 (в нотації М. Веннінґера) |
Символ Шлефлі {p, q} | {5/2,5} |
Діаграма Коксетера — Динкіна | (або o5o5/2x) |
[en] | 5 | 2 5/2 |
Група симетрії | [en], H3, [5,3], (*532), порядок 120 |
Двоїстий багатогранник | |
Розгортка |
Малий зірчастий додекаедр багатогранників Кеплера — Пуансо.
— один з чотирьох правильних зірчастихМалий зірчастий додекаэдр вперше повністю описано в трактаті Йоганна Кеплера 1619 року «Harmonices Mundi» , а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році.
Має 12 граней — правильних п'ятипроменевих зірок (пентаграм), які перетинаються між собою та 12 вершин. Шість пар граней лежать в паралельних площинах.
Його символ Шлефлі — . Це означає, що кожна вершина оточена 5-ма гранями (пентаграмами {5/2}).
Має центральну опуклу ділянку кожної грані, «приховану» всередині, при цьому зовні видно тільки частину граней у вигляді рівнобедрених трикутніиків. Частина граней, що знаходиться всередині багатогранника відіграє роль плоскої мембрани та не розмежовує внутрішній простір багатогранника.
[en] малого зірчастого додекаедра таке ж як і у правильного ікосаедра (тобто опукла оболонка малого зірчастого додекаедра є правильним ікосаедром). А розташування ребер малого зірчастого додекаедра таке ж як і у великого ікосаедра.
Малий зірчастий додекаедр має повну симетрію правильного ікосаедра, і отже, всі його елементи симетрії, а саме:
1) має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини;
‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через протилежні точки, в яких перетинаються по три грані;
‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер.
2) має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через кожні дві сусідні вершини та центр багатогранника (через кожну пару паралельних ребер).
3) має центр симетрії.
Як зірчаста форма додекаедра
Діаграма ззірчення правильного додекаедра та грань малого зірчастого додекаедра на ній | Жовтим кольором зображено грань малого зірчастого додекаедра | Утворення грані малого зірчастого додекаедра |
Малий зірчастий додекаедр є першою зірчастою формою правильного додекаедра. Його грані складені з нульового та першого відсіків на діаграмі ззірчення правильного додекаедра.
Малий зірчастий додекаедр утворюється з правильного додекаедра при продовженні його ребер до їх взаємного перетину, тобто кожна грань α правильного додекаедра замінюється зірчастим п'ятикутником з ядром α.
Також малий зірчастий додекаедр є радіально-опуклим зірчастим багатогранником, тобто кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає багатогранник лише в одній точці.
Як нарощення додекаедра
Часто малий зірчастий додекаедр визначається як багатогранник, утворений нарощенням на гранях додекаедра правильних п'ятикутних пірамід.
Сам Йоганн Кеплер називає цей багатогранник (малий зірчастий додекаедр) нарощеним додекаедром (а пізніше Echinus).
Це некоректне визначення іноді використовується й до цього часу. Наприклад, MathWorld стверджує, що малий зірчастий додекаедр може бути отриманий шляхом додавання правильних п'ятикутних пірамід до граней правильного додекаедра.
Однак це твердження придатне лише для полегшення візуалізації цього багатогранника, або для виготовлення його паперової моделі, або для обчислення його розмірів, але не для його визначення як тіла, так як при приєднанні (нарощенні) пірамід (з боковими гранями — золотими трикутниками) до граней додекаедра, в багатограннику присутні «хибні» вершини (ті, що знаходяться на перетині ребер), які насправді не є вершинами малого зірчастого додекаедра, а також додаткові ребра (два ребра п'ятикутних пірамід та одне ребро додекаедра лежать на одній прямій і візуально створюють враження одного ребра).
Багатогранник, утворений шляхом приєднання прямих п'ятикутних пірамід до граней додекаедра, є топологічно еквівалентним до [en] (одного з тіл Каталана), та не є малим зірчастим додекаедром.
Ядро (Правильний додекаедр) | Зірчастий багатогранник | Багатогранник Каталана () |
---|---|---|
Топологія
Малий зірчастий додекаедр має 12 граней (пентаграм), при цьому ці пентаграми реретинаються по 30 ребрах в 12 вершинах. Отже, його характеристика Ейлера має значення , і ми можемо обчислити його рід за допомогою формули Ейлера:
Отже, . Звідки випливає, що малий зірчастий додекаедр має рід . Це спостереження, зроблене Луї Пуансо, спочатку викликало плутанину, але Фелікс Кляйн показав у 1877 році, що малий зірчастий додекаедр можна розглядати як розгалуджене покриття сфери Рімана рімановою поверхнею роду 4, з точками розгалуження в центрі кожної пентаграми. Насправді ця ріманова поверхня, яка називається [en], має найбільшу кількість симетрій серед будь-яких ріманових поверхонь роду 4: група симетрії виступає як автоморфізм.
Формули
У всіх формулах нижче: — відношення пропорції «золотого перетину». (послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Для малого зірчастого додекаедра з довжиною ребра : | ||
---|---|---|
Довжина основи рівнобедреного трикутника грані (довжина сторони базового додекаедра) | ≈ 0.236067977 | |
Довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника грані | ≈ 0.381966011 | |
Висота «нарощеної піраміди» | ≈ 0.324919696 | |
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини) | ≈ 0.587785252 | |
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер) | ≈ 0.309016994 | |
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней) | ≈ 0.262865556 | |
Площа поверхні | ≈ 2.572701377 | |
Об'єм | ≈ 0.225424859 | |
Двогранний кут між гранями | ≈ 2.034443935рад ≈ 116°33′ 54.1842′′ |
Центр мас малого зірчастого додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.
Момент інерції суцільного малого зірчастого додекаедра з масою m та довжиною ребра a (вісь обертання проходить через протилежні вершини):
Описана сфера малого зірчастого додекаедра | Напіввписана сфера малого зірчастого додекаедра | Вписана сфера малого зірчастого додекаедра |
Вписана та напіввписана сфери повністю лежать всередині багатогранника та не виходять за його межі.
Координати вершин
Малий зірчастий додекаедр з довжиною ребра в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:
При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.
Початок координат збігається з центром багатогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.
Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 3-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.
Площина Oxz збігається з однією з площин симетрії багатогранника.
Пов'язані та споріднені багатогранники
Опукла оболонка малого зірчастого додекаедра є правильним ікосаедром.
Ребра малого зірчастого додекаедра збігаються з ребрами великого ікосаедра; поєднання цих двох багатогранників утворює вироджений багатогранник, що має назву [en].
Існує чотири неопуклих однорідних багатогранників, що утворені певними ступенями операції зрізання малого зірчастого додекаедра.
Зрізаний малий зірчастий додекаедр можна вважати виродженим однорідним багатогранником. Вершини малого зірчастого додекаедра зрізаються, поки процес не досягає площин пентаграм під ними.
Візуально він виглядає як правильний додекаедр, але має 24 подвійно-накриті грані — 12 п'ятикутників, утворених від зрізання вершин і 12 п'ятикутників, утворених від зрізання пентаграм, які перекривають перші 12 п'ятикутників. П'ятикутники із зрізаних пентаграм насправді є виродженими десятикутниками {10/2}, що приймають форму подвійно-накритих п'ятикутників із двома множинами вершин і ребер, накладених одне на одне.
Коли n⁄d -кутник скорочується в процесі зрізання, він стає 2n⁄d -кутником.
Наприклад, зрізаний п'ятикутник { 5⁄1 } стає десятикутником { 10⁄1 }, а зрізана пентаграма { 5⁄2 } стає подвійно-накритим п'ятикутником (тобто десятикутником, що має форму п'ятикутника) { 10⁄2 } (це означає, що ми відвідаємо кожну вершину двічі, щоб завершити багатокутник).
Багатогранник має 60 вершин (в кожній вершині «додекаедра» містяться три вершини багатогранника) та 90 ребер (кожне ребро «додекаедра» є потрійним — одне ребро від зрізання вершини (вершинна фігура — опуклий правильний п'ятикутник) та два ребра від зрізання пентаграми).
[en] утворюється при [en] (ректифікації) малого зірчастого додекаедра, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.
[en] є однорідним неопуклим багатогранником U37, що має діаграму Коксетера — Динкіна та символ Шлефлі t{5,5/2}. Має 24 граней (12 правильних п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 12 правильних десятикутників), 90 ребер та 60 вершин.
Процес зрізання малого зірчастого додекаедра завершується (при повному глибокому зрізанні або біректифікації) утворенням двоїстого до нього багатогранника — великого додекаедра, коли грані початкового багатогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають.
Назва | Малий зірчастий додекаедр | Зрізаний малий зірчастий додекаедр | [en] | [en] | Великий додекаедр |
---|---|---|---|---|---|
Діаграма Коксетера — Динкіна | o5o5/2x | o5x5/2x | o5x5/2o | x5x5/2o | x5o5/2o |
Символ Шлефлі | {5/2,5} | t{5/2,5} | r{5,5/2} | t{5,5/2} | {5,5/2} |
Зображення |
Родина зірчастих форм правильного додекаедра.
Зірчасті форми правильного додекаедра | ||||
---|---|---|---|---|
Тіло Платона | Тіла Кеплера — Пуансо | |||
Додекаедр | Малий зірчастий додекаедр | Великий додекаедр | Великий зірчастий додекаедр | |
Символ Шлефлі {p, q} | {5,3} | {5/2,5} | {5,5/2} | {5/2,3} |
Зображення | ||||
Діаграма зірчастого многогранника | ||||
Обертання |
Два однорідних з'єднання багатогранників складаються з малих зірчастих додекаедрів:
З'єднання двох малих зірчастих додекаедрів | З'єднання п'яти малих зірчастих додекаедрів |
---|---|
Додатково
Обертання багатогранника | Сферична проєкція | Розгортка | Паперова модель багатогранника |
---|---|---|---|
Цей багатогранник також можна подати у вигляді сферичної плитки зі щільністю 3. (Одна сферична грань пентаграми, обведена синім і заповнена жовтим кольорами) | × 12 Малий зірчастий додекаедр можна скласти з паперу, з'єднавши разом 12 . Кожен рівнобедрений трикутник (золотий трикутник) в цій розгортці візуально представляє частину пентаграми — грані малого зірчастого додекаедра. |
[en] малого зірчастого додекаедра | ||||
---|---|---|---|---|
Просторовими [en] малого зірчастого додекаедра є 10 просторових шестикутників. |
В мистецтві та архітектурі
- Малий зірчастий додекаедр можна побачити в мозаїці полу в соборі Святого Марка в Венеції, автор Паоло Учелло, біля 1430 року.
- Багатогранник є центральною фігурою в двох літографіях Ешера — Контраст (Порядок і хаос) (1950) та [en] (1952).
Скульптура в [en] | Скульптура за мотивами «Гравітації» Моріца Корнеліса Ешера, представлена в [en] |
Див. також
Примітки
- H. S. M. Coxeter, 1954.
- Gratrix.net - Uniform Polyhedra Summary (англ.) . Архів оригіналу за 10 листопада 2017.
- Wenninger.
- Magnus J. Wenninger, 1975.
- Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. (1963), Энциклопедия элементарной математики (ru) , т. IV., м-ква: гифмл, с. 443—444
- . Архів оригіналу за 22 жовтня 2020.
- Matthias Weber (2005), Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface, Pacific J. Math. (англ.) , 220 (1): 167—182, doi:10.2140/pjm.2005.220.167
- Weisstein, Eric W. Fully Supported Stellation. mathworld.wolfram.com (англ.).
- «augmented dodecahedron to which I have given the name of Echinus» (Harmonices Mundi, Книга V, Розділ III — с. 407 у перекладі Е. Дж. Айтона)
- «A small stellated dodecahedron can be constructed by cumulation of a dodecahedron, i.e., building twelve pentagonal pyramids and attaching them to the faces of the original dodecahedron.» Weisstein, Eric W. Small Stellated Dodecahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Small stellated dodecahedron inertia tensor - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.).
- Maeder, Roman. 37: truncated great dodecahedron. MathConsult.
- Coxeter, H. S. M. (2013). Senechal, Marjorie (ред.). Regular and semiregular polyhedra. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination (англ.) (вид. 2-ге). Springer. с. 41—52. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_3. Див. с. 42.
- Barnes, John (2012). Gems of Geometry (вид. 2-ге). Springer. с. 46.
Література
- Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models [Моделі багатогранників] (англ.) . Cambridge University Press. ISBN .
- Magnus J. Wenninger (1975). Polyhedron Models for the Classroom. (PDF) (англ.) . № Вид. 2-ге. National Council of Teachers of Mathematics, Inc.,Reston, Va. с. 64.
- H. S. M. Coxeter. Uniform polyhedra / M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, № 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — DOI: .
- Arthur Cayley. The Collected Mathematical Papers. — Richmond, Surrey : Garden House, Cambridge, 1891. — Т. 4. — С. 82-87. — (On Poinsot’s Four New Regular Solids (розділ 241-242 ))
- J. Conrad, C. Chamberland, N. P. Breuckmann, B. M. Terhal (13 липня 2018). The small stellated dodecahedron code and friends. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (англ.). 376 (2123): 20170323. doi:10.1098/rsta.2017.0323. ISSN 1364-503X. PMC 5990658. PMID 29807900. оригіналу за 20 серпня 2021.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з PMC з іншим форматом () - Cayley, Arthur (1859). XIX. On Poinsot's four new regular solids. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Taylor & Francis. 17 (112): 123—128.
- H. S. M. Coxeter. Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) // Elemente der Mathematik. — 1989. — Vol. 44, iss. 2. — P. 25-36. — ISSN 0013-6018.
- Vilko Domajnko (2000/2001). Zvezdni poliedri (PDF). Presek (словен.) . 28 (2): 68—73.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Small Stellated Dodecahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Dodecahedron Stellations(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Small stellated dodecahedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- Small Stellated Dodecahedron (англ.) на сайті dmccooey.com.
- Nan Ma. «Small stellated dodecahedron {5/2, 5}»
- Klitzing, Richard. «sissid»
- Однорідні багатогранники та двоїсті до них
- Stellation and facetting — a Brief History
- Paper Small Stellated Dodecahedron
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ne maye shablonu kartki Mozhlivo potriben shablon Mnogogrannik Vi mozhete dopomogti proyektu dodavshi jogo u stattyu Malij zirchastij dodekaedr Tip Tilo Keplera Puanso Zirchasta forma Pravilnogo dodekaedra Vlastivosti Neopuklij rivnostoronnij pravilnij zirchastij bagatogrannik grane tranzitivnij vershinno tranzitivnij Kombinatorika Elementi 12 granej 30 reber 12 vershin 5 go stepenya Grani p 12 Pentagram 12 5 2 Harakteristika Ejlera x G P B 6 displaystyle chi Gamma hbox P hbox B 6 Konfiguraciya vershini 5 2 5 tobto kozhna vershina otochena p yatma pentagramami Vershinna figura 12 Pravilnih p yatikutnikiv 5 stor 435 z dovzhinoyu storoni 5 1 2 displaystyle frac sqrt 5 1 2 en 3 Rid 4 Klasifikaciya Poznachennya W20 v notaciyi M Venningera U34 yak odnoridnij bagatogrannik C43 v notaciyi G Koksetera stor 435 Simvol Shlefli p q 5 2 5 Diagrama Koksetera Dinkina abo o5o5 2x en 5 2 5 2 Grupa simetriyi en H3 5 3 532 poryadok 120 Povna simetriya pravilnogo ikosaedra Dvoyistij bagatogrannik Velikij dodekaedr Rozgortka Malij zirchastij dodekaedr stor 18 stor 443 444 odin z chotiroh pravilnih zirchastih bagatogrannikiv Keplera Puanso Malij zirchastij dodekaedr vpershe povnistyu opisano v traktati Joganna Keplera 1619 roku Harmonices Mundi stor 167 a nazvu jomu dav Artur Kejli v 1859 roci stor 410 Maye 12 granej pravilnih p yatipromenevih zirok pentagram yaki peretinayutsya mizh soboyu ta 12 vershin Shist par granej lezhat v paralelnih ploshinah Jogo simvol Shlefli 5 2 5 displaystyle left frac 5 2 5 right Ce oznachaye sho kozhna vershina otochena 5 ma granyami pentagramami 5 2 stor 410 Maye centralnu opuklu dilyanku kozhnoyi grani prihovanu vseredini pri comu zovni vidno tilki chastinu granej u viglyadi rivnobedrenih trikutniikiv Chastina granej sho znahoditsya vseredini bagatogrannika vidigraye rol ploskoyi membrani ta ne rozmezhovuye vnutrishnij prostir bagatogrannika en malogo zirchastogo dodekaedra take zh yak i u pravilnogo ikosaedra tobto opukla obolonka malogo zirchastogo dodekaedra ye pravilnim ikosaedrom A roztashuvannya reber malogo zirchastogo dodekaedra take zh yak i u velikogo ikosaedra Malij zirchastij dodekaedr maye povnu simetriyu pravilnogo ikosaedra i otzhe vsi jogo elementi simetriyi a same 1 maye 31 vis obertovoyi simetriyi 6 osej 5 go poryadku prohodyat cherez protilezhni vershini 10 osej 3 go poryadku prohodyat cherez protilezhni tochki v yakih peretinayutsya po tri grani 15 osej 2 go poryadku prohodyat cherez seredini protilezhnih paralelnih reber 2 maye 15 ploshin dzerkalnoyi simetriyi sho prohodyat cherez kozhni dvi susidni vershini ta centr bagatogrannika cherez kozhnu paru paralelnih reber 3 maye centr simetriyi Yak zirchasta forma dodekaedra Diagrama zzirchennya pravilnogo dodekaedra ta gran malogo zirchastogo dodekaedra na nij Zhovtim kolorom zobrazheno gran malogo zirchastogo dodekaedra Utvorennya grani malogo zirchastogo dodekaedra Malij zirchastij dodekaedr ye pershoyu zirchastoyu formoyu pravilnogo dodekaedra Jogo grani skladeni z nulovogo ta pershogo vidsikiv na diagrami zzirchennya pravilnogo dodekaedra stor 19 Malij zirchastij dodekaedr utvoryuyetsya z pravilnogo dodekaedra pri prodovzhenni jogo reber do yih vzayemnogo peretinu tobto kozhna gran a pravilnogo dodekaedra zaminyuyetsya zirchastim p yatikutnikom z yadrom a stor 443 Takozh malij zirchastij dodekaedr ye radialno opuklim zirchastim bagatogrannikom tobto kozhen promin sho vihodit z jogo centra peretinaye bagatogrannik lishe v odnij tochci Yak naroshennya dodekaedra Chasto malij zirchastij dodekaedr viznachayetsya yak bagatogrannik utvorenij naroshennyam na granyah dodekaedra pravilnih p yatikutnih piramid Sam Jogann Kepler nazivaye cej bagatogrannik malij zirchastij dodekaedr naroshenim dodekaedrom a piznishe Echinus Ce nekorektne viznachennya inodi vikoristovuyetsya j do cogo chasu Napriklad MathWorld stverdzhuye sho malij zirchastij dodekaedr mozhe buti otrimanij shlyahom dodavannya pravilnih p yatikutnih piramid do granej pravilnogo dodekaedra Odnak ce tverdzhennya pridatne lishe dlya polegshennya vizualizaciyi cogo bagatogrannika abo dlya vigotovlennya jogo paperovoyi modeli abo dlya obchislennya jogo rozmiriv ale ne dlya jogo viznachennya yak tila tak yak pri priyednanni naroshenni piramid z bokovimi granyami zolotimi trikutnikami do granej dodekaedra v bagatogranniku prisutni hibni vershini ti sho znahodyatsya na peretini reber yaki naspravdi ne ye vershinami malogo zirchastogo dodekaedra a takozh dodatkovi rebra dva rebra p yatikutnih piramid ta odne rebro dodekaedra lezhat na odnij pryamij i vizualno stvoryuyut vrazhennya odnogo rebra Bagatogrannik utvorenij shlyahom priyednannya pryamih p yatikutnih piramid do granej dodekaedra ye topologichno ekvivalentnim do en odnogo z til Katalana ta ne ye malim zirchastim dodekaedrom Yadro Pravilnij dodekaedr Zirchastij bagatogrannik Bagatogrannik Katalana TopologiyaMalij zirchastij dodekaedr maye 12 granej pentagram pri comu ci pentagrami reretinayutsya po 30 rebrah v 12 vershinah Otzhe jogo harakteristika Ejlera maye znachennya 6 displaystyle 6 i mi mozhemo obchisliti jogo rid za dopomogoyu formuli Ejlera G P B 2 2 g displaystyle Gamma P B 2 2g Otzhe 6 2 2 g displaystyle 6 2 2g Zvidki viplivaye sho malij zirchastij dodekaedr maye rid g 4 displaystyle g 4 Ce sposterezhennya zroblene Luyi Puanso spochatku viklikalo plutaninu ale Feliks Klyajn pokazav u 1877 roci sho malij zirchastij dodekaedr mozhna rozglyadati yak rozgaludzhene pokrittya sferi Rimana rimanovoyu poverhneyu rodu 4 z tochkami rozgaluzhennya v centri kozhnoyi pentagrami Naspravdi cya rimanova poverhnya yaka nazivayetsya en maye najbilshu kilkist simetrij sered bud yakih rimanovih poverhon rodu 4 grupa simetriyi S 5 displaystyle S 5 vistupaye yak avtomorfizm FormuliU vsih formulah nizhche f 1 5 2 1 6180339887 displaystyle varphi frac 1 sqrt 5 2 approx 1 6180339887 vidnoshennya proporciyi zolotogo peretinu poslidovnist A001622 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Dlya malogo zirchastogo dodekaedra z dovzhinoyu rebra a displaystyle a Dovzhina osnovi rivnobedrenogo trikutnika grani dovzhina storoni bazovogo dodekaedra b 5 2 a 1 f 3 a displaystyle b left sqrt 5 2 right cdot a frac 1 varphi 3 cdot a 0 236067977 a displaystyle cdot a Dovzhina bichnoyi storoni rivnobedrenogo trikutnika grani s 3 5 2 a 2 f a 1 f 2 a displaystyle s frac 3 sqrt 5 2 cdot a left 2 varphi right cdot a frac 1 varphi 2 cdot a 0 381966011 a displaystyle cdot a Visota naroshenoyi piramidi H R r 5 2 5 5 a 1 f f 2 a displaystyle H R r sqrt frac 5 2 sqrt 5 5 cdot a frac 1 varphi cdot sqrt varphi 2 cdot a 0 324919696 a displaystyle cdot a Radius opisanoyi sferi prohodit cherez vsi vershini R 1 2 5 5 2 a 3 f 2 a displaystyle R frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 2 cdot a frac sqrt 3 varphi 2 cdot a 0 587785252 a displaystyle cdot a Radius napivvpisanoyi sferi dotikayetsya do vsih reber r 5 1 4 a f 1 2 a displaystyle rho frac sqrt 5 1 4 cdot a frac varphi 1 2 cdot a 0 309016994 a displaystyle cdot a Radius vpisanoyi sferi dotikayetsya do vsih granej r 1 2 5 5 10 a 1 2 3 f 5 a displaystyle r frac 1 2 cdot sqrt frac 5 sqrt 5 10 cdot a frac 1 2 sqrt frac 3 varphi 5 cdot a 0 262865556 a displaystyle cdot a Plosha poverhni S 15 85 38 5 a 2 15 5 3 f 3 f a 2 displaystyle S 15 cdot sqrt 85 38 sqrt 5 cdot a 2 15 cdot left 5 3 varphi right sqrt 3 varphi cdot a 2 2 572701377 a 2 displaystyle cdot a 2 Ob yem V V dodek 12 V piram 5 4 5 5 11 a 3 displaystyle V V text dodek 12 cdot V text piram frac 5 4 cdot left 5 sqrt 5 11 right cdot a 3 0 225424859 a 3 displaystyle cdot a 3 Dvogrannij kut mizh granyami a arccos 5 5 2 arctan f displaystyle alpha arccos left frac sqrt 5 5 right 2 cdot arctan varphi 2 034443935rad 116 33 54 1842 Centr mas malogo zirchastogo dodekaedra znahoditsya v jogo geometrichnomu centri Moment inerciyi sucilnogo malogo zirchastogo dodekaedra z masoyu m ta dovzhinoyu rebra a vis obertannya prohodit cherez protilezhni vershini I 35 9 5 300 m a 2 0 049584627341 m a 2 displaystyle I frac 35 9 cdot sqrt 5 300 cdot m cdot a 2 approx 0 049584627341 cdot m cdot a 2 Opisana sfera malogo zirchastogo dodekaedra Napivvpisana sfera malogo zirchastogo dodekaedra Vpisana sfera malogo zirchastogo dodekaedra Vpisana ta napivvpisana sferi povnistyu lezhat vseredini bagatogrannika ta ne vihodyat za jogo mezhi Koordinati vershinVershini malogo zirchastogo dodekaedra v dekartovij sistemi koordinat Malij zirchastij dodekaedr z dovzhinoyu rebra a 1 displaystyle a 1 v dekartovij sistemi koordinat maye vershini z nastupnimi koordinatami 3 5 6 0 1 2 3 5 6 displaystyle left sqrt frac 3 sqrt 5 6 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 1 2 3 5 6 5 1 4 1 2 3 5 6 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 pm frac sqrt 5 1 4 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 3 5 6 0 1 2 3 5 6 displaystyle left sqrt frac 3 sqrt 5 6 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 1 2 3 5 6 5 1 4 1 2 3 5 6 displaystyle left frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 pm frac sqrt 5 1 4 frac 1 2 cdot sqrt frac 3 sqrt 5 6 right 3 3 0 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 3 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right 3 6 1 2 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 6 pm frac 1 2 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right 3 3 0 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 3 0 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right 3 6 1 2 1 2 7 3 5 6 displaystyle left frac sqrt 3 6 pm frac 1 2 frac 1 2 cdot sqrt frac 7 3 sqrt 5 6 right Pri comu vershini lezhat v chotiroh paralelnih ploshinah paralelnih do ploshini Oxy v kozhnij z yakih roztashovani yak vershini pravilnogo trikutnika Pochatok koordinat zbigayetsya z centrom bagatogrannika sho ye jogo centrom simetriyi ta centrom vpisanoyi napivvpisanoyi ta opisanoyi sfer Vis Oz zbigayetsya z odniyeyu z osej simetriyi 3 go poryadku a vis Oy z odniyeyu z osej simetriyi 2 go poryadku Ploshina Oxz zbigayetsya z odniyeyu z ploshin simetriyi bagatogrannika Pov yazani ta sporidneni bagatogrannikiOpukla obolonka malogo zirchastogo dodekaedra ye pravilnim ikosaedrom Rebra malogo zirchastogo dodekaedra zbigayutsya z rebrami velikogo ikosaedra poyednannya cih dvoh bagatogrannikiv utvoryuye virodzhenij bagatogrannik sho maye nazvu en Animaciya poslidovnosti zrizannya malogo zirchastogo dodekaedra vid 5 2 5 do 5 5 2 Isnuye chotiri neopuklih odnoridnih bagatogrannikiv sho utvoreni pevnimi stupenyami operaciyi zrizannya malogo zirchastogo dodekaedra Zrizanij malij zirchastij dodekaedr mozhna vvazhati virodzhenim odnoridnim bagatogrannikom Vershini malogo zirchastogo dodekaedra zrizayutsya poki proces ne dosyagaye ploshin pentagram pid nimi Vizualno vin viglyadaye yak pravilnij dodekaedr ale maye 24 podvijno nakriti grani 12 p yatikutnikiv utvorenih vid zrizannya vershin i 12 p yatikutnikiv utvorenih vid zrizannya pentagram yaki perekrivayut pershi 12 p yatikutnikiv P yatikutniki iz zrizanih pentagram naspravdi ye virodzhenimi desyatikutnikami 10 2 sho prijmayut formu podvijno nakritih p yatikutnikiv iz dvoma mnozhinami vershin i reber nakladenih odne na odne Koli n d kutnik skorochuyetsya v procesi zrizannya vin staye 2n d kutnikom Napriklad zrizanij p yatikutnik 5 1 staye desyatikutnikom 10 1 a zrizana pentagrama 5 2 staye podvijno nakritim p yatikutnikom tobto desyatikutnikom sho maye formu p yatikutnika 10 2 ce oznachaye sho mi vidvidayemo kozhnu vershinu dvichi shob zavershiti bagatokutnik Bagatogrannik maye 60 vershin v kozhnij vershini dodekaedra mistyatsya tri vershini bagatogrannika ta 90 reber kozhne rebro dodekaedra ye potrijnim odne rebro vid zrizannya vershini vershinna figura opuklij pravilnij p yatikutnik ta dva rebra vid zrizannya pentagrami en utvoryuyetsya pri en rektifikaciyi malogo zirchastogo dodekaedra koli zrizannya vershin provoditsya do tochok sho lezhat na seredinah reber bagatogrannika tobto rebra pochatkovogo bagatogrannika faktichno znikayut en ye odnoridnim neopuklim bagatogrannikom U37 sho maye diagramu Koksetera Dinkina ta simvol Shlefli t 5 5 2 Maye 24 granej 12 pravilnih p yatipromenevih zirok pentagram ta 12 pravilnih desyatikutnikiv 90 reber ta 60 vershin Proces zrizannya malogo zirchastogo dodekaedra zavershuyetsya pri povnomu glibokomu zrizanni abo birektifikaciyi utvorennyam dvoyistogo do nogo bagatogrannika velikogo dodekaedra koli grani pochatkovogo bagatogrannika zmenshuyutsya do tochok tobto faktichno znikayut Nazva Malij zirchastij dodekaedr Zrizanij malij zirchastij dodekaedr en en Velikij dodekaedr Diagrama Koksetera Dinkina o5o5 2x o5x5 2x o5x5 2o x5x5 2o x5o5 2o Simvol Shlefli 5 2 5 t 5 2 5 r 5 5 2 t 5 5 2 5 5 2 Zobrazhennya Rodina zirchastih form pravilnogo dodekaedra Zirchasti formi pravilnogo dodekaedra Tilo Platona Tila Keplera Puanso Dodekaedr Malij zirchastij dodekaedr Velikij dodekaedr Velikij zirchastij dodekaedr Simvol Shlefli p q 5 3 5 2 5 5 5 2 5 2 3 Zobrazhennya Diagrama zirchastogo mnogogrannika Obertannya Topologichno ekvivalentnij bagatogrannik do malogo zirchastogo dodekaedra Malij zirchastij dodekaedr z piritoedrichnoyu simetriyeyu Dva odnoridnih z yednannya bagatogrannikiv skladayutsya z malih zirchastih dodekaedriv Z yednannya dvoh malih zirchastih dodekaedriv Z yednannya p yati malih zirchastih dodekaedrivDodatkovoObertannya bagatogrannika Sferichna proyekciya Rozgortka Paperova model bagatogrannika Cej bagatogrannik takozh mozhna podati u viglyadi sferichnoyi plitki zi shilnistyu 3 Odna sferichna gran pentagrami obvedena sinim i zapovnena zhovtim kolorami 12 Malij zirchastij dodekaedr mozhna sklasti z paperu z yednavshi razom 12 Kozhen rivnobedrenij trikutnik zolotij trikutnik v cij rozgortci vizualno predstavlyaye chastinu pentagrami grani malogo zirchastogo dodekaedra en malogo zirchastogo dodekaedra Prostorovimi en malogo zirchastogo dodekaedra ye 10 prostorovih shestikutnikiv V mistectvi ta arhitekturiMozayika Paolo Uchello 1430 Malij zirchastij dodekaedr mozhna pobachiti v mozayici polu v sobori Svyatogo Marka v Veneciyi avtor Paolo Uchello bilya 1430 roku Bagatogrannik ye centralnoyu figuroyu v dvoh litografiyah Eshera Kontrast Poryadok i haos 1950 ta en 1952 Skulptura v en Skulptura za motivami Gravitaciyi Morica Kornelisa Eshera predstavlena v en Div takozhOdnoridnij zirchastij mnogogrannik en PrimitkiH S M Coxeter 1954 Gratrix net Uniform Polyhedra Summary angl Arhiv originalu za 10 listopada 2017 Wenninger Magnus J Wenninger 1975 Aleksandrov P S Markushevich A I Hinchin A Ya 1963 Enciklopediya elementarnoj matematiki ru t IV m kva gifml s 443 444 Arhiv originalu za 22 zhovtnya 2020 Matthias Weber 2005 Kepler s small stellated dodecahedron as a Riemann surface Pacific J Math angl 220 1 167 182 doi 10 2140 pjm 2005 220 167 Weisstein Eric W Fully Supported Stellation mathworld wolfram com angl augmented dodecahedron to which I have given the name of Echinus Harmonices Mundi Kniga V Rozdil III s 407 u perekladi E Dzh Ajtona A small stellated dodecahedron can be constructed by cumulation of a dodecahedron i e building twelve pentagonal pyramids and attaching them to the faces of the original dodecahedron Weisstein Eric W Small Stellated Dodecahedron angl na sajti Wolfram MathWorld Small stellated dodecahedron inertia tensor Wolfram Alpha www wolframalpha com angl Maeder Roman 37 truncated great dodecahedron MathConsult Coxeter H S M 2013 Senechal Marjorie red Regular and semiregular polyhedra Shaping Space Exploring Polyhedra in Nature Art and the Geometrical Imagination angl vid 2 ge Springer s 41 52 doi 10 1007 978 0 387 92714 5 3 Div s 42 Barnes John 2012 Gems of Geometry vid 2 ge Springer s 46 LiteraturaWenninger Magnus 1974 Polyhedron Models Modeli bagatogrannikiv angl Cambridge University Press ISBN 0 521 09859 9 Magnus J Wenninger 1975 Polyhedron Models for the Classroom PDF angl Vid 2 ge National Council of Teachers of Mathematics Inc Reston Va s 64 H S M Coxeter Uniform polyhedra M S Longuet Higgins J C P Miller Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences The Royal Society 1954 T 246 916 S 401 450 ISSN 0080 4614 DOI 10 1098 rsta 1954 0003 Arthur Cayley The Collected Mathematical Papers Richmond Surrey Garden House Cambridge 1891 T 4 S 82 87 On Poinsot s Four New Regular Solids rozdil 241 242 J Conrad C Chamberland N P Breuckmann B M Terhal 13 lipnya 2018 The small stellated dodecahedron code and friends Philosophical Transactions of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences angl 376 2123 20170323 doi 10 1098 rsta 2017 0323 ISSN 1364 503X PMC 5990658 PMID 29807900 originalu za 20 serpnya 2021 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Obslugovuvannya CS1 Storinki z PMC z inshim formatom posilannya Cayley Arthur 1859 XIX On Poinsot s four new regular solids The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science Taylor amp Francis 17 112 123 128 H S M Coxeter Star polytopes and the Schlafli function f a b g Elemente der Mathematik 1989 Vol 44 iss 2 P 25 36 ISSN 0013 6018 Vilko Domajnko 2000 2001 Zvezdni poliedri PDF Presek sloven 28 2 68 73 PosilannyaWeisstein Eric W Small Stellated Dodecahedron angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Dodecahedron Stellations angl na sajti Wolfram MathWorld Small stellated dodecahedron angl na sajti Polytope Wiki Small Stellated Dodecahedron angl na sajti dmccooey com Nan Ma Small stellated dodecahedron 5 2 5 Klitzing Richard sissid Odnoridni bagatogranniki ta dvoyisti do nih Stellation and facetting a Brief History Paper Small Stellated Dodecahedron