Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
В геометрії архімедове тіло (архімедів многогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий многогранник, гранями якого є два або більше типів правильних многокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних многогранників), які складаються тільки з одного типу многокутників в однакових вершинах, і від многогранників Джонсона, правильні многокутні грані яких належать різним типам вершин.
Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається [ru] (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи многогранником Джонсона — це єдиний опуклий многогранник, в якому многокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але многогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний многогранник визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає [ru]).
Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа з платонових тіл за допомогою [ru], [en] і [ru] симетрій.
Походження назви
Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 многогранників. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером, який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.
Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних многогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль.
Класифікація
Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).
Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних многокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини).
| Назва (альтернативна назва) | Шлефлі Коксетер | Прозорий | Непрозорий | Розгортка | Вершинна фігура | Граней | Ребер | Вершин | Об'єм (за одинич- ного ребра) | Група точок | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Зрізаний тетраедр | {3,3}   |  (Обертання) |  |  | 3.6.6 | 8 | 4 трикутники 4 шестикутники | 18 | 12 | 2.710576 | Td |
| Кубооктаедр (ромботетраедр) | r{4,3} або rr{3,3} або |  (Обертання) |  |  | 3.4.3.4 | 14 | 8 трикутників 6 квадратів | 24 | 12 | 2.357023 | Oh |
| Зрізаний куб | t{4,3} |  (Обертання) |  |  | 3.8.8 | 14 | 8 трикутників 6 восьмикутників | 36 | 24 | 13.599663 | Oh |
| Зрізаний октаедр (зрізаний тетратераедр) | t{3,4} або tr{3,3} або |  (Обертання) |  |  | 4.6.6 | 14 | 6 квадратів 8 шестикутників | 36 | 24 | 11.313709 | Oh |
| Ромбокубооктаедр (малий ромбокубооктаедр) | rr{4,3} |  (Обертання) |  |  | 3.4.4.4 | 26 | 8 трикутників 18 квадратів | 48 | 24 | 8.714045 | Oh |
| Зрізаний кубооктаедр (великий ромбокубооктаедр) | tr{4,3} |  (Обертання) |  |  | 4.6.8 | 26 | 12 квадратів 8 шестикутників 6 восьмикутників | 72 | 48 | 41.798990 | Oh |
| Кирпатий куб (кирпатий кубоктаедр) | sr{4,3} |  (Обертання) |  |  | 3.3.3.3.4 | 38 | 32 трикутники 6 квадратів | 60 | 24 | 7.889295 | O |
| Ікосододекаедр | r{5,3} |  (Обертання) |  |  | 3.5.3.5 | 32 | 20 трикутників 12 п'ятикутників | 60 | 30 | 13.835526 | Ih |
| Зрізаний додекаедр | t{5,3} |  (Обертання) |  |  | 3.10.10 | 32 | 20 трикутників 12 десятикутників | 90 | 60 | 85.039665 | Ih |
| Зрізаний ікосаедр | t{3,5} |  (Обертання) |  |  | 5.6.6 | 32 | 12 п'ятикутників 20 шестикутників | 90 | 60 | 55.287731 | Ih |
| Ромбоікосододекаедр (малий ромбоікосододекаедр) | rr{5,3} |  (Обертання) |  |  | 3.4.5.4 | 62 | 20 трикутників 30 квадратів 12 п'ятикутників | 120 | 60 | 41.615324 | Ih |
| Ромбозрізаний ікосододекаедр | tr{5,3} |  (Обертання) |  |  | 4.6.10 | 62 | 30 квадратів 20 шестикутників 12 десятикутників | 180 | 120 | 206.803399 | Ih |
| Кирпатий додекаедр (кирпатий ікосододекаедр) | sr{5,3} |  (Обертання) |  |  | 3.3.3.3.5 | 92 | 80 трикутників 12 п'ятикутників | 150 | 60 | 37.616650 | I |
Деякі визначення напівправильних многогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр».
Властивості
Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.
Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються [ru].
Дуальні многогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.
Хіральність
Кирпатий куб і кирпатий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).
Побудова архімедових тіл
Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром многокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. [ru] або [ru] здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер.
| Симетрія | Тетраедрична | [en] | Ікосаедрична  | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Початкове тіло Операція | Символ {p, q}   | Тетраедр {3,3}  | Куб {4,3}  | Октаедр {3,4}  | Додекаедр {5,3}  | Ікосаедр {3,5}  |
| Зрізання (t) | t{p, q} | Зрізаний тетраедр | Зрізаний куб | Зрізаний октаедр | Зрізаний додекаедр | Зрізаний ікосаедр |
| Повне зрізання (r) Амвон (a) | r{p, q} | Тетратетраедр | Кубооктаедр | Ікосододекаедр | ||
| [en] (2t) (dk) | 2t{p, q} | Зрізаний тетраедр | Зрізаний октаедр | Зрізаний куб | Зрізаний ікосаедр | Зрізаний додекаедр |
| Подвійне повне зрізання (2r) Двоїстий (d) | 2r{p, q} | Тетраедр | Октаедр | Куб | Ікосаедр | Додекаедр |
| Скошування (rr) Розширення (e) | rr{p, q} | Кубооктаедр | Ромбокубооктаедр | Ромбоікосододекаедр  | ||
| Кирпате спрямлення (sr) [en] (s) | sr{p, q} | Кирпатий тетратетраедр | Кирпатий куб | Кирпатий ікосододекаедр | ||
| [en] (tr) Скошування (b) | tr{p, q} | Зрізаний октаедр | Зрізаний кубооктаедр | Ромбозрізаний ікосододекаедр | ||
Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедричну симетрію.
Див. також
Примітки
- Grünbaum, 2009.
- Field, 1997, с. 241—289.
- Malkevitch, 1988, с. 85.
Література
- Field J. . Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
- Grünbaum, Branko. . An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
- Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston : Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — . Chapter 2
- Udaya, Jayatilake. . Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
- Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — . (Section 3-9)
Посилання
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Archimedean Solids [ 20 лютого 2016 у Wayback Machine.] by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project .
- Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids [ 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
- Free paper models (nets) of Archimedean solids [ 6 лютого 2016 у Wayback Machine.]
- The Uniform Polyhedra [ 11 лютого 2008 у Wayback Machine.] by Dr. R. Mäder
- Virtual Reality Polyhedra [ 23 лютого 2008 у Wayback Machine.], The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
- Penultimate Modular Origami [ 15 липня 2010 у Wayback Machine.] by James S. Plank
- на Java
- Solid Body Viewer[недоступне посилання] Інтерактивний перегляд 3D-многогранників, який дозволяє зберегти модель у форматі svg, stl або obj.
- Stella: Polyhedron Navigator [ 9 липня 2010 у Wayback Machine.]: Програмне забезпечення для створення зображень, багато з яких є на цій сторінці.
- Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra [ 25 січня 2021 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi arhimedove tilo arhimediv mnogogrannik ce visoko simetrichnij napivpravilnij opuklij mnogogrannik granyami yakogo ye dva abo bilshe tipiv pravilnih mnogokutnikiv sho primikayut do identichnih vershin Voni vidriznyayutsya vid platonovih til pravilnih mnogogrannikiv yaki skladayutsya tilki z odnogo tipu mnogokutnikiv v odnakovih vershinah i vid mnogogrannikiv Dzhonsona pravilni mnogokutni grani yakih nalezhat riznim tipam vershin Rombozrizanij ikosododekaedr ye najbilshim arhimedovim tilom za ob yemom dlya odinichnoyi dovzhini rebra a takozh z najbilshoyu kilkistyu vershin i reber maye odnu vershinnu figuru 3 4 4 4 ale z povorotom odnogo kvadratnogo kupola Na vidminu vid ne povernutogo rombokubooktaedra figura ne ye Tut ponyattya identichni vershini oznachaye sho dlya bud yakih dvoh vershin isnuye izometriya vsogo tila yaka perevodit odnu vershinu v inshu Inodi tilki potribno shob grani prilegli do odniyeyi vershini buli izometrichnimi granyam pri inshij vershini Cya riznicya v terminah viznachaye vvazhayetsya ru psevdorombokubooktaedr arhimedovim tilom chi mnogogrannikom Dzhonsona ce yedinij opuklij mnogogrannik v yakomu mnogokutni mezhi primikayut do vershini odnakovim sposobom u kozhnij vershini ale mnogogrannik ne maye globalnoyi simetriyi yaka b perevodila bud yaku vershinu v bud yaku inshu Gruntuyuchis na isnuvanni psevdorombokubooktaedra Gryunbaum zaproponuvav terminologichnu vidminnist u yakij arhimedove tilo viznachayetsya yak take sho maye odnu i tu zh vershinnu figuru v kozhnij vershini vklyuchno z podovzhenim kvadratnim girobikupolom todi yak odnoridnij mnogogrannik viznachayetsya yak tilo u yakogo bud yaka vershina simetrichna bud yakij inshij sho viklyuchaye ru Prizmi i antiprizmi grupami simetrij yakih ye diedrichni grupi yak pravilo ne vvazhayutsya arhimedovim tilami nezvazhayuchi na te sho voni pidpadayut pid viznachennya dane vishe Z cim obmezhennyam isnuye tilki skinchenne chislo arhimedovih til Vsi tila krim podovzhenogo kvadratnogo girobikupola mozhna otrimati pobudovami Vitgoffa z platonovih til za dopomogoyu ru en i ru simetrij Pohodzhennya nazviArhimedovi tila otrimali nazvu na chest Arhimeda yakij obgovoryuvav yih u nini vtrachenij roboti Papp posilayetsya na cyu robotu i stverdzhuye sho Arhimed perelichiv 13 mnogogrannikiv Za chasiv Vidrodzhennya hudozhniki i matematiki cinuvali chisti formi i perevidkriti yih usi Ci doslidzhennya buli majzhe povnistyu zakincheni blizko 1620 roku Jogannom Keplerom yakij viznachiv ponyattya prizm antiprizm i neopuklih til vidomih yak tila Keplera Puanso Kepler mozhlivo znajshov takozh podovzhenij kvadratnij girobikupol psevdoromboikosaedr shonajmenshe vin stverdzhuvav sho ye 14 arhimedovih til Odnak jogo opublikovani pereliki vklyuchayut tilki 13 odnoridnih mnogogrannikiv i pershe yasne tverdzhennya pro isnuvannya psevdoromboikosaedra zrobiv 1905 roku Dunkan Sommervil KlasifikaciyaIsnuye 13 arhimedovih til ne rahuyuchi podovzhenogo kvadratnogo girobikupola 15 yaksho vrahovuvati dzerkalni vidobrazhennya dvoh enantiomorfiv yaki nizhche perelicheni okremo Tut vershinna konfiguraciya vidnositsya do tipiv pravilnih mnogokutnikiv yaki primikayut do vershini Napriklad vershinna konfiguraciya 4 6 8 oznachaye sho kvadrat shestikutnik i vosmikutnik zustrichayutsya u vershini poryadok pereliku beretsya za godinnikovoyu strilkoyu vidnosno vershini Nazva alternativna nazva Shlefli Kokseter Prozorij Neprozorij Rozgortka Vershinna figura Granej Reber Vershin Ob yem za odinich nogo rebra Grupa tochokZrizanij tetraedr 3 3 Obertannya 3 6 6 8 4 trikutniki 4 shestikutniki 18 12 2 710576 TdKubooktaedr rombotetraedr r 4 3 abo rr 3 3 abo Obertannya 3 4 3 4 14 8 trikutnikiv 6 kvadrativ 24 12 2 357023 OhZrizanij kub t 4 3 Obertannya 3 8 8 14 8 trikutnikiv 6 vosmikutnikiv 36 24 13 599663 OhZrizanij oktaedr zrizanij tetrateraedr t 3 4 abo tr 3 3 abo Obertannya 4 6 6 14 6 kvadrativ 8 shestikutnikiv 36 24 11 313709 OhRombokubooktaedr malij rombokubooktaedr rr 4 3 Obertannya 3 4 4 4 26 8 trikutnikiv 18 kvadrativ 48 24 8 714045 OhZrizanij kubooktaedr velikij rombokubooktaedr tr 4 3 Obertannya 4 6 8 26 12 kvadrativ 8 shestikutnikiv 6 vosmikutnikiv 72 48 41 798990 OhKirpatij kub kirpatij kuboktaedr sr 4 3 Obertannya 3 3 3 3 4 38 32 trikutniki 6 kvadrativ 60 24 7 889295 OIkosododekaedr r 5 3 Obertannya 3 5 3 5 32 20 trikutnikiv 12 p yatikutnikiv 60 30 13 835526 IhZrizanij dodekaedr t 5 3 Obertannya 3 10 10 32 20 trikutnikiv 12 desyatikutnikiv 90 60 85 039665 IhZrizanij ikosaedr t 3 5 Obertannya 5 6 6 32 12 p yatikutnikiv 20 shestikutnikiv 90 60 55 287731 IhRomboikosododekaedr malij romboikosododekaedr rr 5 3 Obertannya 3 4 5 4 62 20 trikutnikiv 30 kvadrativ 12 p yatikutnikiv 120 60 41 615324 IhRombozrizanij ikosododekaedr tr 5 3 Obertannya 4 6 10 62 30 kvadrativ 20 shestikutnikiv 12 desyatikutnikiv 180 120 206 803399 IhKirpatij dodekaedr kirpatij ikosododekaedr sr 5 3 Obertannya 3 3 3 3 5 92 80 trikutnikiv 12 p yatikutnikiv 150 60 37 616650 I Deyaki viznachennya napivpravilnih mnogogrannikiv vklyuchayut she odne tilo podovzhenij kvadratnij girobikupol abo psevdorombokubooktaedr VlastivostiChislo vershin dorivnyuye vidnoshennyu 720 do kutovogo defektu pri vershini Kuboktaedr i ikosododekaedr ye reberno odnoridnimi i nazivayutsya ru Dualni mnogogranniki arhimedovih til nazivayutsya katalanovimi tilami Razom z bipiramidami i trapecoedrami voni ye grane odnoridnimi tilami z pravilnimi vershinami Hiralnist Kirpatij kub i kirpatij dodekaedr hiralni oskilki voni z yavlyayutsya v livostoronnomu i pravostoronnomu variantah Yaksho shos maye kilka vidiv yaki ye trivimirnim dzerkalnim vidobrazhennyam odin odnogo ci formi nazivayut enantiomorfami cya nazva zastosovuyetsya takozh dlya deyakih form himichnih spoluk Pobudova arhimedovih tilArhimedovi tila mozhut buti pobudovani za dopomogoyu polozhennya generatora v kalejdoskopi Rizni arhimedovi i platonovi tila mozhut buti otrimani odne z odnogo za dopomogoyu dekilkoh operacij Pochinayuchi z platonovih til mozhna vikoristovuvati operaciyu zrizannya kutiv Dlya zberezhennya simetriyi zrizannya vikonuyetsya ploshinoyu perpendikulyarnoyu do pryamoyi sho z yednuye kut z centrom mnogokutnika Zalezhno vid togo naskilki gliboko vikonuyetsya zrizannya div tablicyu nizhche otrimayemo rizni platonovi i arhimedovi j inshi tila ru abo ru zdijsnyuyetsya shlyahom ruhu granej u napryamku vid centra na odnakovu vidstan shob zberegti simetriyu i stvorennyam potim opukloyi obolonki Rozshirennya z povorotom zdijsnyuyetsya takozh obertannyam granej ce lamaye pryamokutniki sho vinikayut na miscyah reber na trikutniki Ostannya pobudova yake mi tut rozglyanemo ce zrizannya yak kutiv tak i reber Yaksho nehtuvati masshtabuvannya rozshirennya mozhna takozh rozglyadati yak zrizannya kutiv i reber ale z pevnim vidnoshennyam mizh zrizannyami kutiv i reber Pobudova arhimedovih til Simetriya Tetraedrichna en IkosaedrichnaPochatkove tilo Operaciya Simvol p q Tetraedr 3 3 Kub 4 3 Oktaedr 3 4 Dodekaedr 5 3 Ikosaedr 3 5 Zrizannya t t p q Zrizanij tetraedr Zrizanij kub Zrizanij oktaedr Zrizanij dodekaedr Zrizanij ikosaedrPovne zrizannya r Amvon a r p q Tetratetraedr Kubooktaedr Ikosododekaedr en 2t dk 2t p q Zrizanij tetraedr Zrizanij oktaedr Zrizanij kub Zrizanij ikosaedr Zrizanij dodekaedrPodvijne povne zrizannya 2r Dvoyistij d 2r p q Tetraedr Oktaedr Kub Ikosaedr DodekaedrSkoshuvannya rr Rozshirennya e rr p q Kubooktaedr Rombokubooktaedr RomboikosododekaedrKirpate spryamlennya sr en s sr p q Kirpatij tetratetraedr Kirpatij kub Kirpatij ikosododekaedr en tr Skoshuvannya b tr p q Zrizanij oktaedr Zrizanij kubooktaedr Rombozrizanij ikosododekaedr Zauvazhimo dvoyistist mizh kubom i oktaedrom i mizh dodekaedrom i ikosaedrom Takozh chastkovo vnaslidok samodvoyistosti tetraedra tilki odne arhimedove tilo maye tilki odnu tetraedrichnu simetriyu Div takozhAperiodichna mozayika Arhimediv graf Odnoridnij mnogogrannik Toroyidalnij mnogogrannik Kvazikristal Napivpravilnij mnogogrannik Pravilnij mnogogrannikPrimitkiGrunbaum 2009 Field 1997 s 241 289 Malkevitch 1988 s 85 LiteraturaField J Rediscovering the Archimedean Polyhedra Piero della Francesca Luca Pacioli Leonardo da Vinci Albrecht Durer Daniele Barbaro and Johannes Kepler Archive for History of Exact Sciences Springer 1997 Vol 50 no 3 4 ISSN 0003 9519 Grunbaum Branko An enduring error Elemente der Mathematik 2009 Vol 64 no 3 P 89 101 DOI 10 4171 EM 120 Perepechatano v The Best Writing on Mathematics 2010 Princeton University Press 2011 P 18 31 Malkevitch Joseph Shaping Space A Polyhedral Approach M Senechal G Fleck Boston Birkhauser 1988 P 80 92 Pugh Anthony Polyhedra A visual approach California University of California Press Berkeley 1976 ISBN 0 520 03056 7 Chapter 2 Udaya Jayatilake Calculations on face and vertex regular polyhedral Mathematical Gazette 2005 Vol 89 no 514 P 76 81 Williams Robert The Geometrical Foundation of Natural Structure A Source Book of Design Dover Publications Inc 1979 ISBN 0 486 23729 X Section 3 9 PosilannyaWeisstein Eric W Archimedean solid angl na sajti Wolfram MathWorld Archimedean Solids 20 lyutogo 2016 u Wayback Machine by Eric W Weisstein Wolfram Demonstrations Project Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids 20 lyutogo 2016 u Wayback Machine Free paper models nets of Archimedean solids 6 lyutogo 2016 u Wayback Machine The Uniform Polyhedra 11 lyutogo 2008 u Wayback Machine by Dr R Mader Virtual Reality Polyhedra 23 lyutogo 2008 u Wayback Machine The Encyclopedia of Polyhedra by George W Hart Penultimate Modular Origami 15 lipnya 2010 u Wayback Machine by James S Plank na Java Solid Body Viewer nedostupne posilannya Interaktivnij pereglyad 3D mnogogrannikiv yakij dozvolyaye zberegti model u formati svg stl abo obj Stella Polyhedron Navigator 9 lipnya 2010 u Wayback Machine Programne zabezpechennya dlya stvorennya zobrazhen bagato z yakih ye na cij storinci Paper Models of Archimedean and other Polyhedra 25 sichnya 2021 u Wayback Machine