Дефект (геометрія)

Дефект — різниця між величиною ${\displaystyle 2\pi }$(${\displaystyle \pi }$) і сумою кутів геометричної фігури (пр. трикутника) або повним кутом в точці. Синонімом є поняття надлишку, що відрізнється від цього поняття знаком.

Поліедри

Многокутники Платона.

Многокутник	Кількість вершин	Ребра, що сходяться у вершині	Дефект при вершині	Повний дефект
тетраедр	4	Три рівносторонні трикутники	${\displaystyle \pi \,}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
октаедр	6	Чотири рівносторонні трикутники	${\displaystyle {2\pi \over 3}}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
куб	8	Три квадрати	${\displaystyle {\pi \over 2}}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
ікосаедр	12	П'ять рівносторонніх трикутників	${\displaystyle {\pi \over 3}}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
додекаедр	20	Три правильних п'ятикутники	${\displaystyle {\pi \over 5}}$	${\displaystyle 4\pi \,}$

Дискретна теорема Ґаусса-Бонне

Сума дефектів поліедра дорівнює характеристиці Ейлера помноженій на два пі.

Література

Н. Доблин. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.^{[недоступне посилання з липня 2019]}